1、一次函数压轴题之矩形一次函数压轴题之矩形 1如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 在坐标轴上，ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，点 D 在 x 轴上，直线 BD 交 y 轴于点 F，交 OE 于点 H，线段 BC、OC 的长是方程 x 26x+80 的两个根，且 OC BC （1）求直线 BD 的解析式； （2）求OFH 的面积； （3）点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接 写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，在平面真角坐标系中，点 A 的坐标是（，0） ，点 B 的坐标是（0，1） 点 B
2、 和点 C 关于原点 对称点 P 是直线 AB 位于 y 轴右侧部分图象上一点，连接 CP，已知 SBPCSABC， （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 2，AOC 沿着直线 AC 平移得AOC，平移后的点 A与点 C 重合点 F 为直线 AC 上的一动 点， 当 PF+FC的值最小时，请求出 PF+FC的最小值及此时点 F 的坐标； （3）如图 3，将PBC 沿直线 PA 翻折得PBG，点 N 为平面内任意一动点，在直线 PA 上是否存在点 M，使 得以点 M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 3如图，在平面直角坐标系中，已知 R
3、tAOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， 且 OA、 OB 的长满足|OA8|+ （OB6） 20， ABO 的平分线交 x 轴于点 C 过点 C 作 AB 的垂线， 垂足为点 D， 交 y 轴于点 E （1）求线段 AB 的长； （2）求直线 CE 的解析式； （3）若 M 是射线 BC 上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 P，使以 A、B、M、P 为顶点的四边形是矩形？ 若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 1 【解答】解： （1）解方程 x 26x+80 可得 x2 或 x4， BC、OC 的长是方程 x 26x+80 的两个根，
4、且 OCBC， BC2，OC4， B（2，4） ， ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的， ODOC4，DEBC2， D（4，0） ， 设直线 BD 解析式为 ykx+b， 把 B、D 坐标代入可得，解得， 直线 BD 的解析式为 yx+； （2）由（1）可知 E（4，2） ， 设直线 OE 解析式为 ymx， 把 E 点坐标代入可求得 m， 直线 OE 解析式为 yx， 令x+x，解得 x， H 点到 y 轴的距离为， 又由（1）可得 F（0，） ， OF， SOFH； （3）以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形， DFM 为直角三角形， 当MFD90时，则 M 只能在
5、x 轴上，连接 FN 交 MD 于点 G，如图 1， 由（2）可知 OF，OD4， 则有MOFFOD， ，即，解得 OM， M（，0） ，且 D（4，0） ， G（，0） ， 设 N 点坐标为（x，y） ，则，0， 解得 x，y，此时 N 点坐标为（，） ； 当MDF90时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF 于点 G，如图 2， 则有FODDOM， ，即，解得 OM6， M（0，6） ，且 F（0，） ， MGMF，则 OGOMMG6， G（0，） ， 设 N 点坐标为（x，y） ，则0， 解得 x4，y，此时 N（4，） ； 当FMD90时，则可知 M 点为 O 点，如图 3，
6、 四边形 MFND 为矩形， NFOD4，NDOF， 可求得 N（4，） ； 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为（，）或（4，）或（4，） 2 【解答】解： （1）点 B 和点 C 关于原点对称，则点 C（0，1） ， 将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式：ymx+n 得：，解得：， 故直线 AC 的表达式为：yx1； （2）过点 C作直线 lx 轴，过点 P 作 PFl，垂足为点 F，交 AC 于点 F， tanABO，故ABO60，BAO30， OAB30FCF，FFFC， 则 PF+FCPF+FFPF，即此时，PF+FC最小，最小值为 PF， SBPCSABC，则|xP|xA|，
7、 故点 P（，） ， ACCC2，则点 C（，2） ， 则点 F（，2） ， 点 F（，） ， PF+FC最小值 PF； （3）存在，理由： 当 GMPM 时， 如图ABC60ABG， GBH60，GBBC2， 则 GHGBsinGBH2sin60， 故点 G（，2） ； M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形， 点 M 位置如下图所示，设点 M（m，m+1） ， 将点 A、B 的坐标代入一次函数：ysx+t 得：，解得：， 故直线 AB 的表达式为：yx+1， GMAB，则设直线 GM 的表达式为：yx+b， 将点 G 的坐标代入上式得：2（）+b，解得：b1， 故：直线 GM 的表达式为：y
8、x1， 联立并解得：x， 故点 M（，） ； 当 GMGP 时， 同理可得：点 M（，） ； 综上，点 M（，）或（，） 3 【解答】解： （1）|OA8|+（OB6） 20， OA8，OB6， 在直角AOB 中，AB10； （2）BC 平分ABO，CDAB，AOBO， OCCD， 设 OCx，则 AC8x，CDx ACD 和ABO 中，CADBAO，ADCAOB90， ACD 相似于ABO， ，即， 解得：x3 即 OC3，则 C 的坐标是（3，0） 设 AB 的解析式是 ykx+b，根据题意得 解得： 则直线 AB 的解析式是 yx+6， 设 CD 的解析式是 yx+m，则 4+m0，则
9、m4 则直线 CE 的解析式是 yx4； （3）当 AB 为矩形的边时，如图所示矩形 AM1P1B，易知 BC 的直线方程为 y2x+6， 设 M1（m，2m+6） ，P1（x，y） ，因为 A（8，0） ，B（0，6） ，则 AM1 2（m+8）2+（2m+6）2，5m2+40m+100， BM1 2m2+（2m+66）25m2， AB10， 根据 AB 2+AM 1 2BM 1 2得 100+5m2+40m+1005m2，m5， M1（5，4） ， 根据平移规律可以解得 P1（3，2） 当 AB 为矩形的对角线时，此时有 AB 2AM 2 2+BM 2 2，即 1005m2+40m+100+5m2，m4 或 m0（舍去） ， M2（4，2） ， 根据平移规律可以解得 P2（4，8） 综上可得，满足条件的 P 点的坐标为 P1（3，2）或 P2（4，8）