1、2021 年中考一轮年中考一轮数学数学复习复习 图形变换填空压轴题图形变换填空压轴题 培优提升专题训练培优提升专题训练 1如图，RtABC 中，C90，A30，AB20，点 P 是 AC 边上的一个动点，将线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60得到线段 BQ，连接 CQ，则在点 P 运动过程中，线段 CQ 的最小值为 2如图，在平面直角坐标系中，点 C 是 y 轴正半轴上的一个动点，抛物线 yax26ax+5a（a 是常数，且 a0）过点 C，与 x 轴交于点 A、B，点 A 在点 B 的左边，连接 AC，以 AC 为边作等边三角形 ACD，点 D 与点 O 在直线 AC 两侧，连接 BD，则
2、 BD 的最小值是 3如图，已知MON30，B 为 OM 上一点，BAON 于 A，四边形 ABCD 为正方形，P 为射线 BM 上 一动点， 连接CP， 将CP绕点C顺时针方向旋转90得CE， 连接BE， 若AB， 则BE的最小值为 4如图，已知直线 AB 与 y 轴交于点 A（0，2） ，与 x 轴的负半轴交于点 B，且ABO30，点 C 为 x 轴 的正半轴上一点，将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得线段 CD，连接 BD，若 BD，则点 C 的坐标为 5如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点 A 顺时针旋转到AB1C1的位置，点 B，O（分别落在点 B1， C1处，点 B
3、1在 x 轴上，再将AB1C1绕点 B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点 C2在 x 轴上，再将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点 A2在 x 轴上，依次进行下去，若点 A（3，0） ，B （0，4） ，AB5，则点 B2021的坐标为 6定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形 ABCD 中，ABBC，AD2， CD5，ABC60，则线段 BD 7如图，矩形 ABCD 中，AB2，AD，O 为 AB 的中点，将 OA 绕着点 O 旋转得到 OE，连接 DE以 DE 为边作等边DEF（点 D、E、F 按顺时针方向排列） ，连接 CF，则 CF 的
4、最小值为 8如图，在ABC 中，ABAC2，BAC120，P 为 BC 边上一动点，连接 AP，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 120至 AP，则线段 PP的最小值为 9如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，点 E 为线段 CD 的中点，动点 F 从点 C 出发，沿 CB A 的方向在 CB 和 BA 上运动，将矩形沿 EF 折叠，点 C 的对应点为 C，当点 C恰好落在矩形的对角线上 时（不与矩形顶点重合） ，点 F 运动的距离为 10如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB8，BC20，A60，P 是边 AD 上一动点，连接 PB， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得
5、到线段 PQ，若点 Q 恰好落在平行四边形 ABCD 的边上，那么 AP 的值是 11如图，长方形 ABCD 中，AB6，BC，E 为 BC 上一点，且 BE，F 为 AB 边上的一个动点， 连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为 12如图，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90，点 P 为射线 BD， CE 的交点，若 AB2，AD1，把ADE 绕点 A 旋转，当EAC90时，则 PB 的长为 13如图，RtABC 中，C90，AC10，BC16动点 P 以每秒 3 个单位的速度从点 A 开始向
6、点 C 移动， 直线 l 从与 AC 重合的位置开始， 以相同的速度沿 CB 方向平行移动， 且分别与 CB， AB 边交于 E， F 两点，点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点 P 移动到与点 C 重合时，点 P 和直线 l 同 时停止运动在移动过程中，将PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 M 落在直线 l 上，点 F 的 对应点记为点 N，连接 BN，当 BNPE 时，t 的值为 14如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，ABC45，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE，将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BF，连接 AF，则 AF 的
