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2020年广东省深圳市中考数学红卷(第4套)含答案解析

1、2020 年广东省深圳市中考数学红卷(第年广东省深圳市中考数学红卷(第 4 套)套) 一一.选择题(本部分共选择题(本部分共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分每小题给出分每小题给出 4 个选项,其中只有一个是正确的)个选项,其中只有一个是正确的) 13 的倒数是( ) A3 B C D3 2以下图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A B C D 32020 年,新型冠状病毒肆虐全球,已知新型冠状病毒的直径为 60140nm(1nm0.000000001m) ,其 中 140nm 用科学记数法表示为( ) A1.410 6m B1.410 7m C0.1410

2、 8m D1.410 11m 4下列计算正确的是( ) A (m)2mm3 B (m+n) (mn)m2+n2 C (mn)2mn2 D3m2+m24m2 5受疫情影响,某公司采取远程面试进行招聘有 7 名大学生参加该公司面试,公司只录取 3 人,每个人 只是知道自己的成绩(每个人的面试成绩都不相同) ,要想让他们知道是否被录取,公司只需要公布他们 面试成绩的( ) A平均数 B众数 C中位数 D方差 6 如图, ab, ABD 的平分线交直线 a 于点 C, CE直线 c 于点 E, 124, 则2 的大小为 ( ) A114 B142 C147 D156 7下列命题正确的是( ) A对于函

3、数 y,y 随 x 的增大而增大 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C任意三点可以确定一个圆 D对于任意的实数 b,方程 x2bx30 有两个不相等的实数根 8 某药店购进普通一次性医用口罩和 N95 口罩各若干个, 已知一只 N95 口罩比一只普通一次性医用口罩贵 4 元,用 800 元购买普通一次性口罩的数量比 1800 元购买 N95 口罩多 100 只设一只普通一次性医用口 罩 x 元,则根据题意可列方程为( ) A100 B100 C100 D100 9阅读材料:对于任意的实数 a,b,都有(ab)20,故 a2+b22ab,若 a2+b2为定值,当 ab 时, ab 有最大值为,思考

4、应用:已知O 的直径 AB10,当ABC 的面积最大时,图中阴影部分的 面积为( ) A B C D 10 二次函数 yax2+bx+c (a0) 部分大致图象如图所示, 对称轴为直线 x1, 与 x 轴一个交点为 (3, 0) , 结合图象,下列说法错误的是( ) Aabc0 B2a+b0 Ca+c0 D一元二次方方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数解 11如图,在ABC 中,AB3,BC9,以 B 为圆心,BA 为半径画弧交 BC 于 D,分别以 A,D 为圆心, 大于AD 为半径画弧交于点 E,连接 BE 交 AC 于 F,BAC2AFB,则 AF 的长为( ) A B2 C3

5、D4 12如图,在 RtABC 中,BAC90,ADBC 于点 D,E 为 AC 边上的中点,连接 BE 交 AD 于 F, 将AFE 沿着 AC 翻折到AGE,恰好有 GEAD,则下列结论:四边形 AFEG 为菱形;2AE2BD BC;SABFSCBF;连接 BG,tanABG上述结论中正确的有( ) A B C D 二二.填空题(本大题共填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 12 分)分) 13因式分解 a34a 的结果是 14从2,1,0,1,2,3 这六个数中任选一个数作为 x 的值,满足x2的概率为 15 小区有一坡度为 1: 2 的楼梯 CD, CD6米

6、, 小亮从家里阳台点 B 处看楼梯顶部 C 点的俯角为 34, 看楼梯底部 D 点的俯角为 53,小亮家距地面的距离 AB 约为 米 (tan34,tan53) 16如图,在 RtAOB 中,OAB 的外角平分线与OBA 的外角平分线交于点 C,反比例函数 y(x 0)经过点 C,延长 CA 交 x 轴于 D,延长 CB 交 y 轴于 E,连接 DE,DE 的中点 F 恰好落在反比例函 数 y(x0)图象上,则 k 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 7 小题,其中第小题,其中第 17 题题 5 分,第分,第 18 题题 6 分,第分,第 19 题题 7 分,第分,第 20 题题 8 分,第

