1、2020-2021 学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1方程 x2x 的解是（ ） Ax1 Bx0 Cx11 或 x20 Dx11 或 x20 2下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3关于 x 的
2、一元二次方程（a5）x24x10 有实数根，则 a 满足（ ） Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5 4下列事件是必然事件的是（ ） A抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B打开电视频道，正在播放十二在线 C射击运动员射击一次，命中十环 D方程 x22x10 必有实数根 5对于二次函数 yx2+x4，下列说法正确的是（ ） A当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 B当 x2 时，y 有最大值3 C图象的顶点坐标为（2，7） D图象与 x 轴有两个交点 6如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，ABCD 于 M，AB8，OC5，则 MD 的长为（ ） A4 B2 C D1 7从2
3、、1、0 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ） A B C1 D 8如图，在长 70m，宽 40m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示） ，要使观赏路面 积占总面积的，则路宽 x 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）350 B （402x） （703x）2450 C （402x） （703x）350 D （40 x） （70 x）2450 9如图，已知ABC，ABBC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，过点 D 的O 的切线交 BC 于点 E若 CD5，CE4，则O 的半径是（ ） A3 B4 C D 10如图，正方形 OA
4、BC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 D（5，3）在边 AB 上，以 C 为中心，把 CDB 旋转 90，则旋转后点 D 的对应点 D的坐标是（ ） A （2，0） B （2，10） C （2，10）或（2，0） D （10，2）或（2，10） 11 如图， 正六边形 ABCDEF 内接于O， 半径为 4， 则这个正六边形的边心距 OM 和的长分别为 （ ） A2， B2， C， D2， 12如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之间（不包括这两点） ，对称轴为直线 x1下列结论：
5、 abc0 4a+2b+c0 4acb28a a bc 其中含所有正确结论的选项是（ ） A B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相 应的位置上）应的位置上） 13在一个不透明的盒子中装有 16 个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机 摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为 14如图，某同学利用半径为 40cm 的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计） ，若圆锥底面半径 为 10cm，那么这个圆
6、锥的侧面积是 cm2 15二次函数 yx2的图象如图，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B、C 在二次函数 y x2的图象上，四边形 OBAC 为菱形，且OBA120，则菱形 OBAC 的面积为 16如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC3，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至 图位置， 再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置， ， 以此类推， 这样连续旋转 2018 次后， 顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明、说理过程和演算步骤 ）分解
7、答应写出文字说明、说理过程和演算步骤 ） 17 （8 分） （1）4（x+2）29（x3）20； （2）x2+2x3990 18 （8 分）如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上一点，以点 A 为中心把ADE 顺时针旋转 90 （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后 E 点的对应点记为 M，点 F 在 BC 上，且EAF45，连接 EF 求证：AMFAEF； 若正方形的边长为 6，AE3，则 EF 19 （8 分）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取
8、 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复 这个试验， 通过大量重复试验后发现， 抽到合格品的频率稳定在 0.95， 则可以推算出 x 的值大约是多少？ 20 （8 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这 种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能
9、让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 边于点 D以 AB 上一点 O 为 圆心作O，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC3，B30，且O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴 影部分的图形面积 （结果保留根号和 ） 22 （10 分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天的售价与销售量 的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x50 50 x90 售价（元/件） x+4
