1、考点九 三角函数的图象与性质 1 A卷 PART ONE 一、选择题 1(2020 陕西西安中学第四次模拟)为得到函数 ysin2x 的图象，可 将函数 ysin 2x 3 的图象( ) A向右平移 3个单位 B向左平移 6个单位 C向左平移 3个单位 D向右平移 2 3 个单位 解 析 y sin2x cos 2x 2 cos 2 x 4 ， y sin 2x 3 cos 2x 3 2 cos 2x5 6 cos 2 x5 12 ，则要得到函数 ysin2x 的图 象，可将函数 ysin 2x 3 的图象向右平移 4 5 12 3个单位 答案答案 解析解析 解析 由题意可得 f(x)sin
2、x 3 ，令 2k 2x 32k 2，kZ， 得 2k5 6 x2k 6，kZ，令 k1，得 7 6 x13 6 ，所以 的最大值 为13 6 .故选 D. 2(2020 山东济宁嘉祥县一中考前训练二)若函数 f(x)1 2sinx 3 2 cosx 在2，上单调递增，则 的最大值为( ) A3 B5 2 C7 3 D13 6 答案答案 解析解析 解析 f(x)sin x 3 acos x 3 1a2 sin x 3 ，其中 tan a， 函数 f(x)的一条对称轴方程为 x 2， f 2 1a2， cos 3acos 6 1a2，化简得 a 3. 3 (2020 吉林第四次调研测试)函数 f
3、(x)sin x 3 asin x 6 的一条对 称轴方程为 x 2，则 a( ) A1 B 3 C2 D3 答案答案 解析解析 4(2020 天津高考)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2；f 2 是 f(x)的最大值；把函数 ysinx 的 图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案答案 解析 因为 f(x)sin x 3 ， 所以最小正周期 T2 1 2， 故正确； f 2 sin 2 3 sin5 6 1 21，故不正确；将函数 ysinx 的图象上所有点向 左平移 3
4、个单位长度，得到 ysin x 3 的图象，故正确故选 B. 解析解析 5 (2020 山东莱西一中、 高密一中、 枣庄三中模拟)若 f(x)sin x 6 (x 0， ， 0)有零点， 值域为 M 2 2 ， ， 则 的取值范围是( ) A. 1 2， 4 3 B 4 3，2 C 1 6， 1 3 D 1 6， 17 12 答案答案 解析 x0，则 x 6 6， 6 ，又 f(x)有零点，值域为 M 2 2 ， ，故 0 6 5 4 ，解得1 6 17 12.故选 D. 解析解析 6 (2020 山东日照一模)已知函数 f(x) 2sinx 和 g(x) 2cosx(0) 图象的交点中， 任
5、意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点 为 了得到 yg(x)的图象，只需把 yf(x)的图象( ) A向左平移 1 个单位 B向左平移 2个单位 C向右平移 1 个单位 D向右平移 2个单位 答案答案 解析 如图所示，令 f(x) 2sinxg(x) 2cosx，则 tanx1，x 4 k ，kZ.取靠近原点的三个交点，A 3 4，1 ，B 4，1 ， C 5 4，1 ，由ABC 为等腰直角三角形，得 5 4 3 4 2 4，故 2， 故 f(x) 2sin 2x， g(x) 2cos 2x 2sin 2x 2 ， 故为了得到 yg(x)的图象， 只需把 yf(x)的图象向左平移 1
6、 个单位故选 A. 解析解析 7(多选)(2020 山东泰安四模)设函数 g(x)sinx(0)向左平移 5个 单位长度得到函数 f(x)，已知 f(x)在0,2上有且只有 5 个零点，则下列结论 正确的是( ) Af(x)的图象关于直线 x 2对称 B f(x)在(0,2)上有且只有 3 个极大值点，在(0,2)上有且只有 2 个极小 值点 Cf(x)在 0， 10 上单调递增 D 的取值范围是 12 5 ，29 10 答案答案 解析 依题意得 f(x)g x 5 sin x 5 sin x 5 ，T2 ，如 图，对于 A，令 x 5k 2，kZ，得 x k 3 10，kZ，所以 f(x)的
7、 图象关于直线 xk 3 10(kZ)对称，故 A 不正确； 解析解析 对于 B，根据图象可知，xA2xB，所以 f(x)在(0,2)上有 3 个极大值 点，f(x)在(0,2)上有 2 个或 3 个极小值点，故 B 不正确；对于 D，因为 xA 5 5 2T 5 5 2 2 24 5 ，xB 53T 53 2 29 5 ，所 以24 5 229 5 ， 解得12 5 29 10， 故 D 正确； 对于 C， 因为 5 1 4T 5 1 4 2 3 10， 由图可知 f(x)在 0， 3 10 上单调递增，因为 29 103， 所以 10 3 10 10 1 3 0,0)， 将 yf(x)的图
