1、2020-2021 学年福建省厦门开元区九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1（4 分）对于一元二次方程x 2x+20，根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是（ ） A2 B2 C1 D1 2（4 分）不等式组的解集是（ ） Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 3（4 分）下列抛物线的顶点坐标为（4，3）的是（ ） Ay（x+4） 23 By（x+4） 2+3 Cy（x4） 23 Dy（x4）2+3 4（4 分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D菱形是中心对
2、称图形，但不是轴对称图形 5（4 分）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在O内，则O的半径r的取值范围是（ ） A0r3 Br4 C0r5 Dr5 6（4 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程 正确的为（ ） A1000（1+x） 21000+440 B1000（1+x） 2440 C440（1+x） 21000 D1000（1+2x）1000+440 7（4 分）若二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3，则关于x的方程x 2+mx7
3、 的解为（ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 8（4 分）已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB，则点B的坐标为（ ） A（5，1） B（3，2） C（1，5） D（3，2） 9（4 分）已知ABC内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若B62，C50，则ADB的度 数是（ ） A68 B72 C78 D82 10（4 分）已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则 m、n的关系为（ ） Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 二、填
4、空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11（4 分）因式分解：x 29 12（4 分）已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2，则 a 13（4 分）如图，在圆内接四边形ABCD中，B70，则D 14 （4 分）如图，已知EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合，则BAE 度 15 （4 分）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF 围成，篱笆总长 40 米，墙AB长 16 米，若BFx米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式 是： 16（4 分）小明研究抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）性质时
5、得到如下结论： 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上； 当1x2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a2； 点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22a，则y1y2； 只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分） 17（8 分）解方程：x（x2）2x 18（8 分）计算： 19（8 分）已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象 20（8 分）列方程（组）解应用题
6、： 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一 十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长 与宽各是多少步？ 21（8 分）已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根，且 2m+n4，求 n的最小值 22（10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线 （1）把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长 线上，请你在图中作出AEF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线 23（10 分
7、）某商店销售一种进价 50 元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售 价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）若某天销售利润为 800 元，求该天的售价为多少元/件 （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是 960 元，求a的值 24（12 分）如图，已知四边形ABCD内接于O，ACBD于E， （1）求证：BDC2ADB； （2）若直径BM交AC于点N，ADB
8、N2，BC8，求O的半径 25（14 分）已知抛物线L：yax 2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a） （1）求抛物线的顶点坐标； （2）直线ykx2k+4（k0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C； 若点A的横坐标为 1，ABC的面积为 10，求a的值； 过点A作AEx轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长 参考答案参考答案 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1（4 分）对于一元二次方程x 2x+20，根的判别式 b 24ac 中的b表示的数是（ ） A2
