1、22.3 实际问题与二次函数第 1 课时 二次函数与图形面积01 基础题 知识点 二次函数与图形面积1(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分) 的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是(C)A60 m 2B63 m 2C64 m 2D66 m 22用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图) ，那么这个窗户的最大透光面积是(C)A. m2 B. m2 6425 43C. m2 D 4 m2833(泰安中考改编)如图，在ABC 中，C90 ，AB10 cm，BC8 cm，点 P 从点 A沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C
2、沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 停止)，在运动过程中，PCQ 面积的最大值为 (B)A6 cm 2 B9 cm 2C12 cm 2 D15 cm 24(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙 (墙长 50 m)，中间用两道墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144m2.5将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2.2526已知直角三角形两条直角边的和等于 20，两条直角边各为多少
3、时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设直角三角形的一直角边长为 x，则另一直角边长为(20x) ，其面积为 y，则y x(20x)12 x210x12 (x10) 250.12 0，12当 x10 时，面积 y 值取最大，y 最大 50.7(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计 )解：根据题意，得 y20x( x) 1802整理，得y20x 21 800x20(x 290x2 025)40 50020(
4、x45) 240 500.200，当 x45 时，函数有最大值，y 最大 40 500.即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3.易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合8(咸宁中考)用一根长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形，那么 a 的值不可能为(D)A20 B40C100 D12002 中档题9(教材 P52 习题 T7 变式)(新疆中考)如图，在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，点E，F， G，H 分别从点 A，B，C，D 同时出发，均以 1 cm/s 的速度向点 B，C，D，A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，
5、四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3s 时，四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是 18cm2.10手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm 2)随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？解：(1)S x230x.12(2)S x230x (x30) 2450，12 12且 0，12当 x30 时，S 有最大值，最大值为 450.即当 x 为 30
6、 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2.11(包头中考)某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2 000 元设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米(1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？(3)当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？解：(1)矩形的一边长为 x 米，周长为 16 米，另一边长为(8x)米Sx(8 x)x 28x，其中 0x8.(2)能理由：当设计费为 24 000 元时，广告牌的面积为 24 0002 00012( 平方米)，即x 28x1
7、2，解得 x2 或 x6.x2 和 x6 在 0x8 内，设计费能达到 24 000 元(3)Sx 28x(x4) 216，0x8，当 x4 时，S 最大 16.当 x4 米时，矩形的面积最大，为 16 平方米，设计费最多，最多是 162 00032 000元12(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长) ，另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设 ABx 米 (x0)，试用含
8、x 的代数式表示 BC 的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)BC6932x722x.(2)小英的说法正确理由：矩形面积 Sx(722x)2(x18) 2648，722x0，x36.0x36.当 x18 时，S 取最大值，此时 x722x.面积最大的不是正方形小英的说法正确03 综合题13(朝阳中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，PMN 是一块直角三角板(N30)，PM 2 cm，PM 与 BC 均在直线 l 上，开始时 M 点与 B 点重合，将三角板向右平行移动，直至 M 点与 C 点重合为止设 BMx cm，三角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2.下列结论：
9、当 0x 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y x2；233 32当 x2 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y2x ；233 233当 MN 经过 AB 的中点时，y cm2；123存在 x 的值，使 y S 正方形 ABCD(S 正方形 ABCD 表示正方形 ABCD 的面积)12其中正确的是(写出所有正确结论的序号 )第 2 课时 二次函数与商品利润01 基础题知识点 1 简单销售问题中的最大利润1某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价若每件商品售价为 x 元，则可卖出(35010x)件商品，那么卖出商品所赚钱 y 元与售价 x 元之间的函数关系为(B)A
10、y10x 2560x7 350By10x 2560x7 350Cy10x 2350xDy10x 2350x7 3502我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入 x 万元，可获得利润 P (x60) 241( 万元)每年最多可1100投入 100 万元的销售投资，则 5 年所获利润的最大值是 205 万元3(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 y 甲 (万元) 与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 甲 0.3x；乙种水果的销售利润 y 乙 (万元)与进货量 x(吨)
11、近似满足函数关系 y 乙 ax 2bx( 其中a0，a，b 为常数)，且进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y 乙 为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y 乙 为 2.6 万元(1)求 y 乙 (万元 )与 x(吨)之间的函数关系式；(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和 W(万元) 与 t(吨) 之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？解：(1)由题意，得 解得a b 1.4，4a 2b 2.6.) a 0.1，b 1.5. )y 乙 0.1x 21.