10、0 90 每天销量（件） 2002x 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AB6，过点 O 作 OHAB 交圆于点 H，点 C 是弧 AH 上异于 A、H 的动点，过点 C 作 CDOA，CEOH，垂足分别为 D、E，过点 C 的直线交 OA 的延长线于点 G，且 GCDCED （1）求证：GC 是O 的切线； （2）求
11、 DE 的长； （3）过点 C 作 CFDE 于点 F，若CED30，求 CF 的长 24 （12 分）如图，抛物线 yx22x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于 点 C，点 D 为抛物线的顶点 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交 于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N，可得矩形 PQNM如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的
12、周长； （3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的AEM 的面积； （4）在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线， 与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方） 若 FG2DQ，求点 F 的坐标 2020-2021 学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷学年湖北恩施州恩施市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的
13、四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1方程 x2x 的解是（ ） Ax1 Bx0 Cx11 或 x20 Dx11 或 x20 【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】解：方程移项得：x2+x0， 分解因式得：x（x+1）0， 可得 x0 或 x+10， 解得：x10，x21 故选：C 2下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称
14、图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故 A 正确； B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 B 错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 C 错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故 D 错误； 故选：A 3关于 x 的一元二次方程（a5）x24x10 有实数根，则 a 满足（ ） Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5 【分析】由方程有实数根可知根的判别式 b24ac0，结合二次项的系数非零，可得出关于 a 一元一次 不等式组，解不等式组即可得出结论 【解答】解：由已知得：， 解得：a1 且 a5 故选：C 4下列事件是必然事件的是（ ）
15、A抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 B打开电视频道，正在播放十二在线 C射击运动员射击一次，命中十环 D方程 x22x10 必有实数根 【分析】根据必然事件的定义逐项进行分析即可做出判断，必然事件是一定会发生的事件 【解答】解：A、抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上，随机事件，故本选项错误； B、打开电视频道，正在播放十二在线 ，随机事件，故本选项错误； C、射击运动员射击一次，命中十环，随机事件，故本选项错误； D、因为在方程 x22x10 中441（1）80，故本选项正确 故选：D 5对于二次函数 yx2+x4，下列说法正确的是（ ） A当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 B当 x2 时
16、，y 有最大值3 C图象的顶点坐标为（2，7） D图象与 x 轴有两个交点 【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解 【解答】解：二次函数 y+x4 可化为 y（x2）23， 又a0 当 x2 时，二次函数 yx2+x4 的最大值为3 故选：B 6如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，ABCD 于 M，AB8，OC5，则 MD 的长为（ ） A4 B2 C D1 【分析】连接 OA，利用垂径定理可求出 AM 的长，再由勾股定理即可求出 OM 的长，进而可求出 MD 的长 【解答】解：连接 OA， CD 是直径，AB 是弦，ABCD 于 M，AB8， AMBM4， O
17、C5， OAOD5， OM3 DMODOM532 故选：B 7从2、1、0 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率（ ） A B C1 D 【分析】画树状图，共有 6 个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有 4 个，再由概率公式求解即 可 【解答】解：画树状图如图： 共有 6 个等可能的结果，其中该点在坐标轴上的结果有 4 个， 该点在坐标轴上的概率为， 故选：D 8如图，在长 70m，宽 40m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示） ，要使观赏路面 积占总面积的，则路宽 x 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）350 B （402x
18、） （703x）2450 C （402x） （703x）350 D （40 x） （70 x）2450 【分析】设路宽为 x，所剩下的观赏面积的宽为（402x） ，长为（703x）根据要使观赏路面积占总面 积，可列方程求解 【解答】解：设路宽为 x， （402x） （703x）（1）7040， （402x） （703x）2450 故选：B 9如图，已知ABC，ABBC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D，过点 D 的O 的切线交 BC 于点 E若 CD5，CE4，则O 的半径是（ ） A3 B4 C D 【分析】 首先连接 OD、 BD， 判断出 ODBC， 再根据 DE 是O 的切线，
