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2020-2021学年福建省厦门市开元区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年福建省厦门开元区九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1(4 分)对于一元二次方程x 2x+20,根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是( ) A2 B2 C1 D1 2(4 分)不等式组的解集是( ) Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 3(4 分)下列抛物线的顶点坐标为(4,3)的是( ) Ay(x+4) 23 By(x+4) 2+3 Cy(x4) 23 Dy(x4)2+3 4(4 分)下列关于图形对称性的命题,正确的是( ) A圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形 C线段是轴对称图形,但不是中心对称图形 D菱形是中心对

2、称图形,但不是轴对称图形 5(4 分)在平面直角坐标系xOy中,若点P(3,4)在O内,则O的半径r的取值范围是( ) A0r3 Br4 C0r5 Dr5 6(4 分)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放 1000 辆单车,计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程 正确的为( ) A1000(1+x) 21000+440 B1000(1+x) 2440 C440(1+x) 21000 D1000(1+2x)1000+440 7(4 分)若二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3,则关于x的方程x 2+mx7

3、 的解为( ) Ax10,x26 Bx11,x27 Cx11,x27 Dx11,x27 8(4 分)已知点A的坐标为(2,3),O为坐标原点,连接OA,将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB,则点B的坐标为( ) A(5,1) B(3,2) C(1,5) D(3,2) 9(4 分)已知ABC内接于O,连接AO并延长交BC于点D,若B62,C50,则ADB的度 数是( ) A68 B72 C78 D82 10(4 分)已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则 m、n的关系为( ) Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 二、填

4、空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11(4 分)因式分解:x 29 12(4 分)已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2,则 a 13(4 分)如图,在圆内接四边形ABCD中,B70,则D 14 (4 分)如图,已知EAD30,ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合,则BAE 度 15 (4 分)如图,某小区进行绿化改造,矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ADEF 围成,篱笆总长 40 米,墙AB长 16 米,若BFx米,花园面积是S平方米,则S关于x的函数关系式 是: 16(4 分)小明研究抛物线y(xa) 2a+1(a 为常数)性质时

5、得到如下结论: 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上; 当1x2 时,y随x的增大而增大,则a的取值范围为a2; 点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22a,则y1y2; 只存在一个a的值,使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形; 其中正确结论的序号是 三、解答题(本大题有 9 小题,共 86 分) 17(8 分)解方程:x(x2)2x 18(8 分)计算: 19(8 分)已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A(0,3),B(1,0) (1)求该二次函数的解析式; (2)在图中画出该函数的图象 20(8 分)列方程(组)解应用题

6、: 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一 十二步,问阔及长各几步?”译文:一个矩形田地的面积等于 864 平方步,且它的宽比长少 12 步,问长 与宽各是多少步? 21(8 分)已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根,且 2m+n4,求 n的最小值 22(10 分)如图,已知四边形ABCD是矩形,AC为对角线 (1)把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF,点B的对应点为E,点C的对应点F在CD的延长 线上,请你在图中作出AEF(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,求证:B,D,E三点共线 23(10 分

7、)某商店销售一种进价 50 元/件的商品,经市场调查发现:该商品的每天销售量y(件)是售 价x(元/件)的一次函数,其售价、销售量的二组对应值如下表: 售价x(元/件) 55 65 销售量y(件/天) 90 70 (1)若某天销售利润为 800 元,求该天的售价为多少元/件 (2)由于某种原因,该商品进价提高了a元/件(a0),商店售价不低于进价,物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件,该商店在今后的销售中,每天能获得的销售最大利润是 960 元,求a的值 24(12 分)如图,已知四边形ABCD内接于O,ACBD于E, (1)求证:BDC2ADB; (2)若直径BM交AC于点N,ADB

8、N2,BC8,求O的半径 25(14 分)已知抛物线L:yax 2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x2,交y轴于(0,4a) (1)求抛物线的顶点坐标; (2)直线ykx2k+4(k0)与抛物线L相交A,B两点(A在B的左侧),抛物线L的顶点记为点C; 若点A的横坐标为 1,ABC的面积为 10,求a的值; 过点A作AEx轴,垂足为E,延长AE交直线BC于F,求线段EF的长 参考答案参考答案 一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分每小题的四个选项中,只有一个选项正确) 1(4 分)对于一元二次方程x 2x+20,根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是( ) A2

9、B2 C1 D1 解:根据题意得b1 故选:C 2(4 分)不等式组的解集是( ) Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 解:, 解得:x2, 解得:x3 则不等式组的解集是:3x2 故选:C 3(4 分)下列抛物线的顶点坐标为(4,3)的是( ) Ay(x+4) 23 By(x+4) 2+3 Cy(x4) 23 Dy(x4)2+3 解:A、抛物线y(x+4) 23 的顶点坐标为(4,3),此选项不符合题意; B、抛物线y(x+4) 2+3 的顶点坐标为(4,3),此选项不符合题意; C、抛物线y(x4) 23 的顶点坐标为(4,3),此选项符合题意; D、抛物线y(x4) 2+3 的顶点坐标为(