12、5x.(2)Wy 甲 y 乙 0.3(10t)(0.1t 21.5t)0.1t 21.2t30.1(t6) 26.6.0.10，t6 时，W 有最大值为 6.6.1064(吨)答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 6.6 万元知识点 2 “每，每”的问题4一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件根据销售统计，该件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A5 元 B10 元C0 元 D6 元5(十堰中考)某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价
13、不低于进价现在的售价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元(x 为正整数) ，每月的销量为 y 箱(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)y10x60(1x12 ，且 x 为整数)(2)设每月销售利润为 w 元根据题意，得w(36x24)(10x60)，整理，得 w10x 260x 72010(x 3) 2810.100，且 1x12，当 x3 时，w 有最大值，最大值是 810.36333.答
14、：当定价为 33 元/箱时，每月销售牛奶的利润最大，最大利润是 810 元02 中档题6生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 yn 214n24，则该企业一年中应停产的月份是(C)A1 月、2 月、3 月 B2 月、3 月、4 月C1 月、2 月、12 月 D1 月、11 月、12 月7(沈阳中考)某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20x30，且 x 为整数)出售，可卖出(30x) 件要使利润最大，每件的售价应为 25元8(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利
15、润 y(元) 与销售单价 x(元)之间满足关系yax 2bx75，其图象如图所示(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围内时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？解：(1)yax 2bx75 的图象过点(5，0) ，(7，16) ， 25a 5b 75 0，49a 7b 75 16.)解得 a 1，b 20. )yx 220x75.yx 220x75(x 10)225，10，当 x10 时，y 最大 25.答：销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为 25 元(2)由(1)可知函数 yx 220x75 图象的对称
16、轴为直线 x10，点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)又函数 yx 220x75 图象开口向下，当 7x13 时，y16.答：销售单价不少于 7 元且不超过 13 元时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元9(襄阳中考)为了“创建文明城市，建设美丽家园” ，我市某社区将辖区内的一块面积为 1 000 m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花设种草部分的面积为 x(m2)，种草所需费用 y1(元)与 x(m2)的函数关系式为 y1 其图象如图所k1x（0 x600），k2x b（600 x 1 000），)示栽花所需费用 y2(元)与 x(m2)的函数关系式为 y20.01x
17、 220x30 000(0x1 000)(1)请直接写出 k1，k 2 和 b 的值；(2)设这块 1 000 m2 空地的绿化总费用为 W(元)，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总费用 W 的最大值；(3)若种草部分的面积不少于 700 m2，栽花部分的面积不少于 100 m2，请求出绿化总费用W 的最小值解：(1)k 130，k 220，b6 000.(2)当 0x600 时，W30x(0.01x 220x30 000) 0.01x 210x30 0000.01(x500) 232 500，0.010，当 x500 时，W 取最大值为 32 500 元当 600x1 000 时，
18、W20x6 000( 0.01x 220x30 000) 0.01x 236 000，0.010，当 600x1 000 时，W 随 x 的增大而减小当 x600 时，W 取最大值为 32 400 元32 40032 500，W 的最大值为 32 500 元(3)由题意，得 1 000x100，解得 x900.又x700，700x900.当 700x900 时，W 随 x 的增大而减小，当 x900 时，W 取最小值为 27 900 元03 综合题10(咸宁中考)某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖
19、 30 件已知该款童装每件成本价 40 元设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)若该网店每星期想要获得不低于 6 480 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？解：(1)y30030(60x)30x2 100.(2)设每星期的销售利润为 W 元，依题意，得W(x 40)(30x2 100)30x 23 300x84 00030(x55) 26 750.300，当 x55 时，W 最大 6 750.答：当每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润是 6