19、推得 DEOD， 所以 DEBC； 然后根据 DEBC，CD5，CE4，求出 DE 的长度是多少；最后判断出 BD、AC 的关系，根据勾股定 理，求出 BC 的值是多少，再根据 ABBC，求出 AB 的值是多少，即可求出O 的半径是多少 【解答】解：如图 1，连接 OD、BD， AB 是O 的直径， ADB90， BDAC， 又ABBC， ADCD， 又AOOB， OD 是ABC 的中位线， ODBC， DE 是O 的切线， DEOD， DEBC， CD5，CE4， DE， SBCDBDCD2BCDE2， 5BD3BC， ， BD2+CD2BC2， ， 解得 BC， ABBC， AB， O 的
20、半径是； 故选：D 10如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 D（5，3）在边 AB 上，以 C 为中心，把 CDB 旋转 90，则旋转后点 D 的对应点 D的坐标是（ ） A （2，0） B （2，10） C （2，10）或（2，0） D （10，2）或（2，10） 【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点 D到 x 轴、y 轴的距离，即可判断 出旋转后点 D 的对应点 D的坐标是多少即可 【解答】解：因为点 D（5，3）在边 AB 上， 所以 ABBC5，BD532； （1）若把CDB 顺时针旋转 90， 则点 D在 x 轴上，OD2，
21、 所以 D（2，0） ； （2）若把CDB 逆时针旋转 90， 则点 D到 x 轴的距离为 10，到 y 轴的距离为 2， 所以 D（2，10） ， 综上，旋转后点 D 的对应点 D的坐标为（2，0）或（2，10） 故选：C 11 如图， 正六边形 ABCDEF 内接于O， 半径为 4， 则这个正六边形的边心距 OM 和的长分别为 （ ） A2， B2， C， D2， 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出 OM，再利用弧长公式求解即可 【解答】解：连接 OB， OB4， BM2， OM2， ， 故选：D 12如图，已知二次函数 yax2+b
22、x+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之间（不包括这两点） ，对称轴为直线 x1下列结论： abc0 4a+2b+c0 4acb28a a bc 其中含所有正确结论的选项是（ ） A B C D 【分析】根据对称轴为直线 x1 及图象开口向下可判断出 a、b、c 的符号，从而判断；根据对称轴得 到函数图象经过（3，0） ，则得的判断；根据图象经过（1，0）可得到 a、b、c 之间的关系，从而 对作判断； 从图象与 y 轴的交点 B 在 （0， 2） 和 （0， 1） 之间可以判断 c 的大小得出的正误 【解答】解：函数开口方向向上
23、， a0； 对称轴在 y 轴右侧 ab 异号， 抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴， c0， abc0， 故正确； 图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴为直线 x1， 图象与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 故错误； 图象与 x 轴交于点 A（1，0） ， 当 x1 时，y（1）2a+b（1）+c0， ab+c0，即 abc，cba， 对称轴为直线 x1 1，即 b2a， cba（2a）a3a， 4acb24a （3a）（2a）216a20 8a0 4acb28a 故正确 图象与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间， 2c1
24、23a1， a； 故正确 a0， bc0，即 bc； 故正确； 故选：D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相分，不要求写解答过程，请把答案直接写在答题卷相 应的位置上）应的位置上） 13在一个不透明的盒子中装有 16 个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机 摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为 8 【分析】设黄球的个数为 x 个，根据概率公式得到，然后解方程即可 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得：， 解得 x8， 经检验：x8 是原分式
25、方程的解， 故答案为 8 14如图，某同学利用半径为 40cm 的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计） ，若圆锥底面半径 为 10cm，那么这个圆锥的侧面积是 400 cm2 【分析】利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积 【解答】解：圆锥侧面积公式为：s侧面积rR1040400 故答案为：400 15二次函数 yx2的图象如图，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B、C 在二次函数 y x2的图象上，四边形 OBAC 为菱形，且OBA120，则菱形 OBAC 的面积为 2 【分析】连结 BC 交 OA 于 D，如图，根据菱形的性质得 BCOA，OBD60，利用含 30
26、 度的直角 三角形三边的关系得 ODBD，设 BDt，则 ODt，B（t，t） ，利用二次函数图象上点的坐 标特征得t2t，解得 t10（舍去） ，t21，则 BD1，OD，然后根据菱形性质得 BC2BD 2，OA2OD2，再利用菱形面积公式计算即可 【解答】解：连结 BC 交 OA 于 D，如图， 四边形 OBAC 为菱形， BCOA， OBA120， OBD60， ODBD， 设 BDt，则 ODt， B（t，t） ， 把 B（t，t）代入 yx2得t2t，解得 t10（舍去） ，t21， BD1，OD， BC2BD2，OA2OD2， 菱形 OBAC 的面积222 故答案为 2 16如图，
27、在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC3，矩形在直线 l 上绕其右下角的顶点 B 向右旋转 90至 图位置， 再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置， ， 以此类推， 这样连续旋转 2018 次后， 顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是 3028.5 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可 【解答】解：AB4，BC3， ACBD5， 转动一次 A 的路线长是：2， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点 A 转动四次经过的路线长为：+26， 201845042， 顶点