7、分,第 21 题题 8 分,分, 第第 22 题题 9 分,第分,第 23 题题 9 分,共分,共 52 分)分) 17 (5 分)计算:2cos30|2|+(2020)0 18 (6 分)先化简,再求值: (),其中2x2,且 x 为整数 19 (7 分)两个多月的网课随着国内抗疫取得阶段性的胜利而即将结束,复课后依然要做好疫情防控,确 保零疫情,某校提前对学生进行一日防护措施培训,为了了解学生对防控知识的掌握情况,进行了一次 “防疫知识测试” 随机抽取了部分学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图根据图表 提供的信息,解答下列问题: 组别 分数/分 频数 A 80 x85 a B

8、 85x90 8 C 90 x95 16 D 95x100 b (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩: (2)表格中的 a ,b ; (3)本次调查中,学生成绩的中位数落在 组(填字母) ; (4)该校共有 1000 名学生,估计成绩达到 90 分以上(含 90 分)的学生人数约有 人 20 (8 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点,连接 AE 并延长交 BC 延长线于点 G,点 F 在 BC 上, FAEDAE,连接 FE 并延长交 AD 延长线于 H,连接 HG (1)求证:四边形 AFGH 为菱形: (2)若 DH1求四边形 AFGH 的面积 21 (8 分)受疫情

9、影响,多地农产品和水果滞销疫情缓解后,某网购平台开展“爱心助农,支援疫区” 活动,准备推送两种特色水果,经过对往年情况的调查,这两种水果的进价和售价如表所示: 种类 进价(元/kg) 售价(元/kg) 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果 5kg 和乙种水果 10kg 要 160 元;购进甲种水果 12kg 和乙种水果 5kg 需要 156 元求 x,y 的值; (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共 1000kg 进行销售,其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量 的平台每售出 1kg 水果,向疫区捐赠 a 元,为了保证售完这 1000kg 水果,平台始终不会有亏损,a 最大为多少?

10、22 (9 分)如图 1,O 是ABC 的外接圆,BAC60,D 是的中点,连接 AD 交 BC 于点 E,过点 D 作O 的切线交 AC 的延长线于 F (1)求证:DFBC; (2)是否为定值,若是,请求出这一定值;若不是,请说明理由; (3)如图 2,若 AD2,点 G 为射线 FD 上一点,且 GDGE,GE+BEGA,连接 AG 交 CB 延长 线于 H,BC3BH,求 HA+HC 的值 23 (9 分)如图 1,抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(1,0) ,B(3,0) ,交 y 轴正半轴于点 C,直线 l 经过点 B (1)若 C 点坐标为(0,3) ,求抛物线的解

11、析式; (2)如图 1,直线 l:ykx+3a 交 y 轴负半轴于点 D,与抛物线另一交点为 E,过点 A 作 y 轴的平行线 交直线 l 于点 F,点 P 为 x 轴上一动点,求的值; (3) 在 (1) 的条件下, 如图 2, 点 M、 点 N 分别是线段 AB 和直线 l 上的动点, 连接 MN, CNM45, 当ABC 与CMN 相似,且 SCMN最小时,在直线 l 上是否存在一动点 G,使得MGN45,若存 在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由 2020 年广东省深圳市中考数学红卷(第年广东省深圳市中考数学红卷(第 4 套)套) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.

12、选择题(本部分共选择题(本部分共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 36 分每小题给出分每小题给出 4 个选项,其中只有一个是正确的)个选项,其中只有一个是正确的) 13 的倒数是( ) A3 B C D3 【分析】根据乘积是 1 的两个数互为倒数计算即可得解 【解答】解:31, 3 的倒数是 故选:B 2以下图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项符合题意; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意; C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,

13、故此选项不合题意; D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项不合题意 故选:A 32020 年,新型冠状病毒肆虐全球,已知新型冠状病毒的直径为 60140nm(1nm0.000000001m) ,其 中 140nm 用科学记数法表示为( ) A1.410 6m B1.410 7m C0.1410 8m D1.410 11m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:140nm1400.000000001m 1.410 7m 故选

14、:B 4下列计算正确的是( ) A (m)2mm3 B (m+n) (mn)m2+n2 C (mn)2mn2 D3m2+m24m2 【分析】分别根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则,平方差公式以及合并同类项法则逐一判断即可 【解答】解:A、 (m)2mm3,故本选项不合题意; B、 (m+n) (mn)m2n2,故本选项不合题意; C、 (mn)2m2n2,故本选项不合题意; D、3m2+m24m2,故本选项符合题意 故选:D 5受疫情影响,某公司采取远程面试进行招聘有 7 名大学生参加该公司面试,公司只录取 3 人,每个人 只是知道自己的成绩(每个人的面试成绩都不相同) ,要想让他们知道是否被

