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陕西省西安市八校2020-2021学年高考数学第二次联考试卷(理科)含答案解析

1、2021 年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(理科)(二)年陕西省西安市八校高考数学联考试卷(理科)(二) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|3x12,Bx|x21,则 AB( ) A(2,1)(1,3) B(2,11,3) C1,1 D1,3) 2已知复数 z,则|z+i|( ) A B2 C D 3给出如图所示的算法框图,若输出的 n6 时,a 的取值范围是( ) A(65,665) B65,665 C65,211) D65,665) 4已知数列an满足点(n,an)在直线 4xy+20 上,则数列an的前 n 项和 Sn( ) A2(4n1) B64n

2、 C4n2+8n D2n2+4n 5已知双曲线 M:1(m0)的焦点 F 到其渐近线的距离为 4,则双曲线 M 的渐近线方程是 ( ) Ay By Cy Dy 6已知 a2100,b365,c930(参考值 lg20.3010,lg30.4771),则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 7已知向量 (1,2), (2,1), (5,4),则以向量 与 为基底表示向量 的结果是( ) A B C D+ 8已知数列an+2n是等比数列,且 a10,a24,则数列 a6( ) A1984 B1920 C992 D960 9函数 f(x)的零点的个数是( ) A1

3、 B2 C3 D4 10若(2+x2)6a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8+a5x10+a6x12,则 a0+a5( ) A88 B86 C76 D66 11一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如图,三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形,各边上的 交点为边的中点将该几何体揉搓成一个球体(不计损耗),则该球体的半径为( )(圆周率 取 3) A36 B4 C3 D 12已知在线段 AB 上有 C、D 两点,满足 AC40cm,CD120cm,DB20cm,点 P 在线段 CD 上运动, 设 M 为 AP 的中点,N 为 CD 的中点(如图),则的值( ) A等于 1 B等于 2 C

4、等于 3 D与 P 的位置有关 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。)分。) 13已知随机变量 B(5,),则 P(3) (用数字作答) 14已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,若 P(4,3)是 的终边 上一点,则 sin2 15已知椭圆 C:1(ab0)左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1且倾斜角为 30的直线 l1与过 F2的直线 l2交于 P 点,点 P 在椭圆上,且F1PF290则椭圆 C 的离心率 e 16已知可导函数 f(x)的定义域为(0,+),满足 xf(x)2f(x)0,且 f(2)

5、4,则不等式 f(2x) 4x的解集是 三、解答题(共三、解答题(共 5 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。)考生根据要求作答。) 17已知函数 f(x)sinxcosx(0)的最大值为 2,且 f(x)的最小正周期为 ()若 x0,求 f(x)的最小值和最大值; ()设ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,D 为 AC 的中点,若 am,BD,f ()0,求ABC 的面积 SABC 18已知抛物线

6、E:yx2的焦点为 F,过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物线 E 交于 A、B 两点,O 为 坐标原点,且2 ()求证:直线 l 过定点; ()设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C,求四边形 OABC 面积的最小值 19如图,在三棱锥 DABC 中,侧面ABD 是边长为 6 的等边三角形,底面ABC 是角 C 为 120的等 腰三角形,CD ()求证:平面 ABD平面 ABC; ()若 M 在 CD 上,且 CMMD,求二面角 MABD 的余弦值 20中国悠久文化之一“石头、尖刀、布”游戏,留传至今,仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式 “石 头”即拳头,“尖刀”即食指和中指,

7、“布”即手掌,“石头”胜“尖刀”,“尖刀”胜“布”,“布” 胜“石头”现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负,假定每个人每次伸出什么手势 是随机的并且是均等的(一次游戏,可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负,不分胜负即三人手 势均相同或互不相同) ()若进行一次“石头、尖刀、布”游戏,求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率; ()若进行一次“石头、尖刀、布”游戏,仅一人获胜时,获胜者得 5 分,失败者各得分2;有 2 人同时获胜时,获胜者各得 3 分,失败者得2 分;不分胜负时,各得 0 分现在进行两次“石头、尖 刀、布”游戏,用 X 表示甲所得的总分数,求 X 的分布列和期望

8、21设函数 f(x)2ax+ln(2x1)(aR) ()讨论 f(x)的单调性; ()当 a1 时,求证:f(x)(2x1)e2x1(e 为自然对数的底数) (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合,有相同的单位长度曲 线 S 的极坐标方程为 4cos2sin,直线 l 的参数方程为(t 为参数,a1) ()求曲线 S 的长度; (