28、A 转动四次经过的路线长为：6504+2+3028.5， 故答案为：3028.5 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分解答应写出文字说明、说理过程和演算步骤 ）分解答应写出文字说明、说理过程和演算步骤 ） 17 （8 分） （1）4（x+2）29（x3）20； （2）x2+2x3990 【分析】 （1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可 【解答】解： （1）分解因式得：2（x+2）+3（x3）2（x+2）3（x3）0， 即（5x5） （x+13）0， 可得 5x50 或x+130， 解得：x11，x213； （2）方程整理得：
29、x2+2x399， 配方得：x2+2x+1400，即（x+1）2400， 开方得：x+120， 解得：x121，x219 18 （8 分）如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上一点，以点 A 为中心把ADE 顺时针旋转 90 （1）在图中画出旋转后的图形； （2）若旋转后 E 点的对应点记为 M，点 F 在 BC 上，且EAF45，连接 EF 求证：AMFAEF； 若正方形的边长为 6，AE3，则 EF 5 【分析】 （1）在 CB 的延长线上截取 BMDE，则ABM 满足条件； （2） ）由旋转性质得 AMAE，MAE90，则MAFEAF45，则可根据“SAS”判断 AMFAEF； 由
30、AMFAEF 得到 EFMF，即 MEBF+MB，加上 BMDE，所以 EFBF+DE，再利用勾股 定理计算出 DE3，则 CE3，设 EFx，则 BFx3，CF9x，然后在 RtCEF 中利用勾股定理 得到（9x）2+32x2，然后解方程求出 x 即可 【解答】 （1）解：如图，ABM 为所作； （2）证明：ABCD 是正方形， BAD90， ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABM， AMAE，MAE90， 又EAF45， MAF45， MAFEAF， 在AMF 和AEF 中 ， AMFAEF； 解：AMFAEF， EFMF， 即 MEBF+MB， 而 BMDE， EFBF+DE， 在
31、 RtADE 中，DE3， CE633， 设 EFx，则 BFx3， CF6（x3）9x， 在 RtCEF 中，CF2+CE2EF2， （9x）2+32x2，解得 x5， 解 EF5 故答案为 5 19 （8 分）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复 这个试验， 通过大量重复试验后发现， 抽到合格品的频率稳定在 0.
32、95， 则可以推算出 x 的值大约是多少？ 【分析】 （1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率； （2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽 2 件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙， 乙丁，丙丁，6 种情况，合格的有 3 种情形，再根据概率公式计算即可； （3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得 x 的值； 【解答】解： （1）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品， P（不合格品）； （2）令不合格产品为甲，合格产品为乙、丙、丁，则随机抽 2 件的情况只有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙， 乙丁，丙丁，6 种情况合格的有 3 种情形 P（抽到的都是合格品）；
33、 （3）大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95， 抽到合格品的概率等于 0.95， 0.95， 解得：x16 20 （8 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这 种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【分析】 （1）设每千克核桃降价 x 元，利用销售量每件利润2240 元列出方程求解即可
34、； （2）为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折 【解答】 （1）解：设每千克核桃应降价 x 元 1 分 根据题意，得 （60 x40） （100+20）2240 4 分 化简，得 x210 x+240 解得 x14，x266 分 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 7 分 （2）解：由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为：60654（元） ， 设按原售价的 m 折出售，则有：6054， 解得 m9 答：该店应按原售价的九折出售 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，BAC 的
35、平分线 AD 交 BC 边于点 D以 AB 上一点 O 为 圆心作O，使O 经过点 A 和点 D （1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC3，B30，且O 与 AB 边的另一个交点为 E，求线段 BD、BE 与劣弧 DE 所围成的阴 影部分的图形面积 （结果保留根号和 ） 【分析】 （1）连接 OD，根据平行线判定推出 ODAC，推出 ODBC，根据切线的判定推出即可； （2）根据含有 30角的直角三角形的性质得出 OB2OD2r，AB2AC3r，从而求得半径 r 的值， 根据 S阴影SBODS扇形DOE求得即可 【解答】解： （1）直线 BC 与O 相切； 连结
36、OD， OAOD， OADODA， BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D， CADOAD， CADODA， ODAC， ODBC90，即 ODBC 又直线 BC 过半径 OD 的外端， 直线 BC 与O 相切 （2）设 OAODr，在 RtBDO 中，B30， OB2r， 在 RtACB 中，B30， AB2AC6， 3r6，解得 r2 在 RtACB 中，B30， BOD60 B30，ODBC， OB2OD， AB3OD， AB2AC6， OD2，BD2， SBODODBD2， 所求图形面积为 22 （10 分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1x90）天
