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2021届中考数学压轴大题专项训练专题02:四边形(含答案解析)

1、 专题 02 四边形 2021 届中考数学压轴大题专项训练(解析版) 1如图,在正方形 ABCD中,E、F是对角线 BD 上两点,且EAF45 ,将 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 后,得到 ABQ,连接 EQ (1)求证:EA是QED的平分线; (2)已知 BE1,DF3,求 EF 的长 【详解】 证明: (1)将 ADF绕点 A 顺时针旋转 90 后,得到 ABQ, QBDF,AQAF,BAQDAF, EAF45 , DAF+BAE45 , QAE45 , QAEFAE, 在 AQE和 AFE中, AQAF QAEFAE AEAE , AQEAFE(SAS) , AEQAEF, EA

2、是QED的平分线; (2)由(1)得 AQEAFE, QEEF,ADFABQ, 四边形 ABCD是正方形, ADBABD45 , ABQ45 , QBEABQ+ABD90 , 在 Rt QBE 中,QB2+BE2QE2, 又QBDF, EF2BE2+DF21+910, EF10 2四边形 ABCD为正方形,点 E为线段 AC 上一点,连接 DE,过点 E 作 EFDE,交射线 BC 于点 F,以 DE、EF为邻边作矩形 DEFG,连接 CG (1)如图,求证:矩形 DEFG 是正方形; (2)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 35 时,求EFC 的度数 【详解】 解: (1)

3、证明:如图,作 EPCD于 P,EQBC于 Q, 四边形 ABCD 为正方形, DCABCA45 , EQEP, 矩形 DEFG, PED+PEF90 , QEF+PEF90 , QEFPED, 在 Rt EQF和 Rt EPD中, QEFPED EQEP EQFEPD , RtEQFRtEPD(ASA) , EFED, 矩形 DEFG 是正方形; (2)当 DE与 AD 的夹角为 35 时, 如图 2, ADE35 ,ADC90 , EDC55 , 360909055125 ,EFC 当 DE与 DC的夹角为 35 时, 如图 3,即,DC EF交于H, 90 ,DEHDCFDHEFHC E

4、DCEFC35 , 综上所述:EFC35 或 125 3 如图所示, 四边形ACED中,CEAD, 以DC,DE为边作平行四边形DCFE,EC的延长线交AF 于B,求证:ABFB. 【详解】 证明:如图,延长 FC 交 AD于点 G, 四边形 CDEF为平行四边形, CFDE,CF=DE, 又CEAD, 四边形 CEDG为平行四边形, CG=DE, CF=CG,且 BCAG, BC是 FAG的中位线, B为 AF 的中点, 即 AB=FB 4如图 1,已知正方形ABCD和正方形CEGF,点 ,F C B在同一直线上,连接BE,DF,DF与EG相 交于点M (1)求证:BEFD (2)如图 2,

5、N是BC边上的一点,连接AN交BE于点H,且 BNGM BCGE 求证:BNEC ; 若2CEDE,直接写出 BN AB 的值 【详解】 解: (1)四边形 ABCD和四边形 CEGF是正方形, BC=CD=AB,CE=CF,BCE=DCF=90 BCEDCF(SAS) , BE=FD; (2)四边形 ABCD和四边形 CEGF是正方形, CD/GE,GF=EC DEMFGM, GMGFEC EMDEDE GMEC EGDC BNGM BCGE BNEC BCDC BC=CD BNEC 2CEDE 2 3 CEDC BNEC 2 3 BN DC AB=CD 2 3 BN AB 5 如图 1,

6、已知正方形 ABCD, AB4, 以顶点 B为直角顶点的等腰 Rt BEF 绕点 B 旋转, BEBF10, 连结 AE,CF (1)求证: ABECBF (2)如图 2,连结 DE,当 DEBE 时,求 S BCF的值 (3)如图 3,当 Rt BEF旋转到正方形 ABCD外部,且线段 AE 与线段 CF 存在交点 G 时,若 M是 CD的 中点,P是线段 DG上的一个动点,当满足 MP+ 2 2 PG的值最小时,求 MP 的值 【详解】 解: (1)四边形 ABCD是正方形, ABBC,ABC90 , EBF90 ABC, ABECBF, 又BEBF,ABBC, ABECBF(SAS) ;