15、录取,公司只需要公布他们 面试成绩的( ) A平均数 B众数 C中位数 D方差 【分析】总共有 7 名大学生参加面试,只要确定每个人与成绩的第 4 名的成绩的多少即可判断,然后根 据中位数定义即可判断 【解答】解:知道自己是否被录取,只需公布第 4 名的成绩,即中位数 故选:C 6 如图, ab, ABD 的平分线交直线 a 于点 C, CE直线 c 于点 E, 124, 则2 的大小为 ( ) A114 B142 C147 D156 【分析】根据互余得出EAC,再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可 【解答】解:124,CE直线 c 于点 E, EAC901902466, ab, EAC

16、ABD66, ABD 的平分线交直线 a 于点 C, CBD, 2180CBD18033147, 故选:C 7下列命题正确的是( ) A对于函数 y,y 随 x 的增大而增大 B对角线互相垂直的四边形是菱形 C任意三点可以确定一个圆 D对于任意的实数 b,方程 x2bx30 有两个不相等的实数根 【分析】根据反比例函数的性质、菱形的判定、确定圆的条件和一元二次方程的根判断解答即可 【解答】解:A、对于函数 y,在每个象限内,y 随 x 的增大而增大,原命题是假命题; B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原命题是假命题,不符合题意; C、任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆,原命题是假命题,

17、不符合题意; D、对于任意的实数 b,在方程 x2bx30 中,b2+120,方程有两个不相等的实数根,是真命 题,符合题意; 故选:D 8 某药店购进普通一次性医用口罩和 N95 口罩各若干个, 已知一只 N95 口罩比一只普通一次性医用口罩贵 4 元,用 800 元购买普通一次性口罩的数量比 1800 元购买 N95 口罩多 100 只设一只普通一次性医用口 罩 x 元,则根据题意可列方程为( ) A100 B100 C100 D100 【分析】设一只普通一次性医用口罩 x 元,则一只 N95 口罩(x+4)元,根据关键语句“用 800 元购买 普通一次性口罩的数量比 1800 元购买 N

18、95 口罩多 100 只”列出方程即可 【解答】解:设一只普通一次性医用口罩 x 元,则一只 N95 口罩(x+4)元,由题意得: 100, 故选:B 9阅读材料:对于任意的实数 a,b,都有(ab)20,故 a2+b22ab,若 a2+b2为定值,当 ab 时, ab 有最大值为,思考应用:已知O 的直径 AB10,当ABC 的面积最大时,图中阴影部分的 面积为( ) A B C D 【分析】根据题意和扇形面积计算公式,可以求得当ABC 的面积最大时,图中阴影部分的面积,本题 得以解决 【解答】解:AB 为O 的直径,AB10, ACB90, AC2+BC2100, 当 ACBC5时,ABC

19、 的面积取得最大值,此时CABCBA45, OCOB, 当ABC 的面积最大时,BOC90,此时图中阴影部分的面积为: , 故选:A 10 二次函数 yax2+bx+c (a0) 部分大致图象如图所示, 对称轴为直线 x1, 与 x 轴一个交点为 (3, 0) , 结合图象,下列说法错误的是( ) Aabc0 B2a+b0 Ca+c0 D一元二次方方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数解 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案 【解答】解:由图象可知:a0,c0, 0, b0, abc0,故 A 正确; 由对称轴可知:1, b2a, 2a+b0,故 B 正确; (3,0)关于

20、直线 x1 的对称点坐标为(1,0) , ab+c0, b2a, 3a+c0, a+c2a0,故 C 错误; 抛物线 yax2+bx+c(a0)与直线 y2 有两个交点, 一元二次方方程 ax2+bx+c2 有两个不相等的实数解,故 D 正确; 故选:C 11如图,在ABC 中,AB3,BC9,以 B 为圆心,BA 为半径画弧交 BC 于 D,分别以 A,D 为圆心, 大于AD 为半径画弧交于点 E,连接 BE 交 AC 于 F,BAC2AFB,则 AF 的长为( ) A B2 C3 D4 【分析】如图,过点 F 作 FMBC 于 M,FNBA 交 BA 的延长线于 N首先证明:FC:AFBC