37、的售价与销售量 的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x50 50 x90 售价（元/件） x+40 90 每天销量（件） 2002x 2002x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （1）求出 y 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 【分析】 （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案； （2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； （3）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于
38、48000，可得不等式，根据解不等式组， 可得答案 【解答】解： （1）当 1x50 时，y（2002x） （x+4030）2x2+180 x+2000， 当 50 x90 时， y（2002x） （9030）120 x+12000， 综上所述：y； （2）当 1x50 时， y2x2+180 x+2000， y2（x45）2+6050 a20， 二次函数开口下，二次函数对称轴为 x45， 当 x45 时，y最大6050， 当 50 x90 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x50 时，y最大6000， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； （3）当
39、1x50 时，y2x2+180 x+20004800， 解得：20 x70， 因此利润不低于 4800 元的天数是 20 x50，共 30 天； 当 50 x90 时，y120 x+120004800， 解得：x60， 因此利润不低于 4800 元的天数是 50 x60，共 11 天， 所以该商品在整个销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AB6，过点 O 作 OHAB 交圆于点 H，点 C 是弧 AH 上异于 A、H 的动点，过点 C 作 CDOA，CEOH，垂足分别为 D、E，过点 C 的直线交 OA 的延长线于点 G，且 G
40、CDCED （1）求证：GC 是O 的切线； （2）求 DE 的长； （3）过点 C 作 CFDE 于点 F，若CED30，求 CF 的长 【分析】 （1）先证明四边形 ODCE 是矩形，得出DCE90，DEOC，MCMD，得出CED+ MDC90，MDCMCD，证出GCD+MCD90，即可得出结论； （2）由（1）得：DEOCAB，即可得出结果； （3）运用三角函数求出 CE，再由含 30角的直角三角形的性质即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 OC，交 DE 于 M，如图所示： OHAB，CDOA，CEOH， DOEOECODC90， 四边形 ODCE 是矩形， DCE90，DEOC，
41、MCMD， CED+MDC90，MDCMCD， GCDCED， GCD+MCD90， 即 GCOC， GC 是O 的切线； （2）解：由（1）得：DEOCAB3； （3）解：DCE90，CED30， CEDEcosCED3， CFCE 24 （12 分）如图，抛物线 yx22x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于 点 C，点 D 为抛物线的顶点 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）点 M（m，0）为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交 于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作
42、PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N，可得矩形 PQNM如图，点 P 在点 Q 左边，试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周长； （3）当矩形 PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的AEM 的面积； （4）在（3）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ，过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线， 与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方） 若 FG2DQ，求点 F 的坐标 【分析】 （1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点 A，B，C 的坐标； （2）先确定出抛物线对称轴，用 m 表示出 PM，MN 即可； （3）由（2）得
43、到的结论判断出矩形周长最大时，确定出 m，进而求出直线 AC 解析式，即可； （4）在（3）的基础上，判断出 N 应与原点重合，Q 点与 C 点重合，求出 DQDC，再建立方程 （n+3）（n22n+3）4 即可 【解答】解： （1）由抛物线 yx22x+3 可知，C（0，3） 令 y0，则 0 x22x+3， 解得，x3 或 xl， A（3，0） ，B（1，0） （2）由抛物线 yx22x+3 可知，对称轴为 x1 M（m，0） ， PMm22m+3，MN（m1）22m2， 矩形 PMNQ 的周长2（PM+MN）（m22m+32m2）22m28m+2 （3）2m28m+22（m+2）2+10， 矩形的周长最大时，m2 A（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式 ykx+b， 解得 kl，b3， 解析式 yx+3， 令 x2，则 y1， E（2，1） ， EM1，AM1， SAMEM （4）M（2，0） ，抛物线的对称轴为 x1， N 应与原点重合，Q 点与 C 点重合， DQDC， 把 x1 代入 yx22x+3，解得 y4， D（1，4） ， DQDC FG2DQ， FG4 设 F（n，n22n+3） ，则 G（n，n+3） ， 点 G 在点 F 的上方且 FG4， （n+3）（n22n+3）4 解得 n4 或 n1， F（4，5）或（1，0）