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2020年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二)含答案解析

1、2020 年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二)年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每题小题,每题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是( ) A B C3.1 D 2若式子在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3下列说法:掷一枚质地均匀的硬币,朝上的一面可能是反面;“从一副扑克牌中任意抽取一张,点 数一定是 2” ( ) A只有正确 B只有正确 C都正确 D都错误 4下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志,在这四个标志中,是中心对称图形的是

2、( ) A B C D 5六个大小相同的正方体搭成的几何体如图,下列选项中不是其三视图的是( ) A B C D 6有 5 张背面看上去无差别的扑克牌,正面分别写着 5,6,7,8,9,洗匀后正面向下放在桌子上,从中 随机抽取 2 张,抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是( ) A B C D 7开发区某消毒液生产厂家自 2003 年初以来,在库存为 m(m0)的情况下,日销售量与产量持平,自 4 月底抗“非典”以来,消毒液需求量猛增,在生产能力不变的情况下,消毒液一度脱销,以下表示 2003 年初至脱销期间,时间 t 与库存量 y 之间函数关系的图象是( ) A B C D 8反比例

3、函数 y的图象上有三点(x1,1) ,B(x2,a) ,C(x3,3) ,当 x3x2x1时,a 的取值范 围为( ) Aa3 Ba1 C1a3 Da3 或 a1 9如图, “杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一,从图中取一列数 1,3,6,10,记 a11,a231+2,a361+2+3,a410,那么 a9+a11ai83,则 i 的值是( ) A13 B10 C8 D7 10如图,点 A,B,C 是O 上三点,ACBC,点 M 为O 上一点,CEAM,垂足为点 E,AE2, BM,CM,则的长为( ) A B C D 二、填空题(二、填空题(6 题,每题题,每题 3 分)分)

4、 11计算的结果是 12 某生产小组 6 名工人某天加工零件的个数分别是 10, 10, 11, 12, 8, 10, 则这组数据的众数为 13计算: (1) 14如图,四边形 ABCD 中,ABACADBO,DBC15,则BDC 15已知抛物线 y1(xx1) (xx2)与 x 轴交于 A,B 两点,直线 y22x+b 经过点(x1,0) 若函数 w y1y2的图象与 x 轴只有一个公共点,则线段 AB 的长为 16 如图,在矩形 ABCD 中, 点 E 是 BC 上一点, 点 F 在 AE 边上,连 FC, BAEEFC, CFCD,AB: BC3:2,若 AE,则 AB 的长为 三、解答

5、题(三、解答题(8 小题,共小题,共 72 分)分) 17计算:3x5+(2x2)2x2x3x2 18如图,AB 和 CD 相交于点 O,CCOA,DBOD 求证:ACBD 19某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分 学生进行调查,要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的 一部分 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息,回答下列问题: (1) 被调查的学生中, 最喜爱体育节目的有 人, 这些学生数占被调查总人数的百分比为 % (2)

6、被调查学生的总数为 人,统计表中 m 的值为 ,统计图中 n 的值为 (3)在统计图中,E 类所对应扇形圆心角的度数为 (4)该校共有 2000 名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱新闻节目的学生数 20已知:如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,ABC 的顶点 A、B、C 均在格点上,点 D 为 AC 边上的一点 (1)线段 AC 的长为 (2)在如图所示的网格中,AM 是ABC 的角平分线,在 AM 上求一点 P,使 CP+DP 的值最小,请用 无刻度的直尺,画出 AM 和点 P,并简要说明 AM 和点 P 的位置 21如图,A,B,C 三点在O 上,ADAB,DEAB 交 BC 于

7、点 E,在 BC 的延长线上取一点 F,使得 EFED (1)求证:DF 是O 的切线; (2)连接 AF 交 DE 于点 M,若 AD4,BF10,求 tanAFD 的值 22某公司有 A 型产品 40 件,B 型产品 60 件,分配给下属甲、乙两个商店销售,其中 70 件给甲店,30 件 给乙店,且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表: A 型利润 B 型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 设分配给甲店 A 型产品 x 件,公司卖出这 100 件产品的总利润为 w, (1)请你求出 w 与 x 的函数关系式; (2)请你帮公司设计一种产品分配方案使总利润最大,最