9、B2 C1 D1 解：根据题意得b1 故选：C 2（4 分）不等式组的解集是（ ） Ax0 Bx3 C3x2 Dx2 解：， 解得：x2， 解得：x3 则不等式组的解集是：3x2 故选：C 3（4 分）下列抛物线的顶点坐标为（4，3）的是（ ） Ay（x+4） 23 By（x+4） 2+3 Cy（x4） 23 Dy（x4）2+3 解：A、抛物线y（x+4） 23 的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意； B、抛物线y（x+4） 2+3 的顶点坐标为（4，3），此选项不符合题意； C、抛物线y（x4） 23 的顶点坐标为（4，3），此选项符合题意； D、抛物线y（x4） 2+3 的顶点坐标为（
10、4，3），此选项不符合题意； 故选：C 4（4 分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：A 5（4 分）在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在O内，则O的半径r的取值范围是（ ） A0
11、r3 Br4 C0r5 Dr5 解：点P的坐标为（3，4）， OP5， 点P（3，4）在O内， OPr， 即r5 故选：D 6（4 分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放 1000 辆单车，计划第三个月投放单 车数量比第一个月多 440 辆设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程 正确的为（ ） A1000（1+x） 21000+440 B1000（1+x） 2440 C440（1+x） 21000 D1000（1+2x）1000+440 解：由题意可得， 1000（1+x） 21000+440， 故选：A 7（4 分）若二次函数yx 2+mx 的对称
12、轴是x3，则关于x的方程x 2+mx7 的解为（ ） Ax10，x26 Bx11，x27 Cx11，x27 Dx11，x27 解：二次函数yx 2+mx 的对称轴是x3， 3，解得m6， 关于x的方程x 2+mx7 可化为 x 26x70，即（x+1）（x7）0，解得 x11，x27 故选：D 8（4 分）已知点A的坐标为（2，3），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点A按顺时针方向旋转 90 得AB，则点B的坐标为（ ） A（5，1） B（3，2） C（1，5） D（3，2） 解：如图，过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，交点为C， 由CADO，BACAOD，ABOA，可得ABCOAD
13、， ACOD2，BCAD3， CD5，点B离y轴的距离为：321， 点B的坐标为（1，5）， 故选：C 9（4 分）已知ABC内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若B62，C50，则ADB的度 数是（ ） A68 B72 C78 D82 解：延长AD交O于E，连接CE， 则EB62，ACE90， CAE906228， ADBCAE+ACB78， 故选：C 10（4 分）已知二次函数yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则 m、n的关系为（ ） Amn Bmn Cmn 2 Dmn 2 解：抛物线yx 2+bx+c 与x轴只有一个交点， 当x时，
14、y0且b 24c0，即 b 24c 又点A（x1，m），B（x1+n，m）， 点A、B关于直线x对称， ， 解得x1（bn） A（，m），B（+，m）， 将A点坐标代入抛物线解析式，得m（） 2+（ ）b+c，即m+c， b 24c， mn 2， 故选：D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11（4 分）因式分解：x 29 （x+3）（x3） 解：原式（x+3）（x3）， 故答案为：（x+3）（x3） 12（4 分）已知关于x的方程x 2+3x+a0 有一个根为2，则 a 2 解：把x2 代入x 2+3x+a0 得 46+a0，解得 a2 故答案为 2 13（4
15、分）如图，在圆内接四边形ABCD中，B70，则D 110 解：在圆内接四边形ABCD中，B70， D18070110， 故答案为：110 14（4 分）如图，已知EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合，则BAE 20 度 解：EAD30，ADE绕着点A旋转 50后能与ABC重合， BAD50， BAEBADEAD503020 故答案为：20 15 （4 分）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF 围成， 篱笆总长 40 米， 墙AB长 16 米， 若BFx米， 花园面积是S平方米， 则S关于x的函数关系式是： Sx 24x+192
16、 解：由题意可得：S（16+x） （16+x）（12x） x 24x+192 故答案为：Sx 24x+192 16（4 分）小明研究抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）性质时得到如下结论： 这条抛物线的顶点始终在直线yx+1 上； 当1x2 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a2； 点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22a，则y1y2； 只存在一个a的值，使得抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形； 其中正确结论的序号是 解：抛物线y（xa） 2a+1（a 为常数）， 顶点坐标为（a，a+1）， 这个函数图象的顶点始终在直线yx+
17、1 上， 故结论错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线xa， 当1x2 时，y随x的增大而增大， a的取值范围为a2 故结论正确； x1+x22a， ， 抛物线对称轴为直线xa， 点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离， y1y2， 故结论正确； 假设存在一个a的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y0，得（xa） 2a+10，其中 a1， 解得：x1a，x2a+， 顶点坐标为（a，a+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， |a+1|a（a）|， 解得：a0 或 1， 当a1 时，二次函数y（x1） 2，此时顶点为（1，0），与 x轴的交点也为（1，0），
