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2020年6月四川省自贡市自流井区中考模拟数学试卷(含答案详解)

1、2020 年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷(年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷(6 月份)月份) 一、选择题: (每个一、选择题: (每个 4 分,共分,共 48 分)分) 1|2020|的相反数是( ) A2020 B C2020 D 2 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟, 它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056 用科学记数法表示为 ( ) A5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.5610 1 3下列计算正确的是( ) A2x+3y5xy B (m+3)2m2+9 C (xy2)3xy6 Da10a5a5 4已知:如图,是由若干个大小相同的小正方体所

2、搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体 的个数是( ) A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 5在 RtABC 中C90,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,c3a,tanA 的值为( ) A B C D3 6已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等边AOB 的边长为 2,点 C 在边 OA 上,点 D 在边 AB 上, 且 OC2BD反比例函数 y(k0)的图象恰好经过点 C 和点 D,则 k 的值为( ) A B C D 7在 RtABC 中,C90,BC4cm,AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后,得到AB1C1, 如图所示,则点 B 所走过的路径长为( )

3、 A5cm Bcm Ccm D5cm 8已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两个相等的实数根,则 a 的值是( ) A4 B4 C1 D1 9如图,已知O 圆心是数轴原点,半径为 1,AOB45,点 P 在数轴上运动,若过点 P 且与 OA 平 行的直线与O 有公共点,设 OPx,则 x 的取值范围是( ) A1x1 Bx C0 x Dx 10如图,均匀地向此容器注水,直到把容器注满在注水的过程中,下列图象能大致反映水面高度 h 随 时间 t 变化规律的是( ) A B C D 11如图,矩形 ABCD 中,AB2,点 E 在 AD 边上,以 E 为圆心,EA 长为半径的E 与 B

4、C 相切,交 CD 于点 F,连接 EF若扇形 EAF 的面积为,则 BC 的长是( ) A2 B C3 D4 12我们发现:若 AD 是ABC 的中线,则有 AB2+AC22(AD2+BD2) ,请利用结论解决问题:如图,在 矩形 ABCD 中,已知 AB20,AD12,E 是 DC 中点,点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动,则 CP2+EP2 的最小值是( ) A B C34 D68 二、填空题: (每个二、填空题: (每个 4 分,总共分,总共 24 分)分) 13分解因式:2a38a2+8a 14若一组数据 4,1,7,x,5 的平均数为 4,则这组数据的中位数为 15 九章算术是

5、中国传统数学最重要的著作,方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术中 记载:今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两问:牛、羊各直金几何?译文:假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少?若设每头牛值 金 x 两,每只羊值金 y 两,可列方程组为 16如图,在小山的东侧 A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的 方向飞行, 25 分钟后到达 C 处, 此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30, 则小山东西两侧 A、 B 两点间的距离为 米 17如图,AOB 中,AOB90,AO3

6、,BO6,AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处,此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点,则线段 BE 的长度为 18如图,在菱形纸片 ABCD 中,AB2,A60,将菱形纸片翻折,使点 A 落在 CD 的中点 E 处,折 痕为 FG,点 F,G 分别在边 AB,AD 上,则 cosEFG 的值为 三、解答题: (答案在最后)三、解答题: (答案在最后) 19 (8 分)计算:|+(1)20202cos45+ 20 (8 分)先化简,再求值: (1x+),其中 xtan45+() 1 21 (8 分)关于 x 的方程,kx2+(k+1)x+k0 有两个不等实根 求 k 的取值

7、范围; 是否存在实数 k,使方程的两实根的倒数和为 0?若存在,请求出 k 的值;若不存在,请说明理由 22 (8 分)目前“校园手机”现象越来越受到社会关注,针对这种现象,某校九年级数学兴趣小组的同学 随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度(态度分为:A无所谓;B基本赞成;C赞成; D反对) 并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2(不完整) 请根据图中提供的信息, 解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了多少名名中学生家长; (2)求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数,并将图 1 补充完整; (3)在此次调查活动中,初三(1)班有 A1、A2两位家长对中学

8、生带手机持反对态度,初三(2)班有 B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度,现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家校 活动,用列表法或画树状图的方法求出选出的 2 人来自不同班级的概率 23已知点 A(a,m)在双曲线 y上且 m0,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 B (1)如图 1,当 a2 时,P(t,0)是 x 轴上的动点,将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90至点 C 若 t1,直接写出点 C 的坐标; 若双曲线 y经过点 C,求 t 的值 (2)如图 2,将图 1 中的双曲线 y(x0)沿 y 轴折叠得到双曲线 y(x0) ,将线段 OA 绕 点 O 旋转,点