9、)若直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4,求实数 a 的集合 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 f(x)|x3|2|x+1|+x ()解不等式 f(x)1; ()求证:xR,对a、b(0,+),a+b2,不等式f(x)成立 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1已知集合 Ax|3x12,Bx|x21,则 AB( ) A(2,1)(1,3) B(2,11,3) C1,1 D1,3) 解:Ax|2x3,Bx|x1 或 x1, AB(2,11,3) 故选:B 2已知复数 z,则|z+i|( ) A B2 C D 解:z, z+i+i+i2i(1

10、i)+i2i+2+i2+3i, 故|z+i|, 故选:A 3给出如图所示的算法框图,若输出的 n6 时,a 的取值范围是( ) A(65,665) B65,665 C65,211) D65,665) 解:模拟程序的运行,可得 n0,y1 满足判断框内的条件,执行循环体,n2,y5 满足判断框内的条件,执行循环体,n4,y65 满足判断框内的条件,执行循环体,n6,y665 因为输出的 n 的值为 6, 所以 n6 时 ya,即 665a,n4 时 ya,即 65a, 故 a 的取值范围是65,665) 故选:D 4已知数列an满足点(n,an)在直线 4xy+20 上,则数列an的前 n 项和

11、 Sn( ) A2(4n1) B64n C4n2+8n D2n2+4n 解:数列an满足点(n,an)在直线 4xy+20 上, 可得 an4n+2,an+1an4,a16, 所以数列an是等差数列,首项为 6,公差为 4, 所以数列an的前 n 项和 Sn6n+ 2n2+4n 故选:D 5已知双曲线 M:1(m0)的焦点 F 到其渐近线的距离为 4,则双曲线 M 的渐近线方程是 ( ) Ay By Cy Dy 解:双曲线 M:1(m0)的焦点 F 到其渐近线的距离为 4, 由双曲线的一个焦点坐标(,0),一条渐近线方程为:, 可知:4,即 m+816,解得 m8, 所以双曲线的渐近线方程为:

12、yx 故选:C 6已知 a2100,b365,c930(参考值 lg20.3010,lg30.4771),则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bbac Cbca Dcba 解:a2100,b365,c930(参考值 lg20.3010,lg30.4771), lgalg2100100lg230.10, lgblg36565lg3650.477131.0115, lgclg930lg36060lg3600.477128.626, a,b,c 的大小关系为:bac 故选:B 7已知向量 (1,2), (2,1), (5,4),则以向量 与 为基底表示向量 的结果是( ) A B C D+

13、 解:设 x +y , 即(5,4)x(1,2)+y(2,1), 则,得 x,y, 即 , 故选:A 8已知数列an+2n是等比数列,且 a10,a24,则数列 a6( ) A1984 B1920 C992 D960 解:因为 a10,a24, 所以 a1+212,a2+228, 又数列an+2n是等比数列,故公比 q4, 所以 a6+26245211, 故 a6211261984 故选:A 9函数 f(x)的零点的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解:函数 f(x)的零点就是0,函数的零点的个数,也就是方程根的个数 即 2xx21,x1,而 x22x10,40,所以方程由两个解,并且不是

14、1 所以函数 f(x)的零点的个数是 2 故选:B 10若(2+x2)6a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8+a5x10+a6x12,则 a0+a5( ) A88 B86 C76 D66 解:令 x0 得 a02664, a5为 x10的系数,即 a5212, 则 a0+a564+1276, 故选:C 11一个由橡皮泥制作的空间几何体的三视图如图,三个视图的外边框都是边长为 6 的正方形,各边上的 交点为边的中点将该几何体揉搓成一个球体(不计损耗),则该球体的半径为( )(圆周率 取 3) A36 B4 C3 D 解:根据几何体的三视图可知该几何体为一个棱长为 6 的正方体,切去四个角

15、构成的多面体, 故 V4216921636180 根据球的体积公式,由于圆周率 取 3, 所以, 故选:D 12已知在线段 AB 上有 C、D 两点,满足 AC40cm,CD120cm,DB20cm,点 P 在线段 CD 上运动, 设 M 为 AP 的中点,N 为 CD 的中点(如图),则的值( ) A等于 1 B等于 2 C等于 3 D与 P 的位置有关 解:设点 A 的坐标为 0,则 C 点坐标为 40,D 点坐标为 160,B 点坐标为 180, 设点 P 的坐标为 x(40 x160), 故点 M 的坐标为,点 N 的坐标为 100, 所以 故选:B 二、填空题(本大题共二、填空题(本