10、4,3),此选项不符合题意; 故选:C 4(4 分)下列关于图形对称性的命题,正确的是( ) A圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形 C线段是轴对称图形,但不是中心对称图形 D菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形 解:A、圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A符合题意; B、正三角形既是轴对称图形,不是中心对称图形,故B不符合题意; C、线段是轴对称图形,是中心对称图形,故C不符合题意; D、菱形是中心对称图形,是轴对称图形,故D不符合题意; 故选:A 5(4 分)在平面直角坐标系xOy中,若点P(3,4)在O内,则O的半径r的取值范围是( ) A0

11、r3 Br4 C0r5 Dr5 解:点P的坐标为(3,4), OP5, 点P(3,4)在O内, OPr, 即r5 故选:D 6(4 分)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放 1000 辆单车,计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,则所列方程 正确的为( ) A1000(1+x) 21000+440 B1000(1+x) 2440 C440(1+x) 21000 D1000(1+2x)1000+440 解:由题意可得, 1000(1+x) 21000+440, 故选:A 7(4 分)若二次函数yx 2+mx 的对称

12、轴是x3,则关于x的方程x 2+mx7 的解为( ) Ax10,x26 Bx11,x27 Cx11,x27 Dx11,x27 解:二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3, 3,解得m6, 关于x的方程x 2+mx7 可化为 x 26x70,即(x+1)(x7)0,解得 x11,x27 故选:D 8(4 分)已知点A的坐标为(2,3),O为坐标原点,连接OA,将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB,则点B的坐标为( ) A(5,1) B(3,2) C(1,5) D(3,2) 解:如图,过A作y轴的平行线,过B作x轴的平行线,交点为C, 由CADO,BACAOD,ABOA,可得ABCOAD

13、, ACOD2,BCAD3, CD5,点B离y轴的距离为:321, 点B的坐标为(1,5), 故选:C 9(4 分)已知ABC内接于O,连接AO并延长交BC于点D,若B62,C50,则ADB的度 数是( ) A68 B72 C78 D82 解:延长AD交O于E,连接CE, 则EB62,ACE90, CAE906228, ADBCAE+ACB78, 故选:C 10(4 分)已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点,且图象过A(x1,m)、B(x1+n,m)两点,则 m、n的关系为( ) Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 解:抛物线yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点, 当x时,

14、y0且b 24c0,即 b 24c 又点A(x1,m),B(x1+n,m), 点A、B关于直线x对称, , 解得x1(bn) A(,m),B(+,m), 将A点坐标代入抛物线解析式,得m() 2+( )b+c,即m+c, b 24c, mn 2, 故选:D 二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11(4 分)因式分解:x 29 (x+3)(x3) 解:原式(x+3)(x3), 故答案为:(x+3)(x3) 12(4 分)已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2,则 a 2 解:把x2 代入x 2+3x+a0 得 46+a0,解得 a2 故答案为 2 13(4

15、分)如图,在圆内接四边形ABCD中,B70,则D 110 解:在圆内接四边形ABCD中,B70, D18070110, 故答案为:110 14(4 分)如图,已知EAD30,ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合,则BAE 20 度 解:EAD30,ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合, BAD50, BAEBADEAD503020 故答案为:20 15 (4 分)如图,某小区进行绿化改造,矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成,另三边由篱笆ADEF 围成, 篱笆总长 40 米, 墙AB长 16 米, 若BFx米, 花园面积是S平方米, 则S关于x的函数关系式是: Sx 24x+192

16、 解:由题意可得:S(16+x) (16+x)(12x) x 24x+192 故答案为:Sx 24x+192 16(4 分)小明研究抛物线y(xa) 2a+1(a 为常数)性质时得到如下结论: 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上; 当1x2 时,y随x的增大而增大,则a的取值范围为a2; 点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x1x2,x1+x22a,则y1y2; 只存在一个a的值,使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形; 其中正确结论的序号是 解:抛物线y(xa) 2a+1(a 为常数), 顶点坐标为(a,a+1), 这个函数图象的顶点始终在直线yx+

17、1 上, 故结论错误; 抛物线开口向下,对称轴为直线xa, 当1x2 时,y随x的增大而增大, a的取值范围为a2 故结论正确; x1+x22a, , 抛物线对称轴为直线xa, 点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离, y1y2, 故结论正确; 假设存在一个a的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y0,得(xa) 2a+10,其中 a1, 解得:x1a,x2a+, 顶点坐标为(a,a+1),且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, |a+1|a(a)|, 解得:a0 或 1, 当a1 时,二次函数y(x1) 2,此时顶点为(1,0),与 x轴的交点也为(1,0),

18、不构成三角 形,舍去; 存在a0,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论正确; 故答案为 三、解答题(本大题有 9 小题,共 86 分) 17(8 分)解方程:x(x2)2x 解:由原方程,得 x(x2)+(x2)0, 所以,(x+1)(x2)0, 所以,x+10 或x20, 解得,x11,x22 18(8 分)计算: 解:原式 19(8 分)已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A(0,3),B(1,0) (1)求该二次函数的解析式; (2)在图中画出该函数的图象 解:(1)二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A(0,3),B(1,0) ,解得:, 二次函数

