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2021年高三数学考点复习:三角函数的图象与性质

1、考点九 三角函数的图象与性质 1 A卷 PART ONE 一、选择题 1(2020 陕西西安中学第四次模拟)为得到函数 ysin2x 的图象,可 将函数 ysin 2x 3 的图象( ) A向右平移 3个单位 B向左平移 6个单位 C向左平移 3个单位 D向右平移 2 3 个单位 解 析 y sin2x cos 2x 2 cos 2 x 4 , y sin 2x 3 cos 2x 3 2 cos 2x5 6 cos 2 x5 12 ,则要得到函数 ysin2x 的图 象,可将函数 ysin 2x 3 的图象向右平移 4 5 12 3个单位 答案答案 解析解析 解析 由题意可得 f(x)sin

2、x 3 ,令 2k 2x 32k 2,kZ, 得 2k5 6 x2k 6,kZ,令 k1,得 7 6 x13 6 ,所以 的最大值 为13 6 .故选 D. 2(2020 山东济宁嘉祥县一中考前训练二)若函数 f(x)1 2sinx 3 2 cosx 在2,上单调递增,则 的最大值为( ) A3 B5 2 C7 3 D13 6 答案答案 解析解析 解析 f(x)sin x 3 acos x 3 1a2 sin x 3 ,其中 tan a, 函数 f(x)的一条对称轴方程为 x 2, f 2 1a2, cos 3acos 6 1a2,化简得 a 3. 3 (2020 吉林第四次调研测试)函数 f

3、(x)sin x 3 asin x 6 的一条对 称轴方程为 x 2,则 a( ) A1 B 3 C2 D3 答案答案 解析解析 4(2020 天津高考)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论: f(x)的最小正周期为 2;f 2 是 f(x)的最大值;把函数 ysinx 的 图象上所有点向左平移 3个单位长度,可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案答案 解析 因为 f(x)sin x 3 , 所以最小正周期 T2 1 2, 故正确; f 2 sin 2 3 sin5 6 1 21,故不正确;将函数 ysinx 的图象上所有点向 左平移 3

4、个单位长度,得到 ysin x 3 的图象,故正确故选 B. 解析解析 5 (2020 山东莱西一中、 高密一中、 枣庄三中模拟)若 f(x)sin x 6 (x 0, , 0)有零点, 值域为 M 2 2 , , 则 的取值范围是( ) A. 1 2, 4 3 B 4 3,2 C 1 6, 1 3 D 1 6, 17 12 答案答案 解析 x0,则 x 6 6, 6 ,又 f(x)有零点,值域为 M 2 2 , ,故 0 6 5 4 ,解得1 6 17 12.故选 D. 解析解析 6 (2020 山东日照一模)已知函数 f(x) 2sinx 和 g(x) 2cosx(0) 图象的交点中, 任

5、意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点 为 了得到 yg(x)的图象,只需把 yf(x)的图象( ) A向左平移 1 个单位 B向左平移 2个单位 C向右平移 1 个单位 D向右平移 2个单位 答案答案 解析 如图所示,令 f(x) 2sinxg(x) 2cosx,则 tanx1,x 4 k ,kZ.取靠近原点的三个交点,A 3 4,1 ,B 4,1 , C 5 4,1 ,由ABC 为等腰直角三角形,得 5 4 3 4 2 4,故 2, 故 f(x) 2sin 2x, g(x) 2cos 2x 2sin 2x 2 , 故为了得到 yg(x)的图象, 只需把 yf(x)的图象向左平移 1

6、 个单位故选 A. 解析解析 7(多选)(2020 山东泰安四模)设函数 g(x)sinx(0)向左平移 5个 单位长度得到函数 f(x),已知 f(x)在0,2上有且只有 5 个零点,则下列结论 正确的是( ) Af(x)的图象关于直线 x 2对称 B f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点,在(0,2)上有且只有 2 个极小 值点 Cf(x)在 0, 10 上单调递增 D 的取值范围是 12 5 ,29 10 答案答案 解析 依题意得 f(x)g x 5 sin x 5 sin x 5 ,T2 ,如 图,对于 A,令 x 5k 2,kZ,得 x k 3 10,kZ,所以 f(x)的