16、大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。把答案填在答题卷中相应的横线上。)分。把答案填在答题卷中相应的横线上。) 13已知随机变量 B(5,),则 P(3) (用数字作答) 解:随机变量 B(5,), 则 P(3) 故答案为: 14已知角 的顶点是直角坐标系 xOy 的原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,若 P(4,3)是 的终边 上一点,则 sin2 解:由题意点 P(4,3)到原点 O 得距离 r5 由任意角的三角函数的定义得:sin,cos, 可得 sin22sincos2() 故答案为: 15已知椭圆 C:1(ab0)左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1且倾

17、斜角为 30的直线 l1与过 F2的直线 l2交于 P 点,点 P 在椭圆上,且F1PF290则椭圆 C 的离心率 e 解:由题意可知PF1F2是直角三角形,且PF1F230, PF2c,F1F22c, , PF1+PF22a,即 , , 故答案为: 16已知可导函数 f(x)的定义域为(0,+),满足 xf(x)2f(x)0,且 f(2)4,则不等式 f(2x) 4x的解集是 x|x0 解:令 g(x)(x0), xf(x)2f(x)0, g(x)0, g(x)在区间(0,+)上单调递减, 又 f(2)4, g(2)1, 不等式 f(2x)4x1,即 g(2x)g(1), 由得:2x1, 解

18、得 x0, 不等式 f(2x)4x的解集是x|x0, 故答案为:x|x0 三、解答题(共三、解答题(共 5 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,题为必考题, 第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。)考生根据要求作答。) 17已知函数 f(x)sinxcosx(0)的最大值为 2,且 f(x)的最小正周期为 ()若 x0,求 f(x)的最小值和最大值; ()设ABC 的内角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,D 为 AC 的中点,若 am,BD,f ()0,求ABC

19、的面积 SABC 解:(I)f(x)sinxcosxsin(x+),(tan), 由题意得,2,即 m3, 则 , 因为 T, 所以 2,f(x)2sin(2x), 因为 x0, 所以 2x, 所以 sin(2x),1, 故函数的最大值 2,最小值 (II)由(I)得,a3, 由 f()2sin(B)0,得 B, 由 B 为三角形内角得 B, 因为 D 为 AC 的中点,a3,BD, 所以(), 所以+|cosB, 所以 c2+3c280, 解得 c4 或 c7(舍), 故ABC 的面积 SABC 3 18已知抛物线 E:yx2的焦点为 F,过 y 轴正半轴上一点 M 的直线 l 与抛物线 E

20、 交于 A、B 两点,O 为 坐标原点,且2 ()求证:直线 l 过定点; ()设点 F 关于直线 OB 的对称点为 C,求四边形 OABC 面积的最小值 解:()证明:设直线 l 的方程为 ykx+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由,得 x2kxm0,则 x1x2m, 所以 y1y2x12x22m2, 因为x1x2+y1y22, 所以 m2m20,解得 m2, 所以直线 l 过定点 M(0,2) ()不妨设 x10,则由()知 x2 , 由对称性得 SBOCSBOF|OF|x2 | , 又 SAOBSAOB+SBOCx1+ 2 3, 当且仅当 x1,即 x1时,取等号, 故

21、四边形 OABC 面积的最小值为 3 19如图,在三棱锥 DABC 中,侧面ABD 是边长为 6 的等边三角形,底面ABC 是角 C 为 120的等 腰三角形,CD ()求证:平面 ABD平面 ABC; ()若 M 在 CD 上,且 CMMD,求二面角 MABD 的余弦值 【解答】()证明:取 AB 中点 O,连接 OC、OD, 因为ABD 是边长为 6 的等边三角形,所以 OA3,ODAB, 因为ABC 是角 C 为 120的等腰三角形,所以ACO60,OCAB, 所以COD 为二面角 CABD 的平面角,OC,AC2, 因为 OD6sin603,CD,所以 CD2OC2+OD2,所以COD

22、90 即二面角 CABD 为直二面角,所以平面 ABD平面 ABC ()解:过 M 点作 MNOD 于 N,连接 OM,所以 MNOC, 由()知 ABOC,ABOD,OCODO,所以 AB平面 COD, 又因为 OM平面 COD,所以 ABOM, 又因为 ABOD,所以DOM 为二面角 MABD 的平面角, 因为 CMMD,所以 ONOD,MNOC, OM , 所以二面角 MABD 的余弦值为 20中国悠久文化之一“石头、尖刀、布”游戏,留传至今,仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式 “石 头”即拳头,“尖刀”即食指和中指,“布”即手掌,“石头”胜“尖刀”,“尖刀”胜“布”,“布” 胜“石头