19、的解析式为yx 2+4x+3 (2)由yx 2+4x+3(x+2)21, 列表得: x 4 3 2 1 0 y 3 0 1 0 3 如图即为该函数的图象: 20(8 分)列方程(组)解应用题: 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一 十二步,问阔及长各几步?”译文:一个矩形田地的面积等于 864 平方步,且它的宽比长少 12 步,问长 与宽各是多少步? 解:设宽为x步,则长为(x+12)步, 依题意,得:x(x+12)864, 整理,得:x 2+12x8640, 解得:x124,x236(不合题意,舍去), x+1236 答:长为 36 步,宽为

20、 24 步 21(8 分)已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根,且 2m+n4,求 n的最小值 解:关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根, 根据题意,44m0, 2m+n4, m2n, 44(2n)0, 解得n2, n的最小值为 2 22(10 分)如图,已知四边形ABCD是矩形,AC为对角线 (1)把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF,点B的对应点为E,点C的对应点F在CD的延长 线上,请你在图中作出AEF(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,求证:B,D,E三点共线 解:(1)如图,AEF即为所求 (2)如图,连接DE,BE AEFADF

21、90, A,F,D,E四点共圆, AED+AFD180, AFAC, ACDAFD, ACBAFE, ACB+ACD90,AFE+FAE90, ACDEAFAFD, ABDEAF, ABDAFD, ABAE, ABEAEB, AFDAEB, DEA+AEB180, B,E,D共线 23(10 分)某商店销售一种进价 50 元/件的商品,经市场调查发现:该商品的每天销售量y(件)是售 价x(元/件)的一次函数,其售价、销售量的二组对应值如下表: 售价x(元/件) 55 65 销售量y(件/天) 90 70 (1)若某天销售利润为 800 元,求该天的售价为多少元/件 (2)由于某种原因,该商品进

22、价提高了a元/件(a0),商店售价不低于进价,物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件,该商店在今后的销售中,每天能获得的销售最大利润是 960 元,求a的值 解:(1)依题意设ykx+b, 则有, 解得:, 所以y2x+200, 若某天销售利润为 800 元, 则(x50)(2x+200)800, 解得:x160,x290, 该天的售价为 60 元或者 90 元; (2)设总利润为w,根据题意得, w(x50a)(2x+200) 2x 2+(300+2a)x10000200a a0, 对称轴x75, 20, 抛物线的开口向下, x70, w随x的增大而增大, 当x70 时,w最大960,

23、 即 960270 2+(300+2a)7010000200a, 解得:a4 24(12 分)如图,已知四边形ABCD内接于O,ACBD于E, (1)求证:BDC2ADB; (2)若直径BM交AC于点N,ADBN2,BC8,求O的半径 【解答】(1)证明:如图 1,作直径DG,交AC于F,交BC于P,交O于G,连接CG, DGBC,BDCD, CBDBCD, ACBD, DEF90, CPF90, DEFCPF, DFECFP, EDFACBADBCDG, BDC2ADB; (2)解:如图 2,作直径DG,交AC于F,交BC于P,交O于G,连接CG,BG, 由(1)知:ADBBDGCDG, ,

24、 CBGBCA, BGAC, ONFOBG,OFNOGB, OBOG, OBGOGB, ONFOFN, OFON, ACBD,ADBFDB, DAEAFD, ABDF, 同理得:CFCG, ADBN, DFBN OD+OF(OBON) OF+ON2, OFON1, CFCG,CPFG, FPPG, 设FPa,则OBOG2a+1,FPa+1, DGBC,且BC8, BPBC4, RtOBP中,OB 2OP2+BP2, (2a+1) 2(a+1)2+42, 3a 2+2a160, (a2)(3a+8)0, a12,a2(舍), O的半径OG2a+15 25(14 分)已知抛物线L:yax 2+bx

25、+c(a0)的对称轴是直线 x2,交y轴于(0,4a) (1)求抛物线的顶点坐标; (2)直线ykx2k+4(k0)与抛物线L相交A,B两点(A在B的左侧),抛物线L的顶点记为点C; 若点A的横坐标为 1,ABC的面积为 10,求a的值; 过点A作AEx轴,垂足为E,延长AE交直线BC于F,求线段EF的长 解:(1)抛物线L:yax 2+bx+c(a0)的对称轴是直线 x2,交y轴于(0,4a), 2,c4a, b4a, yax 24ax+4aa(x2)2, 抛物线的顶点为(2,0); (2)过点D作DMy轴,交直线AB于M, D(2,0), M的横坐标为 2, 把x2 代入ykx2k+4 得,y4, DM4, ABC的面积为 10, 4(xBxA)10, xBxA5, 点A的横坐标为 1, 点B的横坐标为 6, A(1,k+4),B(6,4k+4), 把A、B的坐标代入ya(x2) 2,得 , 解得a1; 联立直线AB和抛物线的解析式成方程组,得:, 解得:, 点A的坐标为(,),点B的坐标为(, +4) 点C的坐标为(2,0) 直线BC的解析式为yxk 过点A作AEx轴,垂足为E,与直线BD交于点F, 点E的坐标为(,0),点F的坐标为(,4), EF4