8、大的总利润是多少元? (3)为了促销,公司决定只对甲店 A 型产品让利 a 元/件,但让利后仍高于甲店 B 型产品的每件利润, 请问 x 为何值时,总利润达最大? 23已知:在ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,AD 边上,且ECFB(090) (1)如图 1,若 CFAD,求证:; (2)如图 2,若 60,AEFECB,求证:四边形 ABCD 是菱形; (3)如图 3,若 45,ACEF,EHBC 于点 H,直接写出的值 24如图 1,抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左边) ,与 y 轴交于点 C (1)求 A,B 两点的坐标; (2)

9、当 a1 时,P 为 BC 上方的抛物线上一点,满足PCB+CBACAB,求点 P 的坐标; (3)如图 2,若 Q 为抛物线上一点,满足QCB 的面积为 9 的点 Q 有四个时,求 a 的取值范围 2020 年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二)年湖北省武汉市九年级四月调考数学模拟试卷(二) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 10 小题)小题) 1下列各数中比 3 大比 4 小的无理数是( ) A B C3.1 D 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数,无限不循环小数为无理数,根据无理数的定义即可求解 【解答】解:四个选项中是无理数的只有和,而4,34

10、 选项中比 3 大比 4 小的无理数只有 故选:A 2若式子在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【分析】二次根式有意义:被开方数是非负数 【解答】解:由题意,得 x10, 解得,x1 故选:B 3下列说法:掷一枚质地均匀的硬币,朝上的一面可能是反面;“从一副扑克牌中任意抽取一张,点 数一定是 2” ( ) A只有正确 B只有正确 C都正确 D都错误 【分析】根据随机事件的概念判断即可 【解答】解:掷一枚质地均匀的硬币,朝上的一面可能是反面,此说法正确; “从一副扑克牌中任意抽取一张,点数可能是 2” ,此说法错误; 故选:A 4下面四个图形分别是绿色

11、食品、节水、节能和回收标志,在这四个标志中,是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可 【解答】解:A、B、C 都不是中心对称图形,D 是中心对称图形, 故选:D 5六个大小相同的正方体搭成的几何体如图,下列选项中不是其三视图的是( ) A B C D 【分析】根据三视图的概念逐一判断即可得 【解答】解:A此选项图形是该几何体的俯视图; B此选项图形是该几何体的左视图; C此选项图形不是该几何体的三视图; D此选项图形是该几何体的主视图; 故选:C 6有 5 张背面看上去无差别的扑克牌,正面分别写着 5,6,7,8,9,洗匀后正面向下

12、放在桌子上,从中 随机抽取 2 张,抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是( ) A B C D 【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出恰好是两个连续整数的情况数,即可求出所求概率 【解答】解:列表如下: 5 6 7 8 9 5 (6、5) (7、5) (8、5) (9、5) 6 (5、6) (7、6) (8、6) (9、6) 7 (5、7) (6、7) (8、7) (9、7) 8 (5、8) (6、8) (7、8) (9、8) 9 (5、9) (6、9) (7、9) (8、9) 所有等可能的情况有 20 种,其中恰好是两个连续整数的情况有 8 种, 则 P(恰好是两个连续整数), 故

13、选:B 7开发区某消毒液生产厂家自 2003 年初以来,在库存为 m(m0)的情况下,日销售量与产量持平,自 4 月底抗“非典”以来,消毒液需求量猛增,在生产能力不变的情况下,消毒液一度脱销,以下表示 2003 年初至脱销期间,时间 t 与库存量 y 之间函数关系的图象是( ) A B C D 【分析】正确理解函数图象与实际问题的关系 【解答】解:根据题意:时间 t 与库存量 y 之间函数关系的图象为先平,再逐渐减小,最后为 0 故选:D 8反比例函数 y的图象上有三点(x1,1) ,B(x2,a) ,C(x3,3) ,当 x3x2x1时,a 的取值范 围为( ) Aa3 Ba1 C1a3 D

14、a3 或 a1 【分析】根据反比例函数的性质即可求得 【解答】解:k20, 函数图象在二、四象限,在每个象限内 y 随 x 的增大而增大, A(x1,1) ,C(x3,3) , A(x1,1)在第四象限,C(x3,3)在第二象限, x10,x30, 当 x3x20 时,则 a3, 当 0 x2x1时,则 a1, 故 a 的取值范围为 a3 或 a1, 故选:D 9如图, “杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一,从图中取一列数 1,3,6,10,记 a11,a231+2,a361+2+3,a410,那么 a9+a11ai83,则 i 的值是( ) A13 B10 C8 D7 【分析】