21、:AB 3,想办法求出 CF,证明 CFCD6,即可解决问题 【解答】解:如图,过点 F 作 FMBC 于 M,FNBA 交 BA 的延长线于 N BABD,AFDF,BFBF, ABFDBF(SSS) , ABFDBF,BAFBDF,AFBDFB, FMBC,FNBA, FMFN, , 3, FC3AF, ABDB3,BC9, CD936, BAF2AFBAFD, AFDBDF, CFDCDF, CFCD6, AF2, 故选:B 12如图,在 RtABC 中,BAC90,ADBC 于点 D,E 为 AC 边上的中点,连接 BE 交 AD 于 F, 将AFE 沿着 AC 翻折到AGE,恰好有

22、GEAD,则下列结论:四边形 AFEG 为菱形;2AE2BD BC;SABFSCBF;连接 BG,tanABG上述结论中正确的有( ) A B C D 【分析】 由折叠的性质可得 AFAG, EFGE, EAFEAG, 由平行线的性质可得EAGGEA, 可证 AGGEAFEF,可判断;通过证明BAECAB,BADBCA,可得 AB2AEAC, AB2BCBD,可判断; 由中线的性质可得 SABFSABE, SBFCSBEC, 可判断; 设 AEx, 则 AC2x,利用 x 表示 GH,BH 的长,可求 tanABG,可判断,即可求解 【解答】解:将AFE 沿着 AC 翻折到AGE, AFEAG

23、E, AFAG,EFGE,EAFEAG, GEAD, FAEGEA, EAGGEA, AGGE, AFAGEFEG, 四边形 AFEG 是菱形, 故正确; ADBC, ADBBAC90, 又ABDABC, BADBCA, , AB2BCBD, AFEF, FAEFEA, BAE90, FABFBA, AFBF, ABF+AEB90,BAF+ABD90, ABDAEB, 又BAEBAE90, BAECAB, , AB2AEAC, E 为 AC 边上的中点, AC2AE, AB2AEAC2AE2BCBD, 故正确; AEEC, SABESBEC, BFEF, SABFSABE,SBFCSBEC,

24、SABFSCBF; 故正确; 如图,过点 G 作 GHAB,交 BA 的延长线于 H, 设 AEx,则 AC2x, AB2AEAC, ABx, BEx, AFEFx, 四边形 AFEG 是菱形, AGBE,AGAFx, HAGABE, 又HBAE90, BAEAHG, , AHABx,HGAE, BHAH+ABx, tanABG, 故错误, 故选:B 二二.填空题(本大题共填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 12 分)分) 13因式分解 a34a 的结果是 a(a+2) (a2) 【分析】原式提取 a 后,利用平方差公式分解即可 【解答】解:原式a(a24) a(

25、a+2) (a2) 故答案为:a(a+2) (a2) 14从2,1,0,1,2,3 这六个数中任选一个数作为 x 的值,满足x2的概率为 【分析】找到满足不等式x2的结果数,再根据概率公式计算可得 【解答】解:在2,1,0,1,2,3 这六个数中,满足不等式x2的有 2、3 这两个, 所以满足不等式x2的概率是, 故答案为: 15 小区有一坡度为 1: 2 的楼梯 CD, CD6米, 小亮从家里阳台点 B 处看楼梯顶部 C 点的俯角为 34, 看楼梯底部 D 点的俯角为 53,小亮家距地面的距离 AB 约为 28 米 (tan34,tan53) 【分析】根据题意画出图形,可得BCM34,BDA

26、53,CE:DE1:2,过点 C 作 CMAB 于点 M,根据勾股定理可得 CE 的长,再根据锐角三角函数即可求出 AB 的长 【解答】解:如图,过点 C 作 CMAB 于点 M, 根据题意可知: BCM34,BDA53,CE:DE1:2, 在 RtCDE 中,DE2CE,CD6(米) , CD2CE2+DE2, 即 3655CE2, 解得 CE6(负值舍去) , CE6(米) , DE12(米) , 在 RtBCM 中,BCM34,CMAEDE+AD(12+AD)米, tanBCM, BMtan34(12+AD)(12+AD) , 即 BM(12+AD), 在 RtBAD 中,BDA53,A