8、象上所有点向左平移 3个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短 为原来的1 2，得到函数 yg(x)的图象若 g(x)为偶函数，且最小正周期为 2， 则( ) Ayf(x)的图象关于 12，0 对称 Bf(x)在 0，5 12 上单调递增 Cf(x)g x 2 在 0，5 4 上有且仅有 3 个解 Dg(x)在 12， 5 4 上有且仅有 3 个极大值点 答案答案 解析 函数 f(x)sin(x)， 将 yf(x)的图象上所有点向左平移 3个单 位，可得 ysin x 3 ，再将横坐标缩短为原来的 1 2 ，可得 g(x) sin 2x 3 ，因为函数 g(x)的最小正周期为 2，即 2 2 2，解
9、得 2， 可得 g(x)sin 4x2 3 ，又函数 g(x)为偶函数，则2 3 2k，kZ， 即 6k，kZ，当 k1 时，可得 5 6 ，所以 f(x)sin 2x5 6 ，令 2x5 6 k，kZ，得 xk 2 5 12，kZ，当 k1 时，x 12，即函数 f(x) 的图象关于 12，0 对称，所以 A 正确；当 x 0，5 12 时，5 6 2x5 6 0)是偶函数，则 的最小值是 _ 解析 因为 f(x)sin(2x2)是偶函数，所以 2 2k，kZ，即 4 k 2 ，kZ，又 0，故当 k0 时， 取得最小值 4. 答案答案 解析解析 答案 x5 24 10(2020 江苏高考)
10、将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长 度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_ 解析 将函数 y3sin 2x 4 的图象向右平移 6个单位长度， 所得图象对 应的解析式为 y3sin 2 x 6 4 3sin 2x 12 ，令 2x 12 2k(kZ)， 得 x7 24 k 2 (kZ)当 k1 时，x5 24，当 k0 时，x 7 24，故与 y 轴最近的对称轴方程为 x5 24. 答案答案 解析解析 11(2020 山东德州一模)若函数 f(x)sin x 6 (0)在 0，5 18 上存在 唯一极值点，且在 2， 上单调，则 的取值范围为_ 答案 6 5
11、 4 3 解析 x 0，5 18 ，则 x 6 6， 5 18 6 ，故 2 5 18 6 3 2 ，解得6 5 24 5 ，T 2 2 2，故 T，2，即 6 52.x 2， ，则 x 6 2 6， 6 ，故 2 6 23 30 ，7 6 ，则 6 3 2 ，解得 4 3.综上所 述，6 50，00， 所以2 2， 24. 由于 f(x)的图象关于点 4，0 对称，关于直线 x 4 对称，所以 4k1， 4k2 2， k1，k2Z， 两式相加得 2(k1k2) 2，k1，k2Z， 解析解析 由于 0 2，02，所以 2 2 4. 则 4 4k14k11，k1Z，结合 20，0，| 2 的图象
12、如图所示 (1)求 f(x)的解析式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，得到函数 yg(x)的图象， 设 h(x)g(x)f(x)，求函数 h(x)在 0， 2 上的最大值 解 (1)由题意可得 A2，最小正周期 T4 7 12 3 ， 则 2 T 2， 由 f 7 12 2sin 7 6 2，| 2， 可得 3，所以 f(x)2sin 2x 3 . 解解 (2)由题意可知 g(x)2sin 2 x 6 3 2sin2x， 所以 h(x)g(x)f(x)2sin2x2sin 2x 3 2sin2x2sin2xcos 3 2cos2xsin 33sin2x 3cos2x2 3
13、sin 2x 6 . 由 x 0， 2 可得 2x 6 6， 7 6 ， 所以函数 h(x)在 0， 2 上的最大值为 2 3. 解解 14已知函数 f(x)cosx(sinx 3cosx) (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在区间 3， 2 3 上的单调性 解 (1)由题意得 f(x)cosxsinx 3cos2x 1 2 sin2x 3 2 (1cos2x) 1 2 sin2x 3 2 cos2x 3 2 sin 2x 3 3 2 . 所以 f(x)的最小正周期为 T2 2 ，最大值为 1 3 2 . 解解 (2)令 z2x 3，则函数 ysinz 的单调递增区