9、 A 刚好落在双曲线 y(x0)上的点 D(d,n)处,求 m 和 n 的数量关系 24如图,在ABC 中,ABAC,AE 是 BC 边上的高线,BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点 的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 为O 的直径 (1)求证:AM 是O 的切线; (2)当 BE3,cosC时,求O 的半径 25如图,已知正方形 ABCD,AC 交 BD 于点 O,在线段 BC 上任取一点 P(不含端点) ,连结 AP,延长 AP 交 DC 延长线于点 N,交 BD 于点 M (1)当 ACCN 时; 求BAP 的度数; AMB 和BMP 的面积分别为 S

10、1和 S2,求的值; (2)探索线段 AM,MP,MN,用等式表示三者的数量关系并证明 26综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yax2+bx8 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,直线 l 经过坐标原点 O,与抛物线的一个交点为 D,与抛物线的对称轴交于点 E,连接 CE,已知点 A,D 的坐 标分别为(2,0) , (6,8) (1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点 B 和点 E 的坐标; (2)试探究抛物线上是否存在点 F,使FOEFCE?若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(

11、0,m) ,直线 PB 与直线 l 交于点 Q,试探究: 当 m 为何值时,OPQ 是等腰三角形 2020 年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷(年四川省自贡市自流井区中考数学模拟试卷(6 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题: (每个一、选择题: (每个 4 分,共分,共 48 分)分) 1|2020|的相反数是( ) A2020 B C2020 D 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质即可求解 【解答】解:|2020|的相反数是|2020|2020 故选:C 2 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟, 它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056 用科学记数

12、法表示为 ( ) A5.610 1 B5.610 2 C5.610 3 D0.5610 1 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:将 0.056 用科学记数法表示为 5.610 2, 故选:B 3下列计算正确的是( ) A2x+3y5xy B (m+3)2m2+9 C (xy2)3xy6 Da10a5a5 【分析】各项计算得到结果,即可作出判断 【解答】解:A、原式不能合并,不符合题意; B、原式m2+6m+9,不符合题意; C、

13、原式x3y6,不符合题意; D、原式a5,符合题意, 故选:D 4已知:如图,是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体 的个数是( ) A6 个 B7 个 C8 个 D9 个 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形 【解答】解:综合三视图可知,这个几何体的底层有 4 个小正方体,第二层有 2 个小正方体,第,三层 有 1 个小正方体,因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 4+2+17 个 故选:B 5在 RtABC 中C90,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,c3a,tanA 的值为( ) A B C D3 【分析

14、】根据锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解:由题意可知:sinA, tanA, 故选:B 6已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等边AOB 的边长为 2,点 C 在边 OA 上,点 D 在边 AB 上, 且 OC2BD反比例函数 y(k0)的图象恰好经过点 C 和点 D,则 k 的值为( ) A B C D 【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E,过点 D 作 DFx 轴于点 F,设 BDa,则 OC2a,根据等边三角 形的性质结合解含 30 度角的直角三角形,可找出点 C、D 的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特 征即可求出 a、k 的值,此题得解 【解答】解:过点 C 作

15、 CEx 轴于点 E,过点 D 作 DFx 轴于点 F,如图所示 设 BDa,则 OC2a AOB 为边长为 2 的等边三角形, COEDBF60,OB2 在 RtCOE 中,COE60,CEO90,OC2a, OCE30, OEa,CEa, 点 C(a,a) 同理,可求出点 D 的坐标为(2a,a) 反比例函数 y(k0)的图象恰好经过点 C 和点 D, kaa(2a)a, a,k, 故选:C 7在 RtABC 中,C90,BC4cm,AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后,得到AB1C1, 如图所示,则点 B 所走过的路径长为( ) A5cm Bcm Ccm D5cm 【分析】根

16、据勾股定理可将 AB 的长求出,点 B 所经过的路程是以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径,圆 心角为 90的扇形 【解答】解:在 RtABC 中,AB5, lABcm, 故点 B 所经过的路程为cm 故选:C 8已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两个相等的实数根,则 a 的值是( ) A4 B4 C1 D1 【分析】根据根的判别式的意义得到224 (a)0,然后解方程即可 【解答】解:根据题意得224 (a)0, 解得 a1 故选:D 9如图,已知O 圆心是数轴原点,半径为 1,AOB45,点 P 在数轴上运动,若过点 P 且与 OA 平 行的直线与O 有公共点,设 OPx,

