1、一次函数压轴题之矩形一次函数压轴题之矩形 1如图,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 在坐标轴上,ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的,点 D 在 x 轴上,直线 BD 交 y 轴于点 F,交 OE 于点 H,线段 BC、OC 的长是方程 x 26x+80 的两个根,且 OC BC (1)求直线 BD 的解析式; (2)求OFH 的面积; (3)点 M 在坐标轴上,平面内是否存在点 N,使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接 写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 2如图,在平面真角坐标系中,点 A 的坐标是(,0) ,点 B 的坐标是(0,1) 点 B
2、 和点 C 关于原点 对称点 P 是直线 AB 位于 y 轴右侧部分图象上一点,连接 CP,已知 SBPCSABC, (1)求直线 AC 的解析式; (2)如图 2,AOC 沿着直线 AC 平移得AOC,平移后的点 A与点 C 重合点 F 为直线 AC 上的一动 点, 当 PF+FC的值最小时,请求出 PF+FC的最小值及此时点 F 的坐标; (3)如图 3,将PBC 沿直线 PA 翻折得PBG,点 N 为平面内任意一动点,在直线 PA 上是否存在点 M,使 得以点 M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 3如图,在平面直角坐标系中,已知 R
3、tAOB 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上, 且 OA、 OB 的长满足|OA8|+ (OB6) 20, ABO 的平分线交 x 轴于点 C 过点 C 作 AB 的垂线, 垂足为点 D, 交 y 轴于点 E (1)求线段 AB 的长; (2)求直线 CE 的解析式; (3)若 M 是射线 BC 上的一个动点,在坐标平面内是否存在点 P,使以 A、B、M、P 为顶点的四边形是矩形? 若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 1 【解答】解: (1)解方程 x 26x+80 可得 x2 或 x4, BC、OC 的长是方程 x 26x+80 的两个根,
4、且 OCBC, BC2,OC4, B(2,4) , ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的, ODOC4,DEBC2, D(4,0) , 设直线 BD 解析式为 ykx+b, 把 B、D 坐标代入可得,解得, 直线 BD 的解析式为 yx+; (2)由(1)可知 E(4,2) , 设直线 OE 解析式为 ymx, 把 E 点坐标代入可求得 m, 直线 OE 解析式为 yx, 令x+x,解得 x, H 点到 y 轴的距离为, 又由(1)可得 F(0,) , OF, SOFH; (3)以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形, DFM 为直角三角形, 当MFD90时,则 M 只能在
5、x 轴上,连接 FN 交 MD 于点 G,如图 1, 由(2)可知 OF,OD4, 则有MOFFOD, ,即,解得 OM, M(,0) ,且 D(4,0) , G(,0) , 设 N 点坐标为(x,y) ,则,0, 解得 x,y,此时 N 点坐标为(,) ; 当MDF90时,则 M 只能在 y 轴上,连接 DN 交 MF 于点 G,如图 2, 则有FODDOM, ,即,解得 OM6, M(0,6) ,且 F(0,) , MGMF,则 OGOMMG6, G(0,) , 设 N 点坐标为(x,y) ,则0, 解得 x4,y,此时 N(4,) ; 当FMD90时,则可知 M 点为 O 点,如图 3,
6、 四边形 MFND 为矩形, NFOD4,NDOF, 可求得 N(4,) ; 综上可知存在满足条件的 N 点,其坐标为(,)或(4,)或(4,) 2 【解答】解: (1)点 B 和点 C 关于原点对称,则点 C(0,1) , 将点 A、C 的坐标代入一次函数表达式:ymx+n 得:,解得:, 故直线 AC 的表达式为:yx1; (2)过点 C作直线 lx 轴,过点 P 作 PFl,垂足为点 F,交 AC 于点 F, tanABO,故ABO60,BAO30, OAB30FCF,FFFC, 则 PF+FCPF+FFPF,即此时,PF+FC最小,最小值为 PF, SBPCSABC,则|xP|xA|,
7、 故点 P(,) , ACCC2,则点 C(,2) , 则点 F(,2) , 点 F(,) , PF+FC最小值 PF; (3)存在,理由: 当 GMPM 时, 如图ABC60ABG, GBH60,GBBC2, 则 GHGBsinGBH2sin60, 故点 G(,2) ; M、N、P、G 为顶点的四边形是矩形, 点 M 位置如下图所示,设点 M(m,m+1) , 将点 A、B 的坐标代入一次函数:ysx+t 得:,解得:, 故直线 AB 的表达式为:yx+1, GMAB,则设直线 GM 的表达式为:yx+b, 将点 G 的坐标代入上式得:2()+b,解得:b1, 故:直线 GM 的表达式为:y
8、x1, 联立并解得:x, 故点 M(,) ; 当 GMGP 时, 同理可得:点 M(,) ; 综上,点 M(,)或(,) 3 【解答】解: (1)|OA8|+(OB6) 20, OA8,OB6, 在直角AOB 中,AB10; (2)BC 平分ABO,CDAB,AOBO, OCCD, 设 OCx,则 AC8x,CDx ACD 和ABO 中,CADBAO,ADCAOB90, ACD 相似于ABO, ,即, 解得:x3 即 OC3,则 C 的坐标是(3,0) 设 AB 的解析式是 ykx+b,根据题意得 解得: 则直线 AB 的解析式是 yx+6, 设 CD 的解析式是 yx+m,则 4+m0,则
9、m4 则直线 CE 的解析式是 yx4; (3)当 AB 为矩形的边时,如图所示矩形 AM1P1B,易知 BC 的直线方程为 y2x+6, 设 M1(m,2m+6) ,P1(x,y) ,因为 A(8,0) ,B(0,6) ,则 AM1 2(m+8)2+(2m+6)2,5m2+40m+100, BM1 2m2+(2m+66)25m2, AB10, 根据 AB 2+AM 1 2BM 1 2得 100+5m2+40m+1005m2,m5, M1(5,4) , 根据平移规律可以解得 P1(3,2) 当 AB 为矩形的对角线时,此时有 AB 2AM 2 2+BM 2 2,即 1005m2+40m+100+5m2,m4 或 m0(舍去) , M2(4,2) , 根据平移规律可以解得 P2(4,8) 综上可得,满足条件的 P 点的坐标为 P1(3,2)或 P2(4,8)