14、间是 22k， 22k ， kZ. 由 22k2x 3 22k，kZ，得 12kx 5 12k，kZ， 设 A 3， 2 3 ，B x| 12kx 5 12k，kZ ，易知 AB 3， 5 12 ， 所以当 x 3， 2 3 时， f(x)在区间 3， 5 12 上单调递增， 在区间 5 12， 2 3 上单调递减 解解 2 B卷 PART TWO 一、选择题 1(2020 山东枣庄二调)已知函数 f(x)sin 2x 3 ，则下列结论正确的 是( ) Af(x)的最小正周期为 2 Bf(x)的图象关于点 3，0 对称 Cf(x)在 2， 11 12 上单调递增 D.5 12是 f(x)的一个
15、极值点 答案答案 解析 f(x)sin 2x 3 ，最小正周期为 T2 2 ，A 错误；f 3 sin 2 3 3 3 2 ， 3，0 不是函数 f(x)图象的对称中心，B 错误；当 x 2， 11 12 时，2x 3 2 3 ，3 2 ，f(x)单调递减，C 错误；f 5 12 sin 25 12 3 1 是函数的最大值，5 12是 f(x)的一个极值点，D 正确故选 D. 解析解析 2若直线 xa(0a1)与函数 ytanx 的图象无公共点，则不等式 tanx2a 的解集为( ) A. x|k 6xk 2，kZ B. x|k 4xk 2，kZ C. x|k 3xk 2，kZ D. x|k
16、4xk 4，kZ 答案答案 解析 因为直线 xa(0a0)，得到函数 g(x)的图象， 若 g(x)在 0， 2 上的值域为 1 2，1 ，则 的取值范围为( ) A. 4 3， 8 3 B 1 3， 5 3 C. 4 3， D 8 3， 答案答案 解析 将函数 f(x)cosx 的图象向右平移 2 3 个单位长度，可得 y cos x2 3 的图象；再将各点的横坐标变为原来的 1 (0)，得到函数 g(x) cos x 2 3 的图象若 g(x)在 0， 2 上的值域为 1 2，1 ，此时，x 2 3 2 3 ， 2 2 3 ，0 2 2 3 2 3 ，求得4 3 8 3，故选 A. 解析解
17、析 解析 由题意可知， a,2 2， 2 ， f(2)2sin21,2 6， 12， 则 amin6，(2a)max8.故选 D. 答案答案 解析解析 5(2020 湖南湘潭三模)已知函数 f(x)2sinx(0)在 xa,2(a0)上 的最大值为 1 且单调递增，则 2a 的最大值为( ) A5 B6 C7 D8 6(2020 山东日照二模)已知函数 f(x)sin 2x 6 ，若方程 f(x)3 5的解 为 x1，x2(0x1x2)，则 sin(x1x2)( ) A3 5 B4 5 C 2 3 D 3 3 答案答案 解析 函数f(x)sin 2x 6 的对称轴满足2x 6k 2(kZ)，
18、即x k 2 3(kZ)，令 k0 可得函数在区间(0，)上的一条对称轴为 x 3，结合三 角函数的对称性可知 x1x22 3 ，则 x12 3 x2，sin(x1x2)sin 2 3 2x2 sin 32x2 cos 2x2 6 .由题意，sin 2x2 6 3 5，且 0x1x2， 12x1 3 x27 12， 22x2 60，| 2 ，f 8 0，f(x)|f 3 8 |恒成立，且 f(x)在区间 12， 24 上单调，则下列说法正确的是( ) A存在 ，使得 f(x)是偶函数 Bf(0)f 3 4 C 是奇数 D 的最大值为 3 答案答案 解析 f 8 0，f(x)|f 3 8 |，则
19、3 8 8 2 1 4 k 2 T，kN，故 T 2 2k1，2k1，kN，f 8 0，则 f 8 sin 8 0，故 8 k ， 8 k ， k Z， 当 x 12， 24 时 ， x 24 k， 6 k ， kZ， f(x)在区间 12， 24 上单调， 故 24 12 8 T 2， 故 T 4，即 8，00)，下面结论正确的是( ) A若 f(x1)1，f(x2)1，且|x1x2|的最小值为 ，则 2 B存在 (1,3)，使得 f(x)的图象向右平移 6个单位长度后得到的图象 关于 y 轴对称 C若 f(x)在0,2上恰有 7 个零点，则 的取值范围是 41 24， 47 24 D若 f