15、由已知数列得出 an1+2+3+n,再求出 a9、ai、a11的值,代入计算可得 【解答】解:由 a11,a23,a36,a410,知 an1+2+3+n, a945、ai、a1166, 则 a9+a11ai83, 可得:45+6683, 解得:i7, 故选:D 10如图,点 A,B,C 是O 上三点,ACBC,点 M 为O 上一点,CEAM,垂足为点 E,AE2, BM,CM,则的长为( ) A B C D 【分析】 在 AE 上截取 AGBM, 连接 CG, 根据全等三角形的性质得到 CGCM, 求得 GE, 解直角三角形得到A30,根据圆周角定理得到COM60,连接 OM,CO,根据等边

16、三角形的 性质得到 OC,根据弧长公式计算即可 【解答】解:在 AE 上截取 AGBM,连接 CG, ACBC,AB, ACGBCM(SAS) , CGCM, AE2,AGBM, GE, CEAM, CE2, tanA, A30, COM60, 连接 OM,CO, OCOM, COM 是等边三角形, OC, 的长, 故选:A 二填空题(共二填空题(共 6 小题)小题) 11计算的结果是 2 【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可 【解答】解:224, 2 故答案为:2 12某生产小组 6 名工人某天加工零件的个数分别是 10,10,11,12,8,10,则这组数据的众数为 10 【分析

17、】在这组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数;据此解答 【解答】解:在数据 10,10,11,12,8,10 中,因为 10 出现了 3 次,所以 10 为这组数据的众数, 故答案为:10 13计算: (1) 2 【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题 【解答】解: (1) 2, 故答案为:2 14如图,四边形 ABCD 中,ABACADBO,DBC15,则BDC 35 【分析】根据圆的定义判断点 B、C、D 在以 A 点为圆心,AB 为半径的圆上,则根据圆周角定理得到 BAC2BDC,CAD2DBC21530,设BDCx,则BAC2x,利用等腰三角形的 性质得BOA2x,利用三角形外

18、角性质得到ADO2x30,则通过计算出ADCACD75 得到 2x30+x75,然后解方程即可 【解答】解:ABACADBO, 点 B、C、D 在以 A 点为圆心,AB 为半径的圆上, BAC2BDC,CAD2DBC21530, 设BDCx,则BAC2x, BOBA, BOA2x, BOAOAD+ADO, ADO2x30, ACAD, ADCACD(18030)75, 即 2x30+x75,解得 x35, 即BDC35 故答案为 35 15已知抛物线 y1(xx1) (xx2)与 x 轴交于 A,B 两点,直线 y22x+b 经过点(x1,0) 若函数 w y1y2的图象与 x 轴只有一个公共

19、点,则线段 AB 的长为 6 【分析】不妨设 A(x1,0) 、B(x2,0) ,根据已知条件得出 x1,A(,0) ,进而判断函数 w y1y2的图象与 x 轴的公共点为点 A;设 w,则 y1w+y2,|AB|x1x2|,根据韦达定理 可化简出答案 【解答】解:y1(xx1) (xx2)与 x 轴交于 A,B 两点,而交点为(x1,0) 、 (x2,0) , 不妨设 A(x1,0) 、B(x2,0) , 直线 y22x+b 经过点(x1,0) , 2x1+b0, x1,A(,0) , 函数 wy1y2的图象与 x 轴只有一个公共点, 该公共点就是点 A, 设 wx2+bx+, y1w+y2

20、 x2+bx+2x+b x2+(b+2)x+b 由韦达定理得:x1+x2(b+6) ,x1x2+3b, |AB|x1x2| 6 故答案为:6 16 如图,在矩形 ABCD 中, 点 E 是 BC 上一点, 点 F 在 AE 边上,连 FC, BAEEFC, CFCD,AB: BC3:2,若 AE,则 AB 的长为 3 【分析】根据矩形的性质得到 ABCD,过 B 作 BGAE 于 G,过 C 作 CHAE 于 H,根据全等三角形 的性质得到 BGCH,根据全等三角形的性质得到 BECE,设 ABCD3x,BC2x,根据勾股定理 得到 x 的值,进而即可得到结论 【解答】解:四边形 ABCD 是

21、矩形, ABCD, CFCD, ABCF, 过 B 作 BGAE 于 G,过 C 作 CHAE 于 H, AGBFHC90, 在ABG 与FCH 中, , ABGFCH(AAS) , AGFH,BGCH, 在EBG 与ECH 中, , EBGECH(AAS) , BECE, AB:BC3:2, 设 ABCD3x,BC2x, BECEx, AEx, x1, AB3x3 故答案为:3 三解答题三解答题 17计算:3x5+(2x2)2x2x3x2 【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则,以及单项式乘单项式法则计算,合并即可得到结果 【解答】解:原式3x5+4x52x5 5x5 18如图,AB 和