17、则 x 的取值范围是( ) A1x1 Bx C0 x Dx 【分析】首先作出圆的切线,求出直线与圆相切时的 P 的取值,再结合图象可得出 P 的取值范围,即可 得出答案 【解答】解:半径为 1 的圆,AOB45,过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点, 当 PC 与圆相切时,切点为 C, OCPC, CO1,POC45,OP, 过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点,即 0 x, 同理点 P 在点 O 左侧时,0 x, 0 x 故选:C 10如图,均匀地向此容器注水,直到把容器注满在注水的过程中,下列图象能大致反映水面高度 h 随 时间 t 变化规律的是( ) A B C D

18、【分析】由于三个容器的高度相同,粗细不同,那么水面高度 h 随时间 t 变化而分三个阶段 【解答】解:最下面的容器较粗,第二个容器最粗,那么第二个阶段的函数图象水面高度 h 随时间 t 的 增大而增长缓慢,用时较长,最上面容器最小,那么用时最短, 故选:A 11如图,矩形 ABCD 中,AB2,点 E 在 AD 边上,以 E 为圆心,EA 长为半径的E 与 BC 相切,交 CD 于点 F,连接 EF若扇形 EAF 的面积为,则 BC 的长是( ) A2 B C3 D4 【分析】设AEFn,由题意,解得 n120,推出AEF120,在 RtEFD 中, 求出 DE 即可解决问题 【解答】解:设A

19、EFn, 由题意,解得 n120, AEF120, FED60, 四边形 ABCD 是矩形, BCAD,D90, EFD30, DEEF1, BCAD2+13, 故选:C 12我们发现:若 AD 是ABC 的中线,则有 AB2+AC22(AD2+BD2) ,请利用结论解决问题:如图,在 矩形 ABCD 中,已知 AB20,AD12,E 是 DC 中点,点 P 在以 AB 为直径的半圆上运动,则 CP2+EP2 的最小值是( ) A B C34 D68 【分析】设点 O 为 AB 的中点,H 为 CE 的中点,连接 HO 交半圆于点 P,此时 PH 取最小值,根据矩形 的性质得到 CDAB,EO

20、AD,求得 OPCEAB10,过 H 作 HGAB 于 G,根据矩形的性质得 到 HG12,OG5,于是得到结论 【解答】解:设点 O 为 AB 的中点,H 为 CE 的中点, 连接 HO 交半圆于点 P,此时 PH 取最小值, AB20,四边形 ABCD 为矩形, CDAB,BCAD, OPCEAB10, CP2+EP22(PH2+CH2) 过 H 作 HGAB 于 G, HG12,OG5, OH13, PH3, CP2+EP2的最小值2(9+25)68, 故选:D 二、填空题: (每个二、填空题: (每个 4 分,总共分,总共 24 分)分) 13分解因式:2a38a2+8a 2a(a2)

21、2 【分析】先提取公因式 2a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解:2a38a2+8a, 2a(a24a+4) , 2a(a2)2 故答案为:2a(a2)2 14若一组数据 4,1,7,x,5 的平均数为 4,则这组数据的中位数为 4 【分析】先根据平均数为 4 求出 x 的值,然后根据中位数的概念求解 【解答】解:数据 4,1,7,x,5 的平均数为 4, 4, 解得:x3, 则将数据重新排列为 1、3、4、5、7, 所以这组数据的中位数为 4, 故答案为:4 15 九章算术是中国传统数学最重要的著作,方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术中 记载:今有牛五、羊二,直金十

22、两;牛二、羊五,直金八两问:牛、羊各直金几何?译文:假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少?若设每头牛值 金 x 两,每只羊值金 y 两,可列方程组为 【分析】根据“假设有 5 头牛、2 只羊,值金 10 两;2 头牛、5 只羊,值金 8 两” ,得到等量关系,即可 列出方程组 【解答】解:根据题意得:, 故答案为:, 16如图,在小山的东侧 A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的 方向飞行, 25 分钟后到达 C 处, 此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30, 则小山东西两侧