7、 图象关于直线 xk 3 10(kZ)对称,故 A 不正确; 解析解析 对于 B,根据图象可知,xA2xB,所以 f(x)在(0,2)上有 3 个极大值 点,f(x)在(0,2)上有 2 个或 3 个极小值点,故 B 不正确;对于 D,因为 xA 5 5 2T 5 5 2 2 24 5 ,xB 53T 53 2 29 5 ,所 以24 5 229 5 , 解得12 5 29 10, 故 D 正确; 对于 C, 因为 5 1 4T 5 1 4 2 3 10, 由图可知 f(x)在 0, 3 10 上单调递增,因为 29 103, 所以 10 3 10 10 1 3 0,0), 将 yf(x)的图

8、象上所有点向左平移 3个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短 为原来的1 2,得到函数 yg(x)的图象若 g(x)为偶函数,且最小正周期为 2, 则( ) Ayf(x)的图象关于 12,0 对称 Bf(x)在 0,5 12 上单调递增 Cf(x)g x 2 在 0,5 4 上有且仅有 3 个解 Dg(x)在 12, 5 4 上有且仅有 3 个极大值点 答案答案 解析 函数 f(x)sin(x), 将 yf(x)的图象上所有点向左平移 3个单 位,可得 ysin x 3 ,再将横坐标缩短为原来的 1 2 ,可得 g(x) sin 2x 3 ,因为函数 g(x)的最小正周期为 2,即 2 2 2,解

9、得 2, 可得 g(x)sin 4x2 3 ,又函数 g(x)为偶函数,则2 3 2k,kZ, 即 6k,kZ,当 k1 时,可得 5 6 ,所以 f(x)sin 2x5 6 ,令 2x5 6 k,kZ,得 xk 2 5 12,kZ,当 k1 时,x 12,即函数 f(x) 的图象关于 12,0 对称,所以 A 正确;当 x 0,5 12 时,5 6 2x5 6 0)是偶函数,则 的最小值是 _ 解析 因为 f(x)sin(2x2)是偶函数,所以 2 2k,kZ,即 4 k 2 ,kZ,又 0,故当 k0 时, 取得最小值 4. 答案答案 解析解析 答案 x5 24 10(2020 江苏高考)

10、将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长 度,则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_ 解析 将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度, 所得图象对 应的解析式为 y3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 ,令 2x 12 2k(kZ), 得 x7 24 k 2 (kZ)当 k1 时,x5 24,当 k0 时,x 7 24,故与 y 轴最近的对称轴方程为 x5 24. 答案答案 解析解析 11(2020 山东德州一模)若函数 f(x)sin x 6 (0)在 0,5 18 上存在 唯一极值点,且在 2, 上单调,则 的取值范围为_ 答案 6 5

11、 4 3 解析 x 0,5 18 ,则 x 6 6, 5 18 6 ,故 2 5 18 6 3 2 ,解得6 5 24 5 ,T 2 2 2,故 T,2,即 6 52.x 2, ,则 x 6 2 6, 6 ,故 2 6 23 30 ,7 6 ,则 6 3 2 ,解得 4 3.综上所 述,6 50,00, 所以2 2, 24. 由于 f(x)的图象关于点 4,0 对称,关于直线 x 4 对称,所以 4k1, 4k2 2, k1,k2Z, 两式相加得 2(k1k2) 2,k1,k2Z, 解析解析 由于 0 2,02,所以 2 2 4. 则 4 4k14k11,k1Z,结合 20,0,| 2 的图象

12、如图所示 (1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度,得到函数 yg(x)的图象, 设 h(x)g(x)f(x),求函数 h(x)在 0, 2 上的最大值 解 (1)由题意可得 A2,最小正周期 T4 7 12 3 , 则 2 T 2, 由 f 7 12 2sin 7 6 2,| 2, 可得 3,所以 f(x)2sin 2x 3 . 解解 (2)由题意可知 g(x)2sin 2 x 6 3 2sin2x, 所以 h(x)g(x)f(x)2sin2x2sin 2x 3 2sin2x2sin2xcos 3 2cos2xsin 33sin2x 3cos2x2 3

13、sin 2x 6 . 由 x 0, 2 可得 2x 6 6, 7 6 , 所以函数 h(x)在 0, 2 上的最大值为 2 3. 解解 14已知函数 f(x)cosx(sinx 3cosx) (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在区间 3, 2 3 上的单调性 解 (1)由题意得 f(x)cosxsinx 3cos2x 1 2 sin2x 3 2 (1cos2x) 1 2 sin2x 3 2 cos2x 3 2 sin 2x 3 3 2 . 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 ,最大值为 1 3 2 . 解解 (2)令 z2x 3,则函数 ysinz 的单调递增区