22、 CD 相交于点 O,CCOA,DBOD 求证:ACBD 【分析】先根据题意得出CD,再由平行线的性质即可得出结论 【解答】证明:CCOA,DBOD (已知) , 又COABOD(对顶角相等) , CD ACBD(内错角相等,两直线平行) 19某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分 学生进行调查,要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的 一部分 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 12 30 m 54 9 请你根据以上的信息,回答下列问题: (1) 被调查的学生中, 最喜爱

23、体育节目的有 30 人, 这些学生数占被调查总人数的百分比为 20 % (2)被调查学生的总数为 150 人,统计表中 m 的值为 45 ,统计图中 n 的值为 36 (3)在统计图中,E 类所对应扇形圆心角的度数为 21.6 (4)该校共有 2000 名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱新闻节目的学生数 【分析】 (1)观察图表体育类型即可解决问题; (2) 根据 “总数B 类型的人数B 所占百分比” 可得总数; 用总数减去其他类型的人数, 可得 m 的值; 根据百分比所占人数/总人数可得 n 的值; (3)根据圆心角度数360所占百分比,计算即可; (4)用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分

24、比可估计最喜爱新闻节目的学生数 【解答】解: (1)最喜爱体育节目的有 30 人,这些学生数占被调查总人数的百分比为 20% 故答案为 30,20 (2)总人数3020%150 人, m150123054945, n%100%36%,即 n36, 故答案为 150,45,36 (3)E 类所对应扇形的圆心角的度数36021.6 故答案为 21.6 (4)估计该校最喜爱新闻节目的学生数为 2000160 人 答:估计该校最喜爱新闻节目的学生数为 160 人 20已知:如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,ABC 的顶点 A、B、C 均在格点上,点 D 为 AC 边上的一点 (1)线段 AC

25、 的长为 5 (2)在如图所示的网格中,AM 是ABC 的角平分线,在 AM 上求一点 P,使 CP+DP 的值最小,请用 无刻度的直尺,画出 AM 和点 P,并简要说明 AM 和点 P 的位置 【分析】 (1)依据勾股定理即可得到 AC 的长; (2) 取格点 H、 G, 连 AH 交 BC 于点 M, 依据ACH 与AGH 全等, 即可得到 AM 是BAC 的平分线, 连 DG 交 AM 于点 P,则 CP+DP 的最小值等于线段 DG 的长 【解答】解: (1)由图可得,AC5; 故答案为:5; (2)如图取格点 H、G,连 AH 交 BC 于点 M,连 DG 交 AM 于点 P,则 C

26、P+DP 最小 21如图,A,B,C 三点在O 上,ADAB,DEAB 交 BC 于点 E,在 BC 的延长线上取一点 F,使得 EFED (1)求证:DF 是O 的切线; (2)连接 AF 交 DE 于点 M,若 AD4,BF10,求 tanAFD 的值 【分析】 (1)先得出ABDCBD,进而得出 ODDF,即可得出结论; (2)连接 DC,根据圆周角定理得到BADBCD90根据全等三角形的性质得到 CDAD4, ABBC解直角三角形得到 EC3,EFDE5,BD 4,连接 AC 交 BD 于 H,设 BD 与 AF 交于 N,根据相似三角形的性质健康得到结论 【解答】 (1)证明:连接

27、BD, ADAB, BD 是O 的直径, , BD 平分ABC, ABDCBD DEAB, ABDBDE CBDBDE EDEF, EDFEFD EDF+EFD+EDB+EBD180, BDFBDE+EDF90 ODDF OD 是半径, DF 是O 的切线 (2)解:连接 DC, BD 是O 的直径, BADBCD90 ABDCBD,BDBD, ABDCBD(AAS) CDAD4,ABBC DEAB, ABDBDE, DBEBDE, DEBE, DEEFEBBF5, EC3,EFDE5 BCBE+EC8, BD4, 连接 AC 交 BD 于 H,设 BD 与 AF 交于 N, , ACBD,