23、 A、 B 两点间的距离为 750 米 【分析】作 ADBC 于 D,根据速度和时间先求得 AC 的长,在 RtACD 中,求得ACD 的度数,再求 得 AD 的长度,然后根据B30求出 AB 的长 【解答】解:如图,过点 A 作 ADBC,垂足为 D, 在 RtACD 中,ACD753045, AC3025750(米) , ADACsin45375(米) 在 RtABD 中, B30, AB2AD750(米) 故答案为:750 17如图,AOB 中,AOB90,AO3,BO6,AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处,此 时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点,则线段 BE 的长

24、度为 【分析】利用勾股定理列式求出 AB,根据旋转的性质可得 AOAO,ABAB,再求出 OE,从而 得到 OEAO, 过点 O 作 OFAB于 F, 利用三角形的面积求出 OF, 利用勾股定理列式求出 EF, 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE2EF, 然后根据 BEABAE 代入数据计算即可 得解 【解答】解:AOB90,AO3,BO6, AB3, AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB处, AOAO3,ABAB3, 点 E 为 BO 的中点, OEBO63, OEAO, 过点 O 作 OFAB于 F, SAOB3OF36, 解得 OF, 在 RtEOF 中,EF, OEAO,OFA

25、B, AE2EF2(等腰三角形三线合一) , BEABAE3 故答案为: 18如图,在菱形纸片 ABCD 中,AB2,A60,将菱形纸片翻折,使点 A 落在 CD 的中点 E 处,折 痕为 FG,点 F,G 分别在边 AB,AD 上,则 cosEFG 的值为 【分析】作 EHAD 于 H,连接 BE、BD,连接 AE 交 FG 于 O,如图,利用菱形的性质得BDC 为等 边三角形, ADC120, 再在在 RtBCE 中计算出 BECE, 接着证明 BEAB, 设 AFx, 利用折叠的性质得到 EFAF,FG 垂直平分 AE,EFGAFG,所以在 RtBEF 中利用勾股定理得 (2x)2+()

26、2x2,解得 x,接下来计算出 AE,从而得到 OA 的长,然后在 RtAOF 中利用 勾股定理计算出 OF,再利用余弦的定义求解 【解答】解:作 EHAD 于 H,连接 BE、BD,连接 AE 交 FG 于 O,如图, 四边形 ABCD 为菱形,A60, BDC 为等边三角形,ADC120, E 点为 CD 的中点, CEDE1,BECD, 在 RtBCE 中,BECE, ABCD, BEAB, 设 AFx, 菱形纸片翻折,使点 A 落在 CD 的中点 E 处,折痕为 FG,点 F,G 分别在边 AB,AD 上, EFAF,FG 垂直平分 AE,EFGAFG, 在 RtBEF 中, (2x)

27、2+()2x2,解得 x, 在 RtDEH 中,DHDE,HEDH, 在 RtAEH 中,AE, AO, 在 RtAOF 中,OF, cosAFO 故答案为 三、解答题: (答案在最后)三、解答题: (答案在最后) 19 (8 分)计算:|+(1)20202cos45+ 【分析】 直接利用二次根式的性质和绝对值的定义、 特殊角的三角函数值分别化简, 进而计算得出答案 【解答】解:原式+12+4 +1+4 5 20 (8 分)先化简,再求值: (1x+),其中 xtan45+() 1 【分析】 先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式, 再根据三角函数值、 负整数指数幂得出 x 的值, 最后代入

28、计算可得 【解答】解:原式(+) , 当 xtan45+() 11+23 时, 原式 21 (8 分)关于 x 的方程,kx2+(k+1)x+k0 有两个不等实根 求 k 的取值范围; 是否存在实数 k,使方程的两实根的倒数和为 0?若存在,请求出 k 的值;若不存在,请说明理由 【分析】因为方程有两个不等实根,所以判别式大于 0,可以求出 k 的取值范围 根据根与系数的关系,用 k 的式子表示两根之和与两根之积,然后代入两根的倒数和为 0 的等式中, 求出 k 的值对不在取值范围内的值要舍去 【解答】解:(k+1)24kk, k2+2k+1k2, 2k+10, k, k0, 故 k且 k0