7、 (2)如图 2,过点 E作 EHAB 于 H, ABECBF, S ABES CBF, ADAB,AEAE,DEBE, ADEABE(SSS) , DAEBAE45 , EHAB, EABAEH45 , AHEH, BE2BH2+EH2, 10BE2+(4BE)2, BE1 或 3, 当 BE1 时 S ABES CBF 1 2 AB EH 1 2 4 11, 当 BE3 时 S ABES CBF 1 2 AB EH 1 2 4 36, (3)如图 3,过点 P作 PKAE 于 K, 由(1)同理可得 ABECBF, EABBCF, BAE+CAE+ACB90 , BCF+CAE+ACB90

8、 , AGC90 , AGCADC90 , 点 A,点 G,点 C,点 D四点共圆, ACDAGD45 , PKAG, PGKGPK45 , PKGK 2 2 PG, MP+ 2 2 PGMP+PK, 当点 M,点 P,点 K三点共线时,且点 E,点 G重合时,MP+ 2 2 PG值最小, 如图 4,过点 B作 BQCF于 Q, BEBF10,EBF90 ,BQEF, EF2 5,BQEQFQ5, CQ 22 BCBQ16511, CECQEQ 115, MKAE,CEAE, MKCE, DMMP DCCE , 又M 是 CD 的中点, DC2DM, MP 1 2 CE 115 2 6如图,在

9、正方形ABCD中,点E、F均为中点,连接AF、DE交于点P,连接PC,证明: 2PEPFPC 【详解】 证明:如图,延长DE至N,使得ENPF,连接CN, 在正方形ABCD中, E、F分别是BC、CD的中点, CEDF, 在ADF和DCE中, , 90 , , ADCD ADFDCE DFCE ADFDCE SAS , AFDDEC, CFPCEN, 在CEN和CFP中, , , , CECF CENCFP ENPF CENCFP SAS , CNCP,ECNPCF, 90PCFBCP, 90ECNBCPNCP, NCP 是等腰直角三角形, 2PNPENEPC 即 2PEPFPC 7如图,正方

10、形 ABCD 中,E为 BC 上一点,过点 B 作BGAE于 G,延长 BG 至点 F 使45CFB (1)求证:BAGCBF; (2)求证:AGFG; (3)若2,2GFBG CF,求 AB的长 【详解】 (1)证明:因为 ABCD 是正方形 所以90ABGCBF 在三角形 BGA中, 因为,BGAEBAGCBF (2)过点 C作CHBF, ,AGBF CHBF 90AGBBHC 因为 ABCD是正方形, 所以 AB=BC, 由(1)BAGCBF 所以AGBBHC ,AGBH BGCH 在三角形 CHF 中,45 ,CBFFHCH GFGHFHGHCHGHBGBHAG, 所以AGFG (3)

11、在三角形 CHF 中, 45 ,2CFBCF 1CHHF BGCH 2CFBG 2FG AGFG 222 215ABAGBG 8已知正方形 ABCD,点 E 在 AB上,点 G在 AD,点 F在射线 BC上,点 H 在 CD 上 (1)如图 1,DEFG,求证:BFAE+AG; (2)如图 2,DEDF,P 为 EF中点,求证:BE 2PC; (3)如图 3,EH交 FG 于 O,GOH45 ,若 CD4,BFDG1,则线段 EH的长为 【详解】 解: (1)如图 1,过点 G作 GMBC 于 M, 则GMBGMF90 , 四边形 ABCD是正方形, ADAB,AB90 , 四边形 ABMG

12、是矩形, AGBM, DEGF, ADE+DGFADE+AED90 , AEDDGF, 又DGFMFG, AEDMFG, DAEGMF(AAS) , AEMF, 则 BFBM+MFAG+AE; (2)如图 2,过点 E作 EQPC,交 BC于点 Q, P 是 EF的中点, PC 是 EQF的中位线, 则 EQ2PC,QCCF, ADCEDF90 , ADECDF, 又ADCF90 ,ADCD, ADECDF(ASA) , AECFQC, ABBC, BEBQ, 则BEQ45 , EQ 2BE, 则 2PC 2BE, BE 2PC; (3)如图 3所示,作 BMGF交 AD 于 M,作 BNEH