28、AHCH, DH, DCFBDF90, DBF+DFBDFC+CDF90, DBCCDF, BDFDCF, , DF2, DFBD,ACBD, ACDF, CAFAFD, AHNFDN, , , DN, tanAFD 22某公司有 A 型产品 40 件,B 型产品 60 件,分配给下属甲、乙两个商店销售,其中 70 件给甲店,30 件 给乙店,且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润(元)如下表: A 型利润 B 型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 设分配给甲店 A 型产品 x 件,公司卖出这 100 件产品的总利润为 w, (1)请你求出 w 与 x 的函数关系式; (2)请

29、你帮公司设计一种产品分配方案使总利润最大,最大的总利润是多少元? (3)为了促销,公司决定只对甲店 A 型产品让利 a 元/件,但让利后仍高于甲店 B 型产品的每件利润, 请问 x 为何值时,总利润达最大? 【分析】 (1)首先设甲店 B 型产品有(70 x) ,乙店 A 型有(40 x)件,B 型有(x10)件,列出不 等式方程组求解即可; (2)根据 w 的增减性可得:当 x40 时,w 有最大值,代入可得结论; (3)甲店 A 型产品的利润变为(200a)元,其它不变,则 w(20a)x+16800根据 a30 分类讨 论可得最大值 【解答】解: (1)依题意,分配给甲店 A 型产品 x

30、 件,则甲店 B 型产品有(70 x)件,乙店 A 型有(40 x)件,B 型有30(40 x)件,则 (1)w200 x+170(70 x)+160(40 x)+150(x10)20 x+16800 由, 解得 10 x40 (2)由 w20 x+16800, 200, w 随 x 的增大而增大, 当 x40 时,w 有最大值是:4020+1680017600(元) , 利润最大的分配方案如下: 分配给下属甲商店:A、40 件,B、30 件;乙商店:A、0 件,B、30 件; (3)依题意:W(200a)x+170(70 x)+160(40 x)+150(x10)(20a)x+16800 2

31、00a170, a30, 当 0a20 时,x40,能使总利润达到最大为:40(20a)+16800; 当 a20 时,10 x40,符合题意的各种方案,使总利润都一样是:16800 元; 当 20a30 时,x10,能使总利润达到最大为 10(20a)+16800; 综上所述,x 为 40 件时,总利润达最大 23已知:在ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,AD 边上,且ECFB(090) (1)如图 1,若 CFAD,求证:; (2)如图 2,若 60,AEFECB,求证:四边形 ABCD 是菱形; (3)如图 3,若 45,ACEF,EHBC 于点 H,直接写出的值 【分析】 (1)

32、 如图 1 中, 根据平行四边形的性质得到DECF, 根据平行线的性质得到 CEAB, 根据相似三角形的性质即可得到结论; (2)如图 2 中,连接 AC,根据平行四边形的性质得到 ADBC,B60,推出 A,E,C,F 四点共 圆,根据圆周角定理得到AEFACF,求得ABC 是等边三角形,得到 ABBC,于是得到结论; (3)设 CE3m,BCAD4m,过 C 作 CIBC 交 BA 的延长线于 I,交 AD 于 K,交 EF 于 J,延长 HE 交 DA 的延长线于 L,则 CIBC4m,作 JMLH 于 M,交 BI 于 R,连接 AJ,推出 C,E,A,F 四点共圆,根据圆周角定理得到

33、CEFFAC,根据三角形的内角和得到CEJEJC,求得 CE CJ,根据线段垂直平分线的性质得到 AEAJ,设 BHEHn,CH4mn,在 RtCHE 中,根据勾股 定理得到 nm, (取 nm 时,结论一样) ,求得 KLCH4mnm,根据勾股 定理列方程即可得到结论 【解答】 (1)证明:如图 1 中,在ABCD 中,BD, ECFB, DECF, CFAD, D+DCF90, ECF+DCF90, ECCD, ABCD, CEAB, BECCFD90, BCEDCF, ; (2)证明:如图 2 中,连接 AC, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,B60, BAC120, ECF

34、60, EAF+ECF180, A,E,C,F 四点共圆, AEFACF, AEFBCE, ACFBCE, ACBECF60, ABC 是等边三角形, ABBC, 四边形 ABCD 是菱形; (3)解:方法一: 过 C 作 CMAF 于 M,过 E 作 ENAF 于 N, 由(1)易证, BCAD, , ECFBD, ACDEFC, 易证ACMEFN, , 设 ENAN3x,AM4x, MN7xCH,AEEN3x, 方法二:ECFB45, , 设 CE3m,BCAD4m, 过 C 作 CIBC 交 BA 的延长线于 I,交 AD 于 K,交 EF 于 J,延长 HE 交 DA 的延长线于 L,