14、间是 22k, 22k , kZ. 由 22k2x 3 22k,kZ,得 12kx 5 12k,kZ, 设 A 3, 2 3 ,B x| 12kx 5 12k,kZ ,易知 AB 3, 5 12 , 所以当 x 3, 2 3 时, f(x)在区间 3, 5 12 上单调递增, 在区间 5 12, 2 3 上单调递减 解解 2 B卷 PART TWO 一、选择题 1(2020 山东枣庄二调)已知函数 f(x)sin 2x 3 ,则下列结论正确的 是( ) Af(x)的最小正周期为 2 Bf(x)的图象关于点 3,0 对称 Cf(x)在 2, 11 12 上单调递增 D.5 12是 f(x)的一个

15、极值点 答案答案 解析 f(x)sin 2x 3 ,最小正周期为 T2 2 ,A 错误;f 3 sin 2 3 3 3 2 , 3,0 不是函数 f(x)图象的对称中心,B 错误;当 x 2, 11 12 时,2x 3 2 3 ,3 2 ,f(x)单调递减,C 错误;f 5 12 sin 25 12 3 1 是函数的最大值,5 12是 f(x)的一个极值点,D 正确故选 D. 解析解析 2若直线 xa(0a1)与函数 ytanx 的图象无公共点,则不等式 tanx2a 的解集为( ) A. x|k 6xk 2,kZ B. x|k 4xk 2,kZ C. x|k 3xk 2,kZ D. x|k

16、4xk 4,kZ 答案答案 解析 因为直线 xa(0a0),得到函数 g(x)的图象, 若 g(x)在 0, 2 上的值域为 1 2,1 ,则 的取值范围为( ) A. 4 3, 8 3 B 1 3, 5 3 C. 4 3, D 8 3, 答案答案 解析 将函数 f(x)cosx 的图象向右平移 2 3 个单位长度,可得 y cos x2 3 的图象;再将各点的横坐标变为原来的 1 (0),得到函数 g(x) cos x 2 3 的图象若 g(x)在 0, 2 上的值域为 1 2,1 ,此时,x 2 3 2 3 , 2 2 3 ,0 2 2 3 2 3 ,求得4 3 8 3,故选 A. 解析解

17、析 解析 由题意可知, a,2 2, 2 , f(2)2sin21,2 6, 12, 则 amin6,(2a)max8.故选 D. 答案答案 解析解析 5(2020 湖南湘潭三模)已知函数 f(x)2sinx(0)在 xa,2(a0)上 的最大值为 1 且单调递增,则 2a 的最大值为( ) A5 B6 C7 D8 6(2020 山东日照二模)已知函数 f(x)sin 2x 6 ,若方程 f(x)3 5的解 为 x1,x2(0x1x2),则 sin(x1x2)( ) A3 5 B4 5 C 2 3 D 3 3 答案答案 解析 函数f(x)sin 2x 6 的对称轴满足2x 6k 2(kZ),

18、即x k 2 3(kZ),令 k0 可得函数在区间(0,)上的一条对称轴为 x 3,结合三 角函数的对称性可知 x1x22 3 ,则 x12 3 x2,sin(x1x2)sin 2 3 2x2 sin 32x2 cos 2x2 6 .由题意,sin 2x2 6 3 5,且 0x1x2, 12x1 3 x27 12, 22x2 60,| 2 ,f 8 0,f(x)|f 3 8 |恒成立,且 f(x)在区间 12, 24 上单调,则下列说法正确的是( ) A存在 ,使得 f(x)是偶函数 Bf(0)f 3 4 C 是奇数 D 的最大值为 3 答案答案 解析 f 8 0,f(x)|f 3 8 |,则

19、3 8 8 2 1 4 k 2 T,kN,故 T 2 2k1,2k1,kN,f 8 0,则 f 8 sin 8 0,故 8 k , 8 k , k Z, 当 x 12, 24 时 , x 24 k, 6 k , kZ, f(x)在区间 12, 24 上单调, 故 24 12 8 T 2, 故 T 4,即 8,00),下面结论正确的是( ) A若 f(x1)1,f(x2)1,且|x1x2|的最小值为 ,则 2 B存在 (1,3),使得 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后得到的图象 关于 y 轴对称 C若 f(x)在0,2上恰有 7 个零点,则 的取值范围是 41 24, 47 24 D若 f