7、最小值是 15如图，点 D 为等边三角形 ABC 内一点，且BDC120，则的最小值为 16如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ADABCD2，C60，M 是 BC 的中点将MDC 绕 点 M 旋转，当 MD（即 MD）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC）同时与 AD 交于一点 F 时，点 E，F 和 点 A 构成AEF，则AEF 周长的最小值为 17如图，在ABC 中，C60，将边 AB 绕点 A 顺时针旋转 （090）得到 AD，边 AC 绕点 A 逆时针旋转 （090） 得到 AE， 连接 DE 若 AB3， AC2， 且 +B， 则 DE 18如图，ABC 中，ABC45，AH
8、BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DHCH，连接 BD将BHD 绕点 H 旋转，得到EHF（点 B，D 分别与点 E，F 对应） ，连接 AE当点 F 落在 AC 上时（F 不与 C 重合） ，若 BC4，tanC3，则 AE 的长 19如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB90，ACBC4，D 为 BC 中点，E 为 AC 边上一动点， 连接 DE，以 DE 为边并在 DE 的右侧作等边DEF，连接 BF，则 BF 的最小值为 20如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，使 点 B落在射线 AC 上，则 cosBCB 的值为 2
9、1如图，在 Rt 直角ABC 中，B45，ABAC，点 D 为 BC 中点，直角MDN 绕点 D 旋转，DM， DN 分别与边 AB，AC 交于 E，F 两点，下列结论：DEF 是等腰直角三角形；AECF；BDE ADF；BE+CFEF，其中正确结论是 22如图，B（0，3） ，A 为 x 轴上一动点，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90得 AC，连 OC，则 OC 的最 小值为 23如图，已知ABC 中，BAC120，ABAC2D 为 BC 边一点，且 BD：DC1：2以 D 为一个点作等边DEF，且 DEDC 连接 AE，将等边DEF 绕点 D 旋转一周，在整个旋转过程中，当 AE 取
10、得最大值时 AF 的长为 24如图，在 RtABC 中，ABAC，D、E 是斜边 BC 上两点，且DAE45，将ABE 绕点 A 顺时针 旋转 90后，得到ACF，连接 DF，下列结论中：DAF45ABEACDAD 平分 EDFBE2+DC2DE2；正确的有 （填序号） 25如图，线段 AB4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC 长度的最大值是 26如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（8，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ，将矩形 OABC 绕 O 按 顺时针方向旋转 度得
11、到 OABC， 此时直线 OA、 直线 BC分别与直线 BC 相交于点 P、 Q 当 4590，且 BPBQ 时，线段 PQ 的长是 27如图，在ABC 中，ABACA30，D，E 分别在 AB，AC 上，AD，且BED 是等 腰直角三角形，其中BED90，则 AE 的长为 28如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A 为圆心，1 为半径作圆，E 是A 上的任意一点，将线段 DE绕点D顺时针方向旋转90并缩短到原来的一半， 得到线段DF， 连接AF， 则AF的最小值是 参考答案参考答案 1解：如图，取 AB 的中点 T，连接 PT，过点 T 作 THAC 于 H ACB90，A30，
12、 AB2BC，ABC60， ATTB， BCBT， BPBQ，CBTPBQ， TBPCBQ， TBPCBQ（SAS） ， CQPT， 根据垂线段最短可知，当点 P 与 H 重合时，PT 的值最小，最小值THAT5， CQ 的最小值为 5 故答案为：5 2解：yax26ax+5a，令 y0，则 x1 或 5， 故点 A、B 的坐标分别为： （1，0） 、 （5，0） ， 如图，过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 D 作 x 轴的垂线于点 H，过点 E 作 EFx 轴交 y 轴于点 F 交 DH 于点 G， ACD 为等边三角形，则点 E 为 AC 的中点，则点 E（，a） ，AECEED，
13、CEF+FCE90，CEF+DEG90， DEGECF， CFEEGD， ，其中 EF，CFa， 解得：GEa，DG，故点 D（+a，a+） ， BD2（5a）2+（a+）225（a）2+9， 当 a时，BD 最小，BD 最小值是 3 故答案为：3 3解：如图所示，将 BC 绕着点 C 顺时针旋转 90得 FC，作直线 FE 交 OM 于 H，则BCF90，BC FC， 将 CP 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得 CE， PCE90，PCEC， BCPFCE， 在BCP 和FCE 中， ， BCPFCE（SAS） ， CBPCFE， 又BCF90， BHF90， 点 E 在直线 FH 上，即
