1、2.2 2.2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程 2.2.1 2.2.1 配方法配方法 教学重点：教学重点： 运用开平方法解形如运用开平方法解形如 （x+ +m） 2 2=n( (n 0 0) )的方程；领会降次的方程；领会降次 转化的数学思想转化的数学思想. . 教学重、难点教学重、难点 教学难点：教学难点： 通过根据平方根的意义解形如通过根据平方根的意义解形如 x2 2= =n的的方程，将知识迁移到根据平方根的意义方程，将知识迁移到根据平方根的意义 解形如解形如( (x+m) )2 2=n( (n0)0)的方程的方程. . 新课引入新课引入 如
2、何解本章2.1节“动脑筋”中的方程：x2 - -2500=0 呢 ？ 把方程写成把方程写成 x2=2500. 这表明这表明 x是是25002500的平方根，根据平方根的意义，得的平方根，根据平方根的意义，得 x= 或或 x= . . 因此，原方程的解为因此，原方程的解为 x1=50, x2=- -50. 25002500 对于实际问题中的方程 x2 - -2500=0 而言，x2=-50是否 符合题意？ 答：答：x2=- -50不合题意，因为圆的半径不可能为负数，不合题意，因为圆的半径不可能为负数， 应当舍去应当舍去 . 而而x1=50符合题意，因此该圆的半径为符合题意，因此该圆的半径为50
3、cm. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. . 题目探究题目探究 例例1 1 解方程：解方程：4 4x2- -25=0.25=0. 解：解：原方程可化为原方程可化为x2= .= . 根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x= = 或或 x= = ， 因此，原方程的根为因此，原方程的根为 x1= ，x2= . 4 25 4 25 4 25 2 5 2 5 如何解方程如何解方程(1 + x)2 81？ 是否可以把是否可以把(1 + x)2看作一个整体呢？看作一个整体呢？ 若把若把1 + x看作一个整体，看作一个整体， 则由则由(1 + x)2 81，
4、得得1 + x 81或或1 + x 81 ， 即即1 + x 9或或1 + x 9 解得解得x1 8， x2 - 10 . 例例2 2 解方程：解方程：（2x+1）2 =2. 解：解：根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得 2x+1= = 或或 2x+1= = ， 因此，原方程的根为因此，原方程的根为 x1= ，x2= . 22 2 12 2 12 课堂练习课堂练习 解下列方程：解下列方程： （1）9x2- -49=0； （2）36- -x2=0； （3）( (x+3) )2- -16=0； （4）( (1- -2x) )2- -3=0. 原方程可以写成原方程可以写成62- -x2 = 0，
5、 （1） 9x2- -49=0 ， 原方程可以写成原方程可以写成 ( (3x) )2- -72 = 0， 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得( (3x+7)()(3x- -7) )=0. 由此得出由此得出 3x+7=0 或或 3x- -7=0. 解得解得 ， 1 7 3 x 2 7 3 x. （2） 36- -x2=0 ， 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得 ( (6+x)()(6- -x) )=0. 由此得出由此得出 6+x=0 或或 6- -x=0. 解得解得 ， 1 6x 2 6 x. 解：解： 解：解： （3） ( (x+3) )2- -16=0 ， 原方程可以写成
6、原方程可以写成( (x+3) )2- -42 = 0， 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得( (x+3+ +4)()(x+3- -4) )=0. 由此得出由此得出 x+7=0 或或 x- -1=0. 解得解得 ， （4） ( (1- -2x) )2- -3=0 ， 原方程可以写成原方程可以写成( (1- -2x) )2- - = 0， 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得( (1- -2x+ )()(1- -2x- - ) )=0. 由此得出由此得出 1- -2x+ =0 或或 1- -2x - - =0. 解得解得 ， 2 3()() 33 33 2 x 1 x 1 1+
7、3 2 x 2 13 2 x - - （1） ( a b )2 ； （2） 把完全平方公式从右到左地使用，把完全平方公式从右到左地使用， 在下列各题在下列各题 中，中， 填上适当的数，使等式成立：填上适当的数，使等式成立： x2 + 6x + ( x+ )2； x2 - 6x + ( x - )2； x2 + 6x +5 = x2 + 6x + - + 5 = (x + )2- . a 2 2abb2 9 3 3 9 9 9 3 4 就是就是把式子写成把式子写成(x + n)2 +d的形式的形式 理解新知理解新知 解方程：解方程： x2+ 4x = 12. 解：解：x2 + 4x + 22 -
8、 22 = 12， 因此，因此， 有有x2 + 4x + 22 = 22 + 12. 即即(x + 2 )2 = 16. 根据平方根的意义，根据平方根的意义， 得得 x + 2 = 4 或或 x + 2 = -4. 解得解得x1 =2， x2 = - -6 一般地，一般地， 像上面这样，像上面这样， 在方程在方程 x2 + 4x = 12 的左的左 边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使 得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作 配方配方 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义配方、整理后
9、就可以直接根据平方根的意义 来求解了这种解一元二次方程的方法叫作配方法来求解了这种解一元二次方程的方法叫作配方法 如何用配方法解本章如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”节“动脑筋” 中的方程中的方程 ： 25x2+ 50 x - 11 = 0 呢？呢？ 这个方程的二次项系数是这个方程的二次项系数是25，如果二次项系数为，如果二次项系数为1， 那那 就好办了。我们可以直接将左边化为就好办了。我们可以直接将左边化为(x + n)2的形式。的形式。 由于方程由于方程25x2 + 50 x - 11 = 0 的二次项系数不为的二次项系数不为1， 为了便于为了便于 配方，配方， 我们可根据等式的性质，我
10、们可根据等式的性质， 在方程两边同除以在方程两边同除以25， 将将 二次项系数化为二次项系数化为1， 得得 x2 + 2x - 0 25 11 那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？那么现在你会利用配方法解这个方程这个方程了么？ x2 + 2x - 0 25 11 x2 + 2x +12 - 12 - 0 25 11 配方，配方， 得得 因此因此 (x + 1)2 = 25 36 由此得由此得 x + 1 = 或或 x + 1 = ， 5 6 5 6 - 解得解得 x1 =0.2， x2 = - -2.2 二次项系数化为二次项系数化为1 25x2+ 50 x - 11 = 0 方程左边
11、配成完全平方方程左边配成完全平方 将方程转化为两将方程转化为两 个一元一次方程个一元一次方程 两个一元一次方两个一元一次方 程分别求解程分别求解 用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: : 移项移项: :把常数项移到方程的右边； 配方配方: :方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方开方: :根据平方根意义，方程两边开平方； 求解求解: :解一元一次方程； 定解定解: :写出原方程的解. 例 市区内有一块边长为市区内有一块边长为1515米的正方形绿地米的正方形绿地， 经城市规划经城市规划，需扩大绿化面积需扩大绿化面积，预计规划后的预计规划后的 正方形绿地面积将达到正方形绿地面积将达到289平方米平方米，这块绿地的这块绿地的 边长增加了多少米边长增加了多少米？ 解：解：设这块绿地的边长增加了设这块绿地的边长增加了x米米，则有：则有：(15 x)2289，解得解得x12，x232(舍去舍去)所以所以 这块绿地的边长增加了这块绿地的边长增加了2米米. 通过本小节，你有通过本小节，你有什么什么收获？收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。