20、(x)在 6， 4 上单调递增，则 的取值范围是 0，2 3 答案答案 解析 依题意 f(x)cos 2x2 3 ， 0， 1f(x)1.对于 A， 若 f(x1) 1，f(x2)1，且|x1x2|的最小值为 ，则T 2 2 21，故 A 错 误；对于 B，当 2 时，f(x)cos 4x2 3 ，向右平移 6个单位长度后得 到 ycos 4 x 6 2 3 cos4x，其为偶函数，图象关于 y 轴对称，故 B 正确；对于 C,0 x2，则2 3 2x2 3 42 3 ，若 f(x)在0,2上恰有 解析解析 7 个零点，则15 2 42 3 17 2 ，解得41 240，故 k 0,02 3，
21、所以 D 正确故选 BCD. 解析解析 二、填空题 9(2020 北京高考)若函数 f(x)sin(x)cosx 的最大值为 2，则常数 的一个取值为_ 答案 2 2k 2，kZ均可 解析 因为 f(x)cossinx(sin1)cosxcos2sin12sin(x )，且 f(x)的最大值为 2，所以cos2sin122，解得 sin1，故可 取 2 2k 2，kZ均可 . 答案答案 解析解析 解析 由题意知，f(x)sinxcosx 2sin x 4 ，所以 22kx 4 22k，kZ，解得 3 4 2kx 42k，kZ，令 k0 可得， 3 4 x 4，所以 3 4 ， 4 为函数 f(
22、x)的一个单调递增区间，因为函数 f(x)在0， a上单调递增，所以 00，0，| 2 ，f(x)的部分图象如图所示，g(x)f x 12 ，当 x1，x2 12， 3 时，则|g(x1)g(x2)|的最大值为_ 答案答案 解析 由图象可得 A2，1 4 2 5 12 6，解得 2. f 5 12 2cos 25 12 2，又| 2，解得 6. f(x)2cos 2x 6 ，f(x)sin 2x 6 c(c 为常数) g(x)f x 12 sin2xc. 当 x 12， 3 时， 2x 6， 2 3 ， sin2x 1 2，1 .当 x1， x2 12， 3 时，则|g(x1)g(x2)|si
23、n2x1sin2x2|1 1 2 3 2.因此当 x1，x2 12， 3 时，|g(x1)g(x2)|的最大值为3 2. 解析解析 三、解答题 13(2020 海南中学高三摸底)已知 a(2sinx，cos2x)，b( 3cosx，2)， f(x)a b. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解 (1)f(x) a b 23 sinxcosx 2cos2x 3 sin2x cos2x 1 2sin 2x 6 1，f(x)的最小正周期为 T2 2 . 由 22k2x 6 3 2 2k，kZ，得 6kx 2 3 k，kZ， f
24、(x)的单调递减区间为 6k， 2 3 k ，kZ. 解解 (2)x 0， 2 ，2x 6 6， 7 6 ， 当 2x 6 7 6 ，即 x 2时，函数 f(x)取得最小值，为 2sin 7 6 10； 当 2x 6 2，即 x 6时，函数 f(x)取得最大值，为 2sin 213. 故函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值为 3，最小值为 0. 解解 14已知函数 yf(x) 3sin(2x)cos(2x)(0) (1)若 3，在给定的坐标系中，画出函数 yf(x)在0，上的图象； (2)若 yf(x)是偶函数，求 ； (3)在(2)的前提下， 将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位
25、后， 再将得到 解 (1)当 3时， f(x) 3sin 2x 3 cos 2x 3 3 2 sin2x3 2cos2x 1 2cos2x 3 2 sin2x 3sin2xcos2x2sin 2x 6 . 列表： x 0 6 5 12 2 3 11 12 y 1 2 0 2 0 1 函数 yf(x)在区间0，上的图象如图： 解解 (2)f(x) 3sin(2x)cos(2x)2sin 2x 6 . 因为 f(x)为偶函数，则 y 轴是 f(x)图象的对称轴， 所以 6k 2(kZ)，即 k 2 3 (kZ)， 又因为 0，所以 2 3 . 解解 (3)由(2)知 f(x)2sin 2x 2 2cos2x， 将 f(x)的图象向右平移 6个单位后，得到 f x 6 的图象，再将横坐标变 为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)f x 4 6 的图象， 所以 g(x)f x 4 6 2cos x 2 3 . 当 2k x 2 32k(kZ)，即 4k 2 3 x4k8 3 (kZ)时，g(x) 单调递减，因此 g(x)在0，上的单调递减区间为 2 3 ， . 解解 本课结束