13、 交 CD 于 N, 则四边形 BFGM 和四边形 BEHN 是平行四边形, BMGF,BFMG1,BNEH, DG1,CDAD4, AM2, 延长 DC到 P,使 CPAM2, BABC,ABCP90 , BAMBCP(SAS) , ABMCBP,BMBP, GOH45 ,BNEH,BMGF, MBN45 , ABM+CBN45 , CBP+CBN45 ,即PBN45 , MBNPBN(SAS) , MNPN, 设 CNx,则 MNPNCN+PCx+2,DN4x, 在 Rt DMN中,由 DM2+DN2MN2可得 22+(4x)2(x+2)2, 解得 x 4 3 , 则 EHBN 22 BC

14、CN 22 4 4( ) 3 4 10 3 , 故答案为: 4 10 3 9已知:四边形ABCD为正方形,AMN是等腰Rt,90AMN (1)如图:当Rt AMN绕点A旋转时,若边AM、AN分别与BC、CD相交于点E、F,连接EF, 试证明:EFDFBE (2)如图,当Rt AMN绕点A旋转时,若边AM、AN分别与BC、CD的延长线相交于点E、F,连 接EF 试写出此时三线段EF、DF、BE的数量关系并加以证明 若6CE ,2DF ,求:正方形ABCD的边长以及AEF中AE边上的高 【详解】 (1)证明:如图 1,延长 CB 到 G,使 BG=DF,连接 AG, 四边形 ABCD是正方形, D

15、=ABC=DAB=ABG=90 ,AD=AB, 在 ADF和 ABG中, ADAB DABG DFBG , ADFABG(SAS) , AG=AF,DAF=BAG, EAF=45 , EAG=EAB+BAG=EAB+DAF=45 , EAF=EAG, AE=AE, EAFEAG, EF=EG=EB+BG=EB+DF (2)三线段EF、DF、BE的数量关系是:EFBEDF,理由如下: 如图 2,在BC上取一点G,使BGDF 连接AG,同(1)可证ABGADF, AG=AF,DAF=BAG, AMN是等腰直角三角形, 45MNAN, 45FADDAE, 45DAEBAG, 90DAB, 90454

16、5GAEFAE, 在FAE和GAE中, AFAG FAEGAF AEAE FAEGAE SAS, EFEGBEBG, BGDF, EFBEDF 如图 2,过 F作 FHAE于 H, 设正方形 ABCD的边长是 x,则 BC=CD=x, CE=6,DF=BG=2, EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4, 在 Rt FCE中,由勾股定理得:EF2=FC2+CE2, (x+4)2=(x+2)2+62 , 解得:x=6, AG=AF= 22 622 10 , FAM=45 ,FH= 2 2 AF= 2 2 10 2 =2 5, , 即 AEF中 AE 边上的高为2 5 10如图

17、,在边长为a的正方形 ABCD中,作ACD的平分线交 AD于 F,过 F 作直线 AC的垂线交 AC于 P,交 CD的延长线于 Q,又过 P作 AD的平行线与直线 CF 交于点 E,连接 DE,AE,PD,PB (1)求 AC,DQ的长; (2)四边形 DFPE 是菱形吗?为什么? (3)探究线段 DQ,DP,EF 之间的数量关系,并证明探究结论; (4)探究线段 PB 与 AE之间的数量关系与位置关系,并证明探究结论 【详解】 解: (1)AC= 22 aa2a , CF平分BCD,FDCD,FPAC, FD=FP,又FDQ=FPA,DFQ=PFA, FDQFPA(ASA) , QD=AP,

18、 点 P 在正方形 ABCD对角线 AC上, CD=CP=a, QD=AP=AC-PC=21 a; (2)FD=FP,CD=CP, CF垂直平分 DP,即 DPCF, ED=EP,则EDP=EPD, FD=FP, FDP=FPD, 而 EPDF, EPD=FDP, FPD=EPD, EDP=FPD, DEPF,而 EPDF, 四边形 DFPE 是平行四边形, EFDP, 四边形 DFPE 是菱形; (3)DP2+ EF2=4QD2,理由是: 四边形 DFPE 是菱形,设 DP 与 EF交于点 G, 2DG=DP,2GF=EF, ACD=45 ,FPAC, PCQ为等腰直角三角形, Q=45 ,

19、 可得 QDF为等腰直角三角形, QD=DF, 在 DGF中,DG2+FG2=DF2, 有( 1 2 DP)2+( 1 2 EF)2=QD2 , 整理得:DP2+ EF2=4QD2; (4)DFQ=45 ,DEFP, EDF=45 , 又DE=DF=DQ=AP=21 a,AD=AB, ADEBAP(SAS) , AE=BP,EAD=ABP, 延长 BP,与 AE 交于点 H, HPA=PAB+PBA=PAB+DAE, PAB+DAE+HAP=90 , HPA+HAP=90 , PHA=90 ,即 BPAE, 综上:BP 与 AE的关系是:垂直且相等. 11 如图 1, 在一个平面直角三角形中的

