1、 3.4 3.4 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质 第第3 3章章 图形的相似图形的相似 3.4.1 3.4.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 教学目标教学目标 1.1. 了解相似三角形的判定方法会用平行法判了解相似三角形的判定方法会用平行法判 定两个三角形相似定两个三角形相似 重点：重点： 用平行法判定两个三角形相似用平行法判定两个三角形相似 难点：难点：平行法判定三角形相似定理的推导平行法判定三角形相似定理的推导 新课引入新课引入 由此得出结论：由此得出结论： 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似截得的三角
2、形与原三角形相似 例题探究例题探究 例例1：在：在ABC中，已知点中，已知点D, ,E分别是分别是AB, ,AC 边的中点边的中点. . 求证：求证： ADE ABC. . ,D EAB AC DE 证证明明： 点点分分别别是是边边的的中中点点， ,BC ADE ABC. . A B C D E 例例2：点点D为为ABC的边的边AB的中点，过点的中点，过点D作作 DE BC交交AB于点于点E.延长延长DE至点至点F，使，使DE=EF. . 求证：求证：BFE ACB. . . , . DABCAB AECE DEFEAEDBEF ADEBFE 证证明明： 点点 是是的的边边的的中中点点， 又又
3、 ADE ACB. . DE / BC, DE / BC, BFE ACB. . A B C D E F A B C A C B 求证求证:ABC ABC 已知：在已知：在ABC 和和 ABC 中中, D E 证明：在证明：在ABC的边的边AB、AC上，分别上，分别 截取截取AD=AB，AE=AC ，连结，连结DE. AD=AB ,A=A，AE=AC A DE ABC ， ADE=B， 又又 B=B， ADE=B， ， DE/BC， ADEABC. ABCABC. 由此得到相似三角形的判定定理由此得到相似三角形的判定定理1 如果一个三角形如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，
4、那么这的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似两个三角形相似. 即：两角分别相等的两个三角形相似即：两角分别相等的两个三角形相似. . C A A B B C A=A，B=B 则则ABC ABC 如图若如图若 例例3：在在ABC中，中， 从点从点D分别做边分别做边AB，AC 的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为E，F. .DF与与AB交于点交于点H. . 求证：求证：DEH BCA. . DEH BCA. / AC B A C H F E D 例例4：在在RtRtABC与与RtRtDEF中，中， 若若 求求EF的长的长. . DEF ABC A C B D F E 已知已
5、知:在在ABC 和和 ABC 中中A=A , 求证求证:ABC ABC 证明证明:在在ABC的边的边AB(或延长线或延长线)上 上 截取截取AD=AB, 过点过点D作作DEBC交交AC于点 于点E. A BA C ABAC ， ADEABC， ADAE ABAC ， ,ADA B A BA C ABAC ， ADAEA C ABACAC ， ,AEA C A B C A B C E D ADE ABC 由此得到相似三角形的由此得到相似三角形的判定定理判定定理2 2 如果一个三角如果一个三角 形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 且夹角相等，那
6、么这两个三角形相似且夹角相等，那么这两个三角形相似 即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. . A=A， 则则 ABC ABC AB AC 如图若如图若 AB AC ABC ABC A=A， C A A B B C 例例5 在在ABC与与DEF中，已知中，已知 AC=3.5cm,=3.5cm,BC=2.5cm,=2.5cm,DF=2.1cm,=2.1cm,EF=1.5cm. =1.5cm. 求证：求证：ABC DEF. . A B C D E F 例例6：在在ABC中，中，CD是边是边AB上的高，上的高， 且且 A B D C 已知已知:在在
7、ABC 和和 ABC 中中, A BA CB C ABACBC 求证求证:ABC ABC A B C A B C E D 证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上截取上截取 AD=AB, , 过点过点D作作DEBC交交AC于点于点E. . ADEABC， ADAEDE ABACBC , ADA B ADA B ABAB 因此因此 A BA CB C ABACBC ,. DEB CEAC A BCBCCACA ,.DEB C EAC A 又又 ADE ABC ABC ABC 由此得到相似三角形的由此得到相似三角形的判定定理判定定理3 3 如果一个三角如果一个三角 形的三