14、点 E 的轨迹为射线， BHEF， 当点 E 与点 H 重合时，BEBH 最短， 当 CPOM 时，RtBCP 中，CBP30， CPBC，BPCP， 又PCECPHPHE90，CPCE， 正方形 CPHE 中，PHCP， BHBP+PH， 即 BE 的最小值为， 故答案为： 4解：如图，过点 B 作 BTBC，使得 BTAB，连接 AT，CT A（0，2） ， OA2， AOB90，ABO30， AB2AO4，OBOA2， TBBC， TBC90， TBA60， BTBA， ABT 是等边三角形， ATAB，BAT60， ACAD，CAD60， BATCAD， BADTAC， 在BAD 和T
15、AC 中， ， BADTAC（SAS） ， BDCT， 在 RtBCT 中，BC5， OCBCOB52， C（52，0） 5解：AO3，BO4， AB5， OA+AB1+B1C23+5+412， B2的横坐标为：12，且 B2C24， B4的横坐标为：21224， 2021210101， 点 B2021的横坐标为：101012+3+512128 202136732， 点 B2021的纵坐标为 0， B2021（12128，0） ， 故答案为： （12128，0） 6解：对余四边形 ABCD 中，ABC60， ADC30， ABBC， 将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60，得到BAF，连接 FD
16、，如图所示， BCDBAF，FBD60 BFBD，AFCD，BDCBFA， BFD 是等边三角形， BFBDDF， ADC30， ADB+BDC30， BFA+ADB30， FBD+BFA+ADB+AFD+ADF180， 60+30+AFD+ADF180， AFD+ADF90， FAD90， AD2+AF2DF2， AD2+CD2BD2， BD2（2）2+5245， BD0， BD3， 故答案为：3 7解：如图，连接 DO，延长 OA 到 T，使得 ATOA，连接 DT，FT，CT 四边形 ABCD 是矩形， OAD90， AD，OAOB1， tanAOD， AOD60，ADO30， OD2A
17、O， AOAT， OT2AO， OTOD， ODT 是等边三角形， DEF 是等边三角形， ODTEDF60，DODT，DEDF， DEOFDT， DEOFDT（SAS） ， FTOEOA1， B90，BT2+13，BC， CT2， CFCTTF， CF21， CF 的最小值为 21 故答案为：21 8解：如图所示，过点 A 作 ADPP于 D， 由旋转可得，APAP，PAP120， PP2PD，APD30， 当 PD 最短时，PP最短，且 PDAPcos30， P 为 BC 边上一动点， 当 APBC 时，AP 最短， ABAC2，BAC120， C30， 当 APBC 时，APACsin3
18、021， 此时，PP2PD2APcos3021， 故答案为： 9解：分两种情况： 当点 C落在对角线 BD 上时，连接 CC，如图 1 所示： 将矩形沿 EF 折叠，点 C 的对应点为点 C，且点 C恰好落在矩形的对角线上， CCEF， 点 E 为线段 CD 的中点， CEEDEC， CCD90，即 CCBD， EFBD， 点 F 是 BC 的中点， 在矩形 ABCD 中，AD4， BCAD4， CF2， 点 F 运动的距离为 2； 当点 C落在对角线 AC 上时， 作 FHCD 于 H， 则 CCEF， 四边形 CBFH 为矩形， 如图 2 所示： 在矩形 ABCD 中，AB4，AD4，BB
19、CD90，ABCD， BCAD4，tanBAC， BAC30， EFAC， AFE60， FEH60， 四边形 CBFH 为矩形， HFBC4， EH， ECCD2， BFCHCEEH2， 点 F 运动的距离为 4+； 综上所述：点 F 运动的距离为 2 或 4+； 故答案为：2 或 4+ 10解：如图 1 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BEAD 于 E，QFAD 交 AD 的延长线于 F设 PEx 在 RtAEB 中，A60，AB8， BE12，AE4， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， BPQ90， EBP+BPEBPE+FPQ90， EBPFPQ， PBP
20、Q，PEBPFQ90， PBEQPF（AAS） ， PEQFx，EBPF12， DFAE+PE+PFAD48+x， CDAB， FDQA， tanFDQtanA， ， x62， PE62， AP62+46+2； 如图 2，当点 Q 落在 AD 上时， 将线段 PB 绕着点 P 逆时针旋转 90得到线段 PQ， BPQ90， APBBPQ90， 在 RtAPB 中，tanA，AB8， APAB4； 综上所述，AP 的值是 6+2或 4， 故答案为：6+2或 4 11解：如图，将线段 BE 绕点 E 顺时针旋转 45得到线段 ET，连接 DE 交 CG 于 J 四边形 ABCD 是矩形， ABCD