29、设方程的两根分别是 x1和 x2,则: x1+x2,x1x2, +0, k+10,即 k1, k, k1(舍去) 所以不存在 22 (8 分)目前“校园手机”现象越来越受到社会关注,针对这种现象,某校九年级数学兴趣小组的同学 随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度(态度分为:A无所谓;B基本赞成;C赞成; D反对) 并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2(不完整) 请根据图中提供的信息, 解答下列问题: (1)此次抽样调查中,共调查了多少名名中学生家长; (2)求出图 2 中扇形 C 所对的圆心角的度数,并将图 1 补充完整; (3)在此次调查活动中,初三(1)班有 A

30、1、A2两位家长对中学生带手机持反对态度,初三(2)班有 B1、B2两位学生家长对中学生带手机也持反对态度,现从这 4 位家长中选 2 位家长参加学校组织的家校 活动,用列表法或画树状图的方法求出选出的 2 人来自不同班级的概率 【分析】 (1)用 D 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数; (2)用 360乘以 C 类所占的百分比得到扇形 C 所对的圆心角的度数,再用 200 乘以 C 类所占的百分 比得到 C 类人数,然后补全图 1; (3) 画树状图展示所有 12 种等可能结果, 再找出 2 人来自不同班级的结果数, 然后根据概率公式求解 【解答】解: (1)12060%200

31、(人) , 所以调查的家长数为 200 人; (2)扇形 C 所对的圆心角的度数360(120%15%60%)18, C 类的家长数200(120%15%60%)10(人) , 补充图为: (3)设初三(1)班两名家长为 A1、A2,初三(2)班两名家长为 B1,B2, 画树状图为 共有 12 种等可能结果,其中 2 人来自不同班级共有 8 种, 所以 2 人来自不同班级的概率 23已知点 A(a,m)在双曲线 y上且 m0,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 B (1)如图 1,当 a2 时,P(t,0)是 x 轴上的动点,将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90至点 C 若 t1,直接写出点

32、C 的坐标; 若双曲线 y经过点 C,求 t 的值 (2)如图 2,将图 1 中的双曲线 y(x0)沿 y 轴折叠得到双曲线 y(x0) ,将线段 OA 绕 点 O 旋转,点 A 刚好落在双曲线 y(x0)上的点 D(d,n)处,求 m 和 n 的数量关系 【分析】 (1)如图 11 中,求出 PB、PC 的长即可解决问题; 图 12 中,由题意 C(t,t+2) ,利用待定系数法,把问题转化为方程解决即可; (2)分两种情形当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时,A(a,m) ,D(d,n) ,可得 m+n0 当点 A 绕点 O 旋转 90时,得到 D,D在 y上,作 DHy 轴,则ABOD

33、HO,推 出 OBOH,ABDH,由 A(a,m) ,推出 D(m,a) ,即 D(m,n) ,由 D在 y上, 可得 mn8; 【解答】解: (1)如图 11 中, 由题意:B(2,0) ,P(1,0) ,PBPC3, C(1,3) 图 12 中,由题意 C(t,t+2) , 点 C 在 y上, t(t+2)8, t4 或 2, (2)如图 2 中, 当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时,A(a,m) ,D(d,n) , m+n0 当点 A 绕点 O 旋转 90时,得到 D,D在 y上, 作 DHy 轴,则ABODHO, OBOH,ABDH, A(a,m) , D(m,a) ,即 D(m,

34、n) , D在 y上, mn8, 综上所述,满足条件的 m、n 的关系是 m+n0 或 mn8 24如图,在ABC 中,ABAC,AE 是 BC 边上的高线,BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点 的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 为O 的直径 (1)求证:AM 是O 的切线; (2)当 BE3,cosC时,求O 的半径 【分析】 (1)连结 OM, 易证 OMBC, 由于 AE 是 BC 边上的高线, 从而可知 AMOM, 所以 AM 是O 的切线 (2)由于 ABAC,从而可知 ECBE3,由 cosC,可知:ACEC,易证AOM ABE,所以,再证明

35、cosAOMcosC,所以 AO,从而可求出 OM 【解答】解: (1)连结 OM BM 平分ABC 12 又 OMOB 23 OMBC AE 是 BC 边上的高线 AEBC, AMOM AM 是O 的切线 (2)ABAC ABCC,AEBC, E 是 BC 中点 ECBE3 cosC ACEC OMBC,AOMABE AOMABE 又ABCC AOMC 在 RtAOM 中 cosAOMcosC, AO AB+OB 而 ABAC OM O 的半径是 25如图,已知正方形 ABCD,AC 交 BD 于点 O,在线段 BC 上任取一点 P(不含端点) ,连结 AP,延长 AP 交 DC 延长线于点