27、BAM+BM(6+BM)米, tanBDA, ABADtan53, 即 6+BMAD, 将代入得,AD21(米) , BM22(米) , ABBM+AMBM+CE22+628(米) , 答:小亮家距地面的距离 AB 约为 28 米 故答案为:28 16如图,在 RtAOB 中,OAB 的外角平分线与OBA 的外角平分线交于点 C,反比例函数 y(x 0)经过点 C,延长 CA 交 x 轴于 D,延长 CB 交 y 轴于 E,连接 DE,DE 的中点 F 恰好落在反比例函 数 y(x0)图象上,则 k 18 【分析】作 CGOA 于 G,CHOB 于 H,CKAB 于 K,连接 OC、OF,则

28、FMOD 与 M 利用角 平分线的性质得出 CGCH,可以假设 C(m,m) ,则 km2,利用勾股定理得到 m2+m2OC2,通过证 得CODECO,得到 OC2OCOD36,即可求得 k 的值 【解答】解:作 CGOA 于 G,CHOB 于 H,CKAB 于 K,连接 OC、OF,则 FMOD 与 M AOB 的两条外角平分线交于点 C, CGCK,CHCK, CGCH, 可以假设 C(m,m) , 反比例函数 y(x0)经过点 C, km2, 点 F 恰好落在反比例函数 y(x0)图象上, SMFO9, SDOEODOE4SMFO18, ODOE36, AOCBOCACB45, COD1

29、35, COBCDB+OCD45,ACO+OCB45, CDOOCE, CODECO, OC2ODOE36, 根据勾股定理,m2+m236, km218, 故答案为 18 三、解答题(本题共三、解答题(本题共 7 小题,其中第小题,其中第 17 题题 5 分,第分,第 18 题题 6 分,第分,第 19 题题 7 分,第分,第 20 题题 8 分,第分,第 21 题题 8 分,分, 第第 22 题题 9 分,第分,第 23 题题 9 分,共分,共 52 分)分) 17 (5 分)计算:2cos30|2|+(2020)0 【分析】直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质/绝对值

30、的性质分别化简得出 答案 【解答】解:原式2(2)2+1 2+2+1 1 18 (6 分)先化简,再求值: (),其中2x2,且 x 为整数 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再由分式有意义的条件确定整数 x 的值,继 而代入计算即可得出答案 【解答】解:原式 , x1 且 x2, 在2x2 内符合条件的整数 x 的值为 0, 则原式 19 (7 分)两个多月的网课随着国内抗疫取得阶段性的胜利而即将结束,复课后依然要做好疫情防控,确 保零疫情,某校提前对学生进行一日防护措施培训,为了了解学生对防控知识的掌握情况,进行了一次 “防疫知识测试” 随机抽取了部分学生的成绩,整理并绘

31、制出如下不完整的统计表和统计图根据图表 提供的信息,解答下列问题: 组别 分数/分 频数 A 80 x85 a B 85x90 8 C 90 x95 16 D 95x100 b (1)本次调查一共随机抽取了 40 名学生的成绩: (2)表格中的 a 2 ,b 14 ; (3)本次调查中,学生成绩的中位数落在 C 组(填字母) ; (4)该校共有 1000 名学生,估计成绩达到 90 分以上(含 90 分)的学生人数约有 750 人 【分析】 (1)从两个统计图可得, “B 组”的有 8 人,占调查人数的 20%,依此可求出调查人数; (2)调查人数的 35%是“D 组”人数,可求 b,进一步求

32、得 a,从而得出答案: (3)根据中位数的定义即可求解; (4)利用样本估计总体,求出样本中成绩达到 90 分以上(含 90 分)的学生所占的百分比,再乘 1000 即可求解 【解答】解: (1)本次调查一共随机抽取学生:820%40(人) 故答案为:40; (2)b4035%14, a40816142 故答案为:14,2; (3)由中位数的定义可知,学生成绩的中位数落在 C 组 故答案为:C; (4)该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上(含 80 分)的学生有 1000750(人) 故答案为:750 20 (8 分)在正方形 ABCD 中,点 E 为 CD 中点,连接 AE 并延长交 BC