21、6，BBCD90， BETFEG45， BEFTEG， EBET，EFEG， EBFETG（SAS） ， BETG90， 点 G 在射线 TG 上运动， 当 CGTG 时，CG 的值最小， BC，BE，CD6， CECD6， CEDBET45， TEJ90ETGJGT90， 四边形 ETGJ 是矩形， DEGT，GJTEBE， CJDE， JEJD， CJDE3， CGCJ+GJ+3， CG 的最小值为+3， 故答案为：+3 12解：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BACDAE90， ABAC，ADAE，DABCAE， ADBAEC（SAS） ， 当点 E 在 AB 上时，BEABAE1，
22、 EAC90， CE， ADBAEC， DBAECA， PEBAEC， PEBAEC， ， ， PB； 当点 E 在 BA 延长线上时，BE3， EAC90， CE， ADBAEC， DBAECA， BEPCEA， PEBAEC， ， ， PB， 综上所述，PB 的长为或 故答案为：或 13解：作 NHBC 于 H EFBC，PEFNEF， FECFEB90， PEC+PEF90，NEB+FEN90， PECNEB， PEBN， PECNBE， NEBNBE， NENB， HNBE， EHBH， cosPECcosNEB， ， EFAC， ， ， EFEN（163t） ， ， 整理得：63t2
23、960t+16000， 解得 t或（舍弃） ， 故答案为 14解：如图，以 AB 为边向下作等边ABK，连接 EK，在 EK 上取一点 T，使得 ATTK BEBF，BKBA，EBFABK60， ABFKBE， ABFKBE（SAS） ， AFEK， 根据垂线段最短可知，当 KEAD 时，KE 的值最小， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ABC45， BAD180ABC135， BAK60， EAK75， AEK90， AKE15， TATK， TAKAKT15， ATETAK+AKT30， 设 AEa，则 ATTK2a，ETa， 在 RtAEK 中，AK2AE2+EK2， a2
24、+（2a+a）24， a， EK2a+a， AF 的最小值为 故答案为 15解：如图，将BCD 绕点 C 顺时针旋转 60得到ACE，连接 DE，过点 A 作 AHDE 于 H CECE，DCE60， DCE 是等边三角形， EDCDEC60， BDCAEC120， AED60， BDAE， ， AHDE， ADAH， ， AHE90，AEB60， sin60， ， 的最小值为 16解：连接 AM，过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q， 即 AQDP， ADBC， 四边形 ADPQ 是平行四边形， ADQPABCD， CB60， BAQCDP30， CPBQAB1
25、， 即 BC1+1+24， 点 M 是 BC 的中点， BM2AD， 四边形 ABMD 是平行四边形， C60， CDP30， CD2， CP1， 由勾股定理得：DP， 连接 AM，ABAD， 平行四边形 ABMD 是菱形， MAB，MAD 和MCD是等边三角形， BMABME+AME60，EMFAMF+AME60， BMEAMF， 在BME 与AMF 中， BMEAMF（ASA） ， BEAF，MEMF，AE+AFAE+BEAB， EMFDMC60，故EMF 是等边三角形，EFMF， MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离等于 DP 的长，即是，即 EF 的最小值是， AEF 的周长AE+
26、AF+EFAB+EF， AEF 的周长的最小值为 2+， 故答案为：2+ 17解：如图，作 EHDA 交 DA 的延长线于 H C60， B+CAB120， +DAB+CAEB， DAB+BAC+CAEB+BAC120， EAH60， ABAD3，ACAE2， 在 RtAEH 中，则有 AHAEcos601，EHAEsin60， 在 RtDHE 中，DE， 故答案为 18解：如图， 在 RtAHC 中， tanC3， 3， 设 CHx， BHAH3x， BC4， 3x+x4， x1， AH3，CH1， 由旋转知，EHFBHDAHC90，EHAH3，CHDHFH， EHF+AHFAHC+AHF，
27、 EHAFHC，1， EHAFHC， EAHC， tanEAHtanC3， 过点 H 作 HPAE， HP3AP，AE2AP， 在 RtAHP 中，AP2+HP2AH2， AP2+（3AP）29， AP， AE， 故答案为： 19解：如图，以 CD 为边向右作等边CDG，连接 FG，作 BKFG 于 K，CHFG 交 FG 的延长线于 H DEF，DCG 都是等边三角形， CDGEDF60，DCDG，DEDF， DCEDGF（SAS） ， DCEDGF90， 点 F 的在直线 FG 上运动， 在 RtGCH 中，CGCDBD2，CGH30， CHCG1， DGBKCH，CDDB， GHGK，