20、(x)在 6, 4 上单调递增,则 的取值范围是 0,2 3 答案答案 解析 依题意 f(x)cos 2x2 3 , 0, 1f(x)1.对于 A, 若 f(x1) 1,f(x2)1,且|x1x2|的最小值为 ,则T 2 2 21,故 A 错 误;对于 B,当 2 时,f(x)cos 4x2 3 ,向右平移 6个单位长度后得 到 ycos 4 x 6 2 3 cos4x,其为偶函数,图象关于 y 轴对称,故 B 正确;对于 C,0 x2,则2 3 2x2 3 42 3 ,若 f(x)在0,2上恰有 解析解析 7 个零点,则15 2 42 3 17 2 ,解得41 240,故 k 0,02 3,

21、所以 D 正确故选 BCD. 解析解析 二、填空题 9(2020 北京高考)若函数 f(x)sin(x)cosx 的最大值为 2,则常数 的一个取值为_ 答案 2 2k 2,kZ均可 解析 因为 f(x)cossinx(sin1)cosxcos2sin12sin(x ),且 f(x)的最大值为 2,所以cos2sin122,解得 sin1,故可 取 2 2k 2,kZ均可 . 答案答案 解析解析 解析 由题意知,f(x)sinxcosx 2sin x 4 ,所以 22kx 4 22k,kZ,解得 3 4 2kx 42k,kZ,令 k0 可得, 3 4 x 4,所以 3 4 , 4 为函数 f(

22、x)的一个单调递增区间,因为函数 f(x)在0, a上单调递增,所以 00,0,| 2 ,f(x)的部分图象如图所示,g(x)f x 12 ,当 x1,x2 12, 3 时,则|g(x1)g(x2)|的最大值为_ 答案答案 解析 由图象可得 A2,1 4 2 5 12 6,解得 2. f 5 12 2cos 25 12 2,又| 2,解得 6. f(x)2cos 2x 6 ,f(x)sin 2x 6 c(c 为常数) g(x)f x 12 sin2xc. 当 x 12, 3 时, 2x 6, 2 3 , sin2x 1 2,1 .当 x1, x2 12, 3 时,则|g(x1)g(x2)|si

23、n2x1sin2x2|1 1 2 3 2.因此当 x1,x2 12, 3 时,|g(x1)g(x2)|的最大值为3 2. 解析解析 三、解答题 13(2020 海南中学高三摸底)已知 a(2sinx,cos2x),b( 3cosx,2), f(x)a b. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)求函数 f(x)在区间 0, 2 上的最大值和最小值 解 (1)f(x) a b 23 sinxcosx 2cos2x 3 sin2x cos2x 1 2sin 2x 6 1,f(x)的最小正周期为 T2 2 . 由 22k2x 6 3 2 2k,kZ,得 6kx 2 3 k,kZ, f

24、(x)的单调递减区间为 6k, 2 3 k ,kZ. 解解 (2)x 0, 2 ,2x 6 6, 7 6 , 当 2x 6 7 6 ,即 x 2时,函数 f(x)取得最小值,为 2sin 7 6 10; 当 2x 6 2,即 x 6时,函数 f(x)取得最大值,为 2sin 213. 故函数 f(x)在区间 0, 2 上的最大值为 3,最小值为 0. 解解 14已知函数 yf(x) 3sin(2x)cos(2x)(0) (1)若 3,在给定的坐标系中,画出函数 yf(x)在0,上的图象; (2)若 yf(x)是偶函数,求 ; (3)在(2)的前提下, 将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位

25、后, 再将得到 解 (1)当 3时, f(x) 3sin 2x 3 cos 2x 3 3 2 sin2x3 2cos2x 1 2cos2x 3 2 sin2x 3sin2xcos2x2sin 2x 6 . 列表: x 0 6 5 12 2 3 11 12 y 1 2 0 2 0 1 函数 yf(x)在区间0,上的图象如图: 解解 (2)f(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin 2x 6 . 因为 f(x)为偶函数,则 y 轴是 f(x)图象的对称轴, 所以 6k 2(kZ),即 k 2 3 (kZ), 又因为 0,所以 2 3 . 解解 (3)由(2)知 f(x)2sin 2x 2 2cos2x, 将 f(x)的图象向右平移 6个单位后,得到 f x 6 的图象,再将横坐标变 为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)f x 4 6 的图象, 所以 g(x)f x 4 6 2cos x 2 3 . 当 2k x 2 32k(kZ),即 4k 2 3 x4k8 3 (kZ)时,g(x) 单调递减,因此 g(x)在0,上的单调递减区间为 2 3 , . 解解 本课结束