8、条边与另一个三角形的三条边对应成比例，形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似 即：三边成比例的两个三角形相似即：三边成比例的两个三角形相似. . AB AC AB AC 如图若如图若 = BC BC C A A B B C 则则 ABC ABC 例例 7 在在 ABC 和和 ABC中，中，AB=6cm， BC=8cm，AC=10cm，AB=18cm，BC=24cm， AC=30cm，试证明，试证明 ABC 和和ABC相似相似 解：解： 1 AB 6 AB 18 = 3 1 BC 8 BC 24 = 3 AB AC AB AC = BC BC 1
9、AC 10 AC 30 = 3 ABC ABC 课堂练习课堂练习 1.1.如图，已知点如图，已知点O在四边形在四边形ABCD的对角线的对角线AC上，上，OE BC， OFCD. .试判断四边形试判断四边形AEOF与四边形与四边形ABCD是否相似，并是否相似，并 说明理由说明理由. . 解：解：OEBC，OFCD， AEO=ABC,AOE=ACB, AOF=ACD,AFO=ADC. AOE+AOF=ACB+ACD, 即即EOF=BCD. 又又OEBC，OFCD， AOEACB,AOFACD. 四边形四边形AEOF与四边形与四边形ABCD相似相似. . AEEDAOOFAD ABBCACCDDC
10、=. 2.已知：在已知：在ABC与与DEF中，中，A=48 ， ， B=82 ， ，D=48 ， ，F=50 . 求证：求证：ABCDEF. 解解: : 在在DEF中，中， E = 180- -D - -F = 180- -48- -50 = 82. A = D = 48 ， ，B =E =82 ， ， ABCDEF. ( (两角对应相等的两个三两角对应相等的两个三 角形相似角形相似) ) 3.已知在已知在RtABC与与Rt 中，中，A =A= 90 ， ， AB=6cm，AC=4.8cm， =5cm， =3cm. 求证：求证： ABC. A B C AB B C A B C 证明：证明： 6
11、4.86 554 90 , . , . , , ABAC = = = A BA C C=C = ABC . A B C 4.如图如图,O为为ABC内一点，内一点，D、E、F 分别是分别是OA、OB、OC中点中点. 求证：求证：ABCDEF. A B C O D F E , 111 =,. 222 1 . 2 D E F AB EFBC DFAC DEEFDF ABBCAC 分别为OA,OB,OC的中点， DE 证明：证明： ABC DEF. 如图如图，在边长为在边长为1的小正方形组成的网格中的小正方形组成的网格中，ABC和和DEF 的顶点都在格点上的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5
12、是是DEF边上的边上的5个格个格 点点，请按要求完成下列各题：请按要求完成下列各题： (1)试证明试证明ABC为直角三角形；为直角三角形； (2)判断判断ABC和和DEF是是 否相似否相似，并说明理由；并说明理由； (3)画一个三角形画一个三角形，使它的使它的 三个顶点为三个顶点为P1，P2，P3，P4， P5中的中的3个格点并且与个格点并且与ABC相似相似 (要求：用尺规作图要求：用尺规作图，保留痕迹保留痕迹，不写作法与证明不写作法与证明) 能力提升能力提升 解：解：(1)根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AB2 5，AC 5，BC5. 显然有显然有 AB2AC2BC2，根据勾股定理的逆定理
13、得，根据勾股定理的逆定理得 ABC 为直角三角形；为直角三角形； (2)ABC 和DEF 相似，根据勾股定理得，DE4 2， DF22，EF210， AB DE AC DF BC EF 10 4 ， ABCDEF (3)P4P5P2，作图略 平行于三角形一边的直线与其他两边相交平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的截得的 三角形与原三角形相似三角形与原三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（两三角形相似（SAS） 相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 三边对应成比例三边对应成比例,两三角形相似两三角形相似.（SSS） 两角分别相等的两个三角形相似（两角分别相等的两个三角形相似（AA） 一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角 三角形的斜边和一条直角边对应成比例，三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两那么这两 个直角三角形相似。个直角三角形相似。(HL） 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。