20、两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。 在 ABC中, C=90 , 则 AC2+BC2AB2我们定义为“商高定理”。 (1)如图 1,在 ABC 中,C=90 中,BC4,AB5,试求 AC_; (2)如图 2,四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O,ACBD试证明:AB2+CD2AD2+BC2; (3) 如图 3, 分别以 Rt ACB 的直角边 BC和斜边 AB为边向外作正方形 BCFG 和正方形 ABED, 连结 CE、 AG、GE已知 BC4,AB5,求 GE2的值 【详解】 解: (1) :在 ABC中,C=90 中,BC=4,AB=5, AC= 22 ABBC =3, 故

21、答案为:3; (2)证明:在 Rt DOA中,DOA=90 , OD2+OA2=AD2, 同理:OD2+OC2=CD2,OB2+OC2=BC2,OA2+OB2=AB2, AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2, AB2+CD2=AD2+BC2 ; (3)解:连接 CG、AE,设 AG 交 CE于 I,AB 交 CE 于 J,如图 3 所示: 四边形 BCFG 和四边形 ABED 都是正方形, GBC=EBA=90 ,AB=BE=5,BG=BC=4, GBC+CBA=EBA+CBA, ABG=EBC, 在 ABG和 EBC 中, = ABB

22、E ABGEBC BGBC , ABGEBC(SAS) , BAG=BEC, AJI=EJB, EBJ=AIJ=90 , AGCE, 由(2)可得:AC2+GE2=CG2+AE2, 在 Rt CBG 中,CG2=BC2+BG2, 即 CG2=42+42=32, 在 Rt ABE 中,AE2=BE2+AB2, 即 AE2=52+52=50, 在 Rt ABC 中,AB2=AC2+BC2, 即 52=AC2+42, AC2=9, AC2+GE2=CG2+AE2 , 即 9+GE2=32+50, GE2=73 12已知:在正方形 ABCD中,AB3,E是边 BC上一个动点(点 E 不与点 B,点 C

23、重合) ,连接 AE,点 H 是 BC 延长线上一点过点 B作 BFAE,交 AE于点 G,交 DC 于点 F (1)求证:AEBF; (2)过点 E作 EMAE,交DCH的平分线于点 M,连接 FM,判断四边形 BFME 的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,EMC的正弦值为 2 10 ,求四边形 AGFD 的面积 【详解】 解:证明: (1)在正方形 ABCD 中, ABEBCF90 ,ABBC, BAE+ABF90 ,CBF+ABF90 , BAECBF,且ABEBCF90 ,ABBC, ABEBCF(ASA) AEBF, (2)四边形 BFME 是平行四边形 理由如下:如图 1

24、:在 AB上截取 BNBE, ABEBCF BAEFBC ABBC,BNBE, ANEC,BNE45 ANE135 CM 平分DCH DCMMCH45 ECM135 ANE AEEM AEB+MEC90 ,AEB+BAE90 BAEMEC,且 ANEC,ANEDCM ANEECM(SAS) AEEM,BAEMEC BAEFBCMEC BFEM,且 BFAEEM 四边形 BFME 是平行四边形 (3)如图 2,连接 BD,过点 F作 FNBD于点 N, 四边形 ABCD是正方形, ABBCCD3,DBCBDC45 , BD3 2,DBF+FBC45 MCHMEC+EMC45 ,FBCMEC EM

25、CDBF sinEMCsinDBF NF BF 2 10 设 NF 2a,BF10a, BDC45 ,FNBD DNNF 2a,DF2NF2a BN3 22a BF2NF2BN2, 98a2(3 22a) 2, a 3 8 DF23 8 3 4 FC 9 4 ABEBCF BECF 9 4 , EC 3 4 ,BF 22 BCCF 15 4 FBCFBC,BGEBCF BGEBCF BGGEBE BCFCBF 9 4 915 3 44 BGGE BG 9 5 ,GE 27 20 S四边形ADFGS四边形ADECS四边形ECFG, S四边形ADFG 13191927693 3+3 24242520200 (3)-(-)=