36、 N,交 BD 于点 M (1)当 ACCN 时; 求BAP 的度数; AMB 和BMP 的面积分别为 S1和 S2,求的值; (2)探索线段 AM,MP,MN,用等式表示三者的数量关系并证明 【分析】 (1)根据正方形的性质得到ACB45,根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算 即可; 设 ADa,根据相似三角形的性质得到 CP(2)a,得到 BP(1)a,证明AMD PMB,求出,根据三角形的面积公式计算,得到答案; (2)设 ADx,CNy,根据相似三角形的性质求出和,计算即可 【解答】解: (1)四边形 ABCD 是正方形, ACB45,BCD90, BCN90, ACN135,

37、CACN, CANN22.5, ABCD, BAPN22.5; 设 ADa,则 ACa, CNCAa, ND(+1)a, ADBC, NCPNDA, ,即, 解得,CP(2)a, BPa(2)a(1)a, ADBC, AMDPMB, +1, +1; (2)AM2MPMN, 理由如下:设 ADx,CNy, NCPNDA, ,即, 解得,CP, 则 BPx, ABCD, AMBNMD, , ADCB, AMDPMB, , 1, AM2MPMN 26综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 yax2+bx8 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,直线 l 经过坐标原点 O,与抛

38、物线的一个交点为 D,与抛物线的对称轴交于点 E,连接 CE,已知点 A,D 的坐 标分别为(2,0) , (6,8) (1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点 B 和点 E 的坐标; (2)试探究抛物线上是否存在点 F,使FOEFCE?若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)若点 P 是 y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m) ,直线 PB 与直线 l 交于点 Q,试探究: 当 m 为何值时,OPQ 是等腰三角形 【分析】 (1)根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点 B 坐标,求出直线 OD 解析式即可解决点 E 坐标 (2)抛物线上存在点 F 使得FO

39、EFCE,此时点 F 纵坐标为4,令 y4 即可解决问题 (3) )如图 1 中,当 OPOQ 时,OPQ 是等腰三角形,过点 E 作直线 MEPB,交 y 轴于点 M, 交 x 轴于点 H,求出点 M、H 的坐标即可解决问题如图 2 中,当 QOQP 时,POQ 是等腰三角 形,先证明 CEPQ,根据平行线的性质列出方程即可解决问题 【解答】解: (1)抛物线 yax2+bx8 经过点 A(2,0) ,D(6,8) , ,解得, 抛物线解析式为 yx23x8, yx23x8(x3)2, 抛物线对称轴为直线 x3, 又抛物线与 x 轴交于点 A、B 两点,点 A 坐标(2,0) , 点 B 坐

40、标(8,0) 设直线 l 的解析式为 ykx, 经过点 D(6,8) , 6k8, k, 直线 l 的解析式为 yx, 点 E 为直线 l 与抛物线对称轴的交点, 点 E 的横坐标为 3,纵坐标为34, 点 E 坐标(3,4) (2)抛物线上存在点 F 使得FOEFCE, 由 O 点,E 点,C 点的坐标,可知 OECE,FOE 与FCE 有公共边 FE, 此时点 F 纵坐标为4, x23x84, x26x80, x3, 点 F 坐标(3+,4)或(3,4) (3)如图 1 中,当 OPOQ 时,OPQ 是等腰三角形 点 E 坐标(3,4) , OE5,过点 E 作直线 MEPB,交 y 轴于

41、点 M,交 x 轴于点 H则, OMOE5, 点 M 坐标(0,5) 设直线 ME 的解析式为 yk1x5, 3k154, k1, 直线 ME 解析式为 yx5, 令 y0,得x50,解得 x15, 点 H 坐标(15,0) , MHPB, ,即, m, 如图 2 中,当 QOQP 时,POQ 是等腰三角形 当 x0 时,yx23x88, 点 C 坐标(0,8) , CE5, OECE, 12, QOQP, 13, 23, CEPB, 设直线 CE 交 x 轴于 N,解析式为 yk2x8, 3k284, k2, 直线 CE 解析式为 yx8, 令 y0,得x80, x6, 点 N 坐标(6,0) , CNPB, , , m OPPQ 时,显然不可能,理由, D(6,8) , 1BOD, OQPBOQ+ABP, PQO1, OPPQ, 综上所述,当 m或时,OPQ 是等腰三角形