18、不构成三角 形，舍去； 存在a0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 故结论正确； 故答案为 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分） 17（8 分）解方程：x（x2）2x 解：由原方程，得 x（x2）+（x2）0， 所以，（x+1）（x2）0， 所以，x+10 或x20， 解得，x11，x22 18（8 分）计算： 解：原式 19（8 分）已知二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）在图中画出该函数的图象 解：（1）二次函数yx 2+bx+c 的图象经过点A（0，3），B（1，0） ，解得：， 二次函数
19、的解析式为yx 2+4x+3 （2）由yx 2+4x+3（x+2）21， 列表得： x 4 3 2 1 0 y 3 0 1 0 3 如图即为该函数的图象： 20（8 分）列方程（组）解应用题： 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一 十二步，问阔及长各几步？”译文：一个矩形田地的面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长 与宽各是多少步？ 解：设宽为x步，则长为（x+12）步， 依题意，得：x（x+12）864， 整理，得：x 2+12x8640， 解得：x124，x236（不合题意，舍去）， x+1236 答：长为 36 步，宽为
20、 24 步 21（8 分）已知关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根，且 2m+n4，求 n的最小值 解：关于x的方程x 22x+m0 有两个实数根， 根据题意，44m0， 2m+n4， m2n， 44（2n）0， 解得n2， n的最小值为 2 22（10 分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线 （1）把ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长 线上，请你在图中作出AEF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线 解：（1）如图，AEF即为所求 （2）如图，连接DE，BE AEFADF
21、90， A，F，D，E四点共圆， AED+AFD180， AFAC， ACDAFD， ACBAFE， ACB+ACD90，AFE+FAE90， ACDEAFAFD， ABDEAF， ABDAFD， ABAE， ABEAEB， AFDAEB， DEA+AEB180， B，E，D共线 23（10 分）某商店销售一种进价 50 元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售 价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）若某天销售利润为 800 元，求该天的售价为多少元/件 （2）由于某种原因，该商品进
22、价提高了a元/件（a0），商店售价不低于进价，物价部门规定该商品 售价不得超过 70 元件，该商店在今后的销售中，每天能获得的销售最大利润是 960 元，求a的值 解：（1）依题意设ykx+b， 则有， 解得：， 所以y2x+200， 若某天销售利润为 800 元， 则（x50）（2x+200）800， 解得：x160，x290， 该天的售价为 60 元或者 90 元； （2）设总利润为w，根据题意得， w（x50a）（2x+200） 2x 2+（300+2a）x10000200a a0， 对称轴x75， 20， 抛物线的开口向下， x70， w随x的增大而增大， 当x70 时，w最大960，
23、 即 960270 2+（300+2a）7010000200a， 解得：a4 24（12 分）如图，已知四边形ABCD内接于O，ACBD于E， （1）求证：BDC2ADB； （2）若直径BM交AC于点N，ADBN2，BC8，求O的半径 【解答】（1）证明：如图 1，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交O于G，连接CG， DGBC，BDCD， CBDBCD， ACBD， DEF90， CPF90， DEFCPF， DFECFP， EDFACBADBCDG， BDC2ADB； （2）解：如图 2，作直径DG，交AC于F，交BC于P，交O于G，连接CG，BG， 由（1）知：ADBBDGCDG， ，
24、 CBGBCA， BGAC， ONFOBG，OFNOGB， OBOG， OBGOGB， ONFOFN， OFON， ACBD，ADBFDB， DAEAFD， ABDF， 同理得：CFCG， ADBN， DFBN OD+OF（OBON） OF+ON2， OFON1， CFCG，CPFG， FPPG， 设FPa，则OBOG2a+1，FPa+1， DGBC，且BC8， BPBC4， RtOBP中，OB 2OP2+BP2， （2a+1） 2（a+1）2+42， 3a 2+2a160， （a2）（3a+8）0， a12，a2（舍）， O的半径OG2a+15 25（14 分）已知抛物线L：yax 2+bx
25、+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a） （1）求抛物线的顶点坐标； （2）直线ykx2k+4（k0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C； 若点A的横坐标为 1，ABC的面积为 10，求a的值； 过点A作AEx轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长 解：（1）抛物线L：yax 2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，交y轴于（0，4a）， 2，c4a， b4a， yax 24ax+4aa（x2）2， 抛物线的顶点为（2，0）； （2）过点D作DMy轴，交直线AB于M， D（2，0）， M的横坐标为 2， 把x2 代入ykx2k+4 得，y4， DM4， ABC的面积为 10， 4（xBxA）10， xBxA5， 点A的横坐标为 1， 点B的横坐标为 6， A（1，k+4），B（6，4k+4）， 把A、B的坐标代入ya（x2） 2，得 ， 解得a1； 联立直线AB和抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：， 点A的坐标为（，），点B的坐标为（， +4） 点C的坐标为（2，0） 直线BC的解析式为yxk 过点A作AEx轴，垂足为E，与直线BD交于点F， 点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，4）， EF4