33、延长线于点 G,点 F 在 BC 上, FAEDAE,连接 FE 并延长交 AD 延长线于 H,连接 HG (1)求证:四边形 AFGH 为菱形: (2)若 DH1求四边形 AFGH 的面积 【分析】 (1) 根据正方形的性质可得 FAFG, 然后证明ADEGCE 可得 ADCG, 同理证明DEH CEF 可得 DHCF,进而可得四边形 AFGH 为菱形; (2)设正方形边长为 x,结合(1)可得 AFAHAD+DHx+1,BFBCFCx1,然后根据勾股 定理列出方程即可求出 x 的值,进而可得四边形 AFGH 的面积 【解答】 (1)证明:四边形 ABCD 是正方形, ADBC, DAEFG

34、A, FAEDAE, FGAFAE, FAFG, 点 E 为 CD 中点, DECE, ADEGCE90, 在ADE 和GCE 中, , ADEGCE(AAS) , ADCG, 同理:DEHCEF(AAS) , DHCF, AHAD+DH,GFCG+CF, AHFG, AHFG, 四边形 AFGH 为平行四边形, FAFG, 四边形 AFGH 为菱形; (2)解:FCDH1, 设 ABADx, 由(1)知 FCDH1, AFAHAD+DHx+1, BFBCFCx1, 在 RtABF 中,根据勾股定理,得 AF2AB2+BF2, (x+1)2x2+(x1)2, 解得 x4,x0(舍去) , AF

35、FGx+15, 菱形 AFGH 的面积为:FGDC5420 21 (8 分)受疫情影响,多地农产品和水果滞销疫情缓解后,某网购平台开展“爱心助农,支援疫区” 活动,准备推送两种特色水果,经过对往年情况的调查,这两种水果的进价和售价如表所示: 种类 进价(元/kg) 售价(元/kg) 甲 x 12 乙 y 14 (1)购进甲种水果 5kg 和乙种水果 10kg 要 160 元;购进甲种水果 12kg 和乙种水果 5kg 需要 156 元求 x,y 的值; (2)该平台决定每天对甲、乙两种水果共 1000kg 进行销售,其中甲种水果的数量不少于乙种水果数量 的平台每售出 1kg 水果,向疫区捐赠

36、a 元,为了保证售完这 1000kg 水果,平台始终不会有亏损,a 最大为多少? 【分析】 (1)根据“购进甲种水果 5kg 和乙种水果 10kg 要 160 元;购进甲种水果 12kg 和乙种水果 5kg 需要 156 元” ,即可得出关于 x,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设销售甲种水果 mkg,则销售乙种水果(1000m)kg,根据销售甲种水果的数量不少于乙种水果 数量的,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解之即可得出 m 的取值范围,由平台始终不会有亏损, 即可找出 1000a2000+2m,结合 m 的取值范围即可找出 a 的最大值 【解答】解: (1)依题意得:

37、, 解得: 答:x 的值为 8,y 的值为 12 (2)设销售甲种水果 mkg,则销售乙种水果(1000m)kg, 依题意得:m(1000m) , 解得:m250 平台始终不会有亏损, (128)m+(1410) (1000m)1000a0, 1000a2000+2m, 又m250, a2.5 答:a 的最大值为 2.5 22 (9 分)如图 1,O 是ABC 的外接圆,BAC60,D 是的中点,连接 AD 交 BC 于点 E,过点 D 作O 的切线交 AC 的延长线于 F (1)求证:DFBC; (2)是否为定值,若是,请求出这一定值;若不是,请说明理由; (3)如图 2,若 AD2,点 G

38、 为射线 FD 上一点,且 GDGE,GE+BEGA,连接 AG 交 CB 延长 线于 H,BC3BH,求 HA+HC 的值 【分析】 (1)连接 OD,OB,OC,由圆周角定理得出BODCOD,由垂径定理得出 ODBC,根据 切线的性质得出 ODDF,则可得出结论; (2)连接 DB,DC,延长 AC 至点 M,使得 CMAB,连接 DM,证明ABDMCD(SAS) ,由全等 三角形的性质得出 DADM,CDMBDA,作 AM 边上的高 h,则 AD2h,AM2h,则可得出 答案; (3)延长 GE 交 AC 于点 N,则AENGED,证明AEBAEN(ASA) ,由全等三角形的性质得 出