20、 750 元(3)由题意，得30(x55) 26 7506 480，解得 x152，x 258.抛物线 W30(x 55) 2 6 750 的开口向下，当 52x58 时，每星期销售利润不低于 6 480 元在 y30x2 100 中，y 随 x 的增大而减小，当 x58 时，y 最小 30582 100360.答：每星期至少要销售该款童装 360 件第 3 课时 实物抛物线01 基础题知识点 1 二次函数在桥梁问题中的应用1(绍兴中考)如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标
21、原点时的抛物线解析式是 y (x6) 24，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线的解析式是19y (x6) 24192(潜江中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米水面下降 1 米时，水面的宽度为 2 米63(山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B 两点，拱桥最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB36 m，D、E 为拱桥底部的两点，且DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为 48m.知识点 2 二次函数在隧道问题中的应用4某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸
22、如图所示以隧道横截面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，求得该抛物线对应的函数关系式为y x213知识点 3 二次函数在其他建筑问题中的应用5如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽 4 米，顶部距地面的高度为4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4 米，该车要想通过此门，装货后的高度应小于(B)A2.80 米B2.816 米C2.82 米D2.826 米知识点 4 二次函数在体育问题中的应用6比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图) 若不考虑外力因素，羽毛球行进高度 y(米)与水平距离 x(米) 之间满足关系 y
23、x2 x ，则羽毛球飞出的水平29 89 109距离为 5 米7在体育测试时，九年级的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处 A 点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处 B 点的坐标为(6，5) (1)求这个二次函数的解析式；(2)该男生把铅球推出去多远( 精确到 0.01 米)?解：(1)设二次函数的解析式为 ya(x6) 25，将 A(0， 2)代入，得 2a(0 6) 25，解得 a .112二次函数的解析式为 y (x6) 25.112(2)由 (x6) 250，得 x162 ，x 262 .结合图象可知：C 点坐标为(62112
24、15 15， 0)15OC62 13.75(米)15答：该男生把铅球推出去约 13.75 米02 中档题8王大力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度 h(m)与水平距离 x(m)的关系式为h x2 x2，则王大力同学投掷标枪的成绩是 48m.148 23249(吕梁市文水县期中)某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距 0.4 m 加设不锈钢管(如图) 做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据(1)求此抛物线的解析式；(2)计算所需不锈钢管的总长度解：(1)建立如图所示平面直角坐标系，由题意，得 B(0， 0.5)、C
25、(1，0)设抛物线的解析式为 yax 2c，代入得 a0.5，c 0.5，故抛物线解析式为 y0.5x 20.5.(2)如图所示，设立柱分别为 B1C1，B 2C2，B 3C3，B 4C4.当 x0.2 时，y0.48，当 x0.6 时，y0.32，B 1C1B 2C2B 3C3B 4C42(0.480.32) 1.6(m) 所需不锈钢管的总长度为 1.65080(m)10(金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函数表达式 ya(x4) 2h.已知点 O
26、与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m.(1)当 a 时：124求 h 的值；通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 m 的 Q125处时，乙扣球成功，求 a 的值解：(1)把(0 ， 1)代入 y (x4) 2h，得124h .53把 x5 代入 y (x4) 2 ，得124 53y (54) 2 1.625.124 531.6251.55，此球能过网(2)把(0， 1)，(7， )代入 ya(x4) 2h，得125解得16a h 1，9a h 125，) a 15，h 215. )a .1503 综合题11
27、(青岛中考)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y x2bxc 表示，且抛物线上16的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 m，到地面 OA 的距离为 m.172(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)由题意，得点 B 的坐标为(0，4) ，点 C 的坐标为(3， )，172 解得4 1602 b0 c，172 1632 b3 c.) b 2，c 4.)该抛物线的函数关系式为 y x22x4.16y x22x4 (x 6)210，16 16拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.(2)当 x6410 时，y x22x4 1022 104 6，16 16 223这辆货车能安全通过(3)当 y8 时， x22x48，即 x212x240， x162 ，x 262 .16 3 3两排灯的水平距离最小是 62 (62 )4 (m)3 3 3