35、 则 CIBC4m,作 JMLH 于 M,交 BI 于 R,连接 AJ, ECFB45, EAF135, C,E,A,F 四点共圆, CEFFAC, ACEF, EJCCAF, CEJEJC, CECJ, AC 垂直平分 EJ, AEAJ, 设 BHEHn,CH4mn, 在 RtCHE 中,EH2+CH2CE2, n2+(4mn)2(3m)2, 解得:nm, (取 nm 时,结论一样) , KLCH4mnm, MEMHHECJEH3mm,LELA,KJLMME m,AKLKALm, AE2AJ2AK2+JK2(m)2+(m)2, 解得:AEm, 24如图 1,抛物线 yax22ax3a(a0)

36、与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左边) ,与 y 轴交于点 C (1)求 A,B 两点的坐标; (2)当 a1 时,P 为 BC 上方的抛物线上一点,满足PCB+CBACAB,求点 P 的坐标; (3)如图 2,若 Q 为抛物线上一点,满足QCB 的面积为 9 的点 Q 有四个时,求 a 的取值范围 【分析】 (1)令 y0 得:ax22ax3a0,解方程即可得到点 A,B 的坐标; (2)作点 C 在抛物线上的对称点 C,连接 BC,作线段 BC 的垂直平分线 DE 交 BC于 E,连接 CE 交抛物线于 P,可证明PCB+CBACAB,当 a1 时,先求出 BC 的中点 E

37、 的坐标,根据等腰三 角形性质可知 OEBC,利用待定系数法求直线 OE 和直线 BC解析式,即可求得点 E 坐标,在应用待 定系数法求直线 CE 解析式,联立方程组即可求得点 P 坐标; (3)由于 a0,抛物线开口向下,在直线 BC 下方的抛物线上满足QCB 的面积为 9 的点 Q 一定存在 两个,过点 Q 作 HQBC 交 y 轴于 H(0,t) ,连接 BH,求出直线 HQ 解析式,利用直线 HQ 与抛物线 有两个交点,即相关一元二次方程根的判别式大于 0,即可求得 a 的范围 【解答】解: (1)在 yax22ax3a(a0)中, 令 y0 得:ax22ax3a0, a0, x22x

38、30, x11,x23, A(1,0) ,B(3,0) ; (2)如图 1,作点 C 在抛物线上的对称点 C,连接 BC,作线段 BC 的垂直平分线 DE 交 BC于 E, 连接 CE 交抛物线于 P, DE 垂直平分 BC, EBEC, PCBCBC, CBACBA+CBC, CBACBA+PCB, CABCBA, PCB+CBACAB, 当 a1 时,抛物线解析式为:yx2+2x+3, 令 x0,得 y3, C(0,3) , OC3, OB3, OBOC, BC 的中点 E 的坐标为(,) , 连接 OE, OEBC, 设直线 OE 解析式为 ykx, 则:k, k1, 直线 OE 解析式

39、为 yx, 抛物线对称轴为直线 x1, C(2,3) , 设直线 BC解析式为 yk1x+b1,将 B(3,0) ,C(2,3)代入,得: , 解得:, 直线 BC解析式为 y3x+9, 联立方程组,得:, 解得:, E(,) , 设直线 CE 解析式为 ymx+n,将 C(0,3) ,E(,)代入,得: , 解得:, 直线 CE 解析式为 yx+3, 联立方程组,得, 解得:(舍去) , 点 P 的坐标为(,) ; (3)在直线 BC 下方抛物线上,满足QCB 的面积为 9 的点 Q 一定存在两个, 在点 C 上方 y 轴上取点 H 如图 2,过点 Q 作 HQBC 交 y 轴于 H(0,t

40、) ,连接 BH, HQBC SBCHSQBC9, C(0,3a) , t(3a)39, t63a, H(0,63a) , 设直线 BC 解析式为 yk2x+b2,则: , 解得:, 直线 BC 解析式为 yax3a, 直线 HQ 解析式为 yax+63a, 由于抛物线yax22ax3a与直线HQ的交点情况由方程ax22ax3aax+63a的根的判别式确定, 将 ax22ax3aax+63a 整理得:ax23ax60, (3a)24a(6)9a2+24a, 当0 时,抛物线 yax22ax3a 与直线 HQ 有两个交点,令0,得 9a2+24a0, 解得:a10,a2, 将9a2+24a 看作关于 a 的二次函数,90,开口向上, 当 a或 a0 时,9a2+24a0, a0, a