39、ENBE,ABEANE,证明CABCHA,由相似三角形的性质得出,设 BC 3BH3k,由比例线段得出 CHAC,AHAB,则可得出答案 【解答】 (1)证明:连接 OD,OB,OC, D 是的中点, BDCD, BODCOD, OBOC, ODBC, 直线 DF 是O 的切线, ODDF, DFBC; (2)解:是定值 如图 2,连接 DB,DC,延长 AC 至点 M,使得 CMAB,连接 DM, 由(1)可得,BDDC,DCM180ACDABD, ABDMCD(SAS) , DADM,CDMBDA, ADMBDC180BAC120, 在ADM 中,作 AM 边上的高 h,则 AD2h,AM

40、2h, ; 即为定值; (3)如图 3,延长 GE 交 AC 于点 N,则AENGED, GEGD, GEDGDE, 由(1)得 BCDF, AEBGDE, AEBAEN, BADCAD,AEAE, AEBAEN(ASA) , ENBE,ABEANE, GAGE+EBGE+ENGN, ANEGANHAB+BAC, 又ABEHAB+AHB, AHBBAC60, ACBHCA, CABCHA, , 设 BC3BH3k, CA2CBCH12k2, CA2k, , CHAC,AHAB, CH+AHCA+AB(CA+AB)AD4 23 (9 分)如图 1,抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(

41、1,0) ,B(3,0) ,交 y 轴正半轴于点 C,直线 l 经过点 B (1)若 C 点坐标为(0,3) ,求抛物线的解析式; (2)如图 1,直线 l:ykx+3a 交 y 轴负半轴于点 D,与抛物线另一交点为 E,过点 A 作 y 轴的平行线 交直线 l 于点 F,点 P 为 x 轴上一动点,求的值; (3) 在 (1) 的条件下, 如图 2, 点 M、 点 N 分别是线段 AB 和直线 l 上的动点, 连接 MN, CNM45, 当ABC 与CMN 相似,且 SCMN最小时,在直线 l 上是否存在一动点 G,使得MGN45,若存 在,请求出点 G 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析

42、】 (1)将 A、B、C 坐标代入即得答案; (2)用 a 表示 C、E、F 的坐标,设 P 坐标,表达出 SPBC、SPEF即可得到结果; (3)分过 M 作 MF直线 l 于 F,过 G 作 GDx 轴于 D,过 N 作 NEx 轴于 E,两种情况由相似三角 形性质和两点间距离公式求出 N 坐标,再利用三角函数求出 OD 和 GD 解可 【解答】解: (1)点 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) ,代入 yax2+bx+c 得: ,解得, 抛物线的解析式为 yx2+2x+3; (2)如图: 抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(1,0) ,B(3,0) , ,解得, 抛

43、物线为 yax22ax3a,C(0,3a) , B(3,0) ,直线 l:ykx+3a 经过点 B, 03k+3a, ka, 直线 l 为 yax+3a, 过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 于点 F, F(1,4a) , 由得或, E( (2,5a) , 设 P(t,0) ,则 BP|3t|, SPBCBPyC|3t| (3a) , SPEFSPBESPBFBP|yE|BP|yF|3t| (a) , ; (3)过 M 作 MF直线 l 于 F,过 G 作 GDx 轴于 D,过 N 作 NEx 轴于 E,如图: A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) , AC,AB4,BC3,ABC

44、45, CNM45,ABC 与CMN 相似, ABCCNM,点 N 对应点 B,边 AC 对应边 CM, SCMN最小,且CMN 与ABC 相似,形状不变, 边 CM 最小,即 CMx 轴,M 与 O 重合,CMCO3, 分两种情况: ABCMNC 时, , MN,CN 设 N(m,n) ,而 M(0,0) ,C(0,3) , ,解得, N(,) ,OE,NE, BEOEOB, RtBNE 中,tanNBE2, RtMFB 中,tanMBFtanNBE2,即 MF2BF, cosMBF,tanMBF, 又 BM3, BF,MF, MGN45,MF直线 l 于 F, GFMF, BGGF+BF, RtBDG 中,tanMBF2,cosMBF,tanMBF, BDBG,DGBG, MDMBBD, G(,) , ABCCNM 时, , CN,MN, 设 N(s,r) ,方法同可得 N(,) , BE,NE, tanNBE3, 同方法可得 G(,) , 综上所述,点 G 的坐标为: (,)或(,)