28、DG， 2， BK3， 根据垂线段最短可知，当点 F 与 K 重合时，BF 的值最小，最小值为 3 解法二：在 BD 的右边构造等边BDM，证明 EMBF，当 EMAC 时，EM 的最小值，求出 EM 的最 小值即可 故答案为 3 20解：如图所示：连接 BD，BB， 由网格利用勾股定理得：BC，CD，BD2， CD2+BD2BC2， CDB 是直角三角形， 则 BDBC， cosBCB， 故答案为 21解：B45，ABAC， ABC 是等腰直角三角形， 点 D 为 BC 中点， ADCDBD，ADBC，CAD45， CADB， MDN 是直角， ADF+ADE90， BDE+ADEADB90
29、， ADFBDE， 在BDE 和ADF 中， ， BDEADF（ASA） ， 故正确； DEDF、BEAF， DEF 是等腰直角三角形， 故正确； AEABBE，CFACAF， AECF， 故正确； BE+CFAF+AE， BE+CFEF， 故错误； 综上所述，正确的结论有； 故答案为： 22解：如图，在 x 轴的正半轴上取一点 H，使得 OHOB3，在 OB 上取一点 D，使得 ODOA OBOH，ODOA， BDAH， HAC+OAB90，OAB+ABO90， HACDBA， BAAC， BDAAHC（SAS） ， AHCADB， ODOA，AOD90， ADO45， AHCADB135，
30、 H（3，0） ， 直线 CH 的解析式为 yx3， 点 C 在直线 yx3 上运动，作 OPCH 于 P，易知 OP， OC 的最小值OP， 故答案为 23解：如图，点 E，F 在以 D 为圆心，DC 为半径的圆上，当 A，D，E 在同一直线上时 AE 取最大值， 过点 A 作 AHBC 交 BC 于 H， BAC120，ABAC2， BACB30，BHCH， 在 RtABH 中， AHAB，BHAH3， BC2BH6， BD：DC1：2， BD2，CD4， DHBHBD1， 在 RtADH 中，AH，DH1， tanDAH， DAH30，ADH60， DEF 是等边三角形， E60，DEE
31、FDC， ADCE60， DCEF， DCEF， 四边形 DEFC 为平行四边形， 又DEDC， 平行四边形 DEFC 为菱形， FCDC4，DCFE60， ACFACB+DCF90， 在 RtACF 中， AF2， 故答案为：2 24解：在 RtABC 中，ABAC， BACB45， 由旋转，可知：CAFBAE， BAD90，DAE45， CAD+BAE45， CAF+BAEDAF45，故正确； 由旋转，可知：ABEACF，不能推出ABEACD，故错误； EADDAF45， AD 平分EAF，故正确； 由旋转可知：AEAF，ACFB45， ACB45， DCF90， 由勾股定理得：CF2+C
32、D2DF2， 即 BE2+DC2DF2， 在AED 和AFD 中， ， AEDAFD（SAS） ， DEDF， BE2+DC2DE2， 故答案为： 25解：方法一： 如图所示：过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，过点 P 作 PEDC，垂足为 E，延长 EP 交 x 轴于点 F AB4，M 为 AB 的中点， A（2，0） ，B（2，0） 设点 P 的坐标为（x，y） ，则 x2+y21 EPC+BPF90，EPC+ECP90， ECPFPB 由旋转的性质可知：PCPB 在ECP 和FPB 中， ， ECPFPB ECPFy，FBEP2x C（x+y，y+2x） AB4，M 为 AB 的中点
33、， AC x2+y21， AC 1y1， 当 y1 时，AC 有最大值，AC 的最大值为3 故答案为：3 方法二：以点 M 为圆心，PM 的长度（1）为单位作圆 M 角 AB 于点 G、H， 当点 P 在点 H 时，HCAB，且 PC1， 当点 P 在点 G 时，HCAB，且 GCGB3， 则点 C 在过点 C、C、C的圆上，设圆心为 N， 连接 AN 交圆 N 与点 C，则此时线段 AC长度的最大， 则 NCNCGCHC312， 则圆 N 的半径为 2， 则 ACAN+NC+2+23， 故线段 AC 长度的最大值为 3 26解：4590， 点 P 在点 B 的右侧如图，过点 Q 作 QHOA
34、于 H，连接 OQ，则 QHOCOC SPOQPQOC，SPOQOPQH， PQOP 设 BPx， BPBQ， BQ2x 则 OPPQBQBPx，PC8x 在 RtPCO 中，根据勾股定理知，PC2+OC2OP2，即（8x）2+62x2， 解得 x PQBP 故答案是： 27解：在ABC 中，ABAC，A30， ABCC75， DBE 是等腰直角三角形， DBE45， CBE30， BEC75C， BCBE， 过 D 作 DGAC 于 G，过 B 作 BHAC 于 H， BED90， BEH+DEGBEH+EBH90， DEGEBH， BEDE，BHEEGD90， BHEEGD（AAS） ， EGBH，EHDG， RtADG 中，A30， AD2DG， BCBE，BHCE， CE2EH2DGAD， AGDG， RtABH 中，A30， AB2BH， ABAC2EG， ABAC，ADAE， AEBD， ABAC2（AG+CE） ， AD+BD2AG+2CE， AEBD2AG+CE3+2 故答案为：2 28解：如图，取 CD 的中点 T，连接 AT，TF，AE 四边形 ABCD 是正方形， ADCD2，ADC90， DTCT1，DE2DF， 2， EDFADC90， EDAFDT， EDAFDT， 2， FT， AT， AFATTF， AF， AF 的最小值为， 故答案为：