23、”现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负,假定每个人每次伸出什么手势 是随机的并且是均等的(一次游戏,可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负,不分胜负即三人手 势均相同或互不相同) ()若进行一次“石头、尖刀、布”游戏,求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率; ()若进行一次“石头、尖刀、布”游戏,仅一人获胜时,获胜者得 5 分,失败者各得分2;有 2 人同时获胜时,获胜者各得 3 分,失败者得2 分;不分胜负时,各得 0 分现在进行两次“石头、尖 刀、布”游戏,用 X 表示甲所得的总分数,求 X 的分布列和期望 解:(1)设“仅甲获胜”为事件 A,“有两人同时获胜”为事件 B,

24、则 P(A), P(B) (2)一场比赛中,甲可得 5 分,3 分,0 分,2 分, 甲得 5 分的概率为,甲得 3 分的概率为, 甲得 0 分的概率为,甲得2 分的概率为, 则 X 的所有可能取值为 10,8,6,5,3,1,0,2,4, P(X10), P(X8)2, P(X6), P(X5)2, P(X3)2+2, P(X1)2, P(X0), P(X2)2, P(X4), 所以 X 的分别列为: X 10 8 6 5 3 1 0 2 4 P E(X)10+8+6+5 +3+1 +0+(2) +(4) 21设函数 f(x)2ax+ln(2x1)(aR) ()讨论 f(x)的单调性; ()

25、当 a1 时,求证:f(x)(2x1)e2x1(e 为自然对数的底数) 【解答】()解:函数 f(x)2ax+ln(2x1),定义域为, 因为, 当 a0 时,f(x)0 恒成立,故 f(x)在上单调递增; 当 a0 时,令 f(x)0,即 2a(2x1)+20,解得, 令 f(x),0,即 2a(2x1)+20,解得 x, 所以 f(x)在上单调递增,在上单调递减 综上所述,当 a0 时,f(x)在上单调递增; 当 a0 时,f(x)在上单调递增,在上单调递减 ()证明:当 a1 时,f(x)2x+ln(2x1), 要证 f(x)(2x1)e2x1,即证 2x+ln(2x1)(2x1)e2x

26、1, 令 t2x1,则 g(t)tett1lnt(t0), 则 g(t), 令 h(t)tet1,则 h(t)et(t+1)0,故 h(t)在0,+)上单调递增, 又 h(0)10,h(1)e10, 设 h(t)在(0,+)内只有一个解设为 m, 则 h(m)0,即 mem1, 于是当 t(0,m)时,g(t)0,则 g(t)单调递减, 当 t(m,+)时,g(t)0,则 g(t)单调递增, 所以当 tm 时,g(t)取得最小值为 g(m)memm1lnm(mem1)(m+lnm)ln(mem) ln10, 所以对于任意的 t(0,+),g(t)0,即 tett1lnt0, 从而有 2x+ln

27、(2x1)(2x1)e2x1,即 f(x)(2x1)e2x1 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22已知极坐标系与直角坐标系的极点与原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合,有相同的单位长度曲 线 S 的极坐标方程为 4cos2sin,直线 l 的参数方程为(t 为参数,a1) ()求曲线 S 的长度; ()若直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4,求实数 a 的集合 解:()曲线 S 的极坐标方程

28、为 4cos2sin, 根据,转换为直角坐标方程为(x2)2+(y+1)25, 该曲线是以(2,1)为圆心,为半径的圆, 所以圆的周长为 ()直线 l 的参数方程为(t 为参数,a1)转换为 直线 l 被曲线 S 截得的线段长为 4, 所以圆心(2,1)到直线的距离 d, 整理得或, 解得或 1;或1, 故实数 a 的集合为 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 f(x)|x3|2|x+1|+x ()解不等式 f(x)1; ()求证:xR,对a、b(0,+),a+b2,不等式f(x)成立 解:(1)f(x)|x3|2|x+1|+x, 则 f(x)1或或 解得2x1 或1x0 则不等式 f(x)1 的解集为2,0; 证明:(2)a+b2, 又 a、b(0,+),2a+b,则 ab1, ,当且仅当 ab 时取最大值, 作出函数 f(x)的图象如图: 由图可知,f(x)5,3,且当 x1 时,f(1)3 x1R,对a、b(0,+),a+b2,不等式f(x)成立