1、2021 年中考数学复习知识点易错部分突破训练：二次函数的应用年中考数学复习知识点易错部分突破训练：二次函数的应用 2 1超市有一种 “喜之郎” 果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻， 果冻高为 4cm， 底面是个直径为 6cm 的圆， 横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至 少纸板（ ）平方厘米 （不计重合部分） A253 B288 C206 D245 2黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停 产， 经过调研预测， 它一年中每月获得的利润 y （万元） 和月份 n 之间满足函数关系式 yn2+
2、14n24， 则没有盈利的月份为（ ） A2 月和 12 月 B2 月至 12 月 C1 月 D1 月、2 月和 12 月 3使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量 y（单位：m3）与旋钮的旋转角度 x（单位：度） （0 x 90）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度 x 与燃气量 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角 度约为（ ） A18 B36 C41 D58 4汽车刹车后行驶的距离 s（单位：米）关于行驶的时间 t（单位：秒）的函数解析式为 s6t2+bt（b 为 常数） 已知 t时，
3、s6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ） A米 B8 米 C米 D10 米 5已知某种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）的关系是 h+20t+1，若此礼炮在升空到最高 处时引爆，到引爆需要的时间为（ ） A6s B5s C4s D3s 6有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为 20m 的篱笆围成已知墙长为 15m，若平行于墙的一 边长不小于 8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ） A48m2，37.5m2 B50m2，32m2 C50m2，37.5m2 D48m2，32m2 7飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：s）的函数解析式是 y60tt
4、2在飞机 着陆滑行中，滑行最后的 150m 所用的时间是（ ）s A10 B20 C30 D10 或 30 8加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat2+bt+c（a，b，c 是常数） ，如图记录了三次实验的数 据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ） A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟 9 如图， 利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD， 其中C120 若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m， 则该梯形储料场 ABCD 的最大面
5、积是（ ） A18m2 B18m2 C24m2 Dm2 10某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，经过调查发现，销售单价每降低 5 元， 每天可多售出 10 件，下列说法错误的是（ ） A销售单价降低 15 元时，每天获得利润最大 B每天的最大利润为 1250 元 C若销售单价降低 10 元，每天的利润为 1200 元 D若每天的利润为 1050 元，则销售单价一定降低了 5 元 11如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在 AB 位置时，拱顶离水面 2m，水面宽为 4m当水面下降 1m 后，水面宽为 m 12铅球运行高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的
6、函数关系满足 yx2+x+3，此运动 员能把铅球推出 m 13如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 yax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行 车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒 14如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果 水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为 2m，且到地面的距离为 3m，则水流的落地点 C 到水枪 底部 B 的距离为 15某幢建筑物，从 5 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷的水
7、流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如 图所示） ，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面米，则水流下落点 B 离墙距离 OB 是 m 16如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是 8m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是 17 如图 1， 剪刀式升降平台由三个边长为 4m 的菱形和两个腰长为 4m 的等腰三角形组成， 其中， AMA0N， B，B0在 AM 和 A0N 上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上 （1）这种升降平台设计原理利用了四边形的 性质； （2）如图 2 是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为 8米，顶部的最大高度为 24米如 图 3，当该平台在完成挂横幅
8、作业时，其顶部 A，M 两点恰好同时抵住抛物线，且 AM8 米，则此时 B1的度数为 18如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案已知抛物线上 B、C 两点的高度相同，到墙边 OA 的距 离分别为 0.5m，1.5m若该墙的长度为 12m，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案 19一座抛物线形的拱桥如图所示，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物 线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 20如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的正常水位时，大孔水面宽 度为 20m， 顶点距水面
9、6m， 小孔顶点距水面 3m 当水位上涨刚好淹没小孔时， 大孔的水面宽度为 m 21某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不 得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 yx+120 （1）若该服装获得利润为 w（元） ，试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少时， 商场可获得利润最大，最大利润是多少元？ （2）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的取值范围 22已知某商品的进价是每件 40 元，现在的售价是每件 60 元，每星期可卖出 300 件据市场调查反映：
10、销售价每涨 1 元，每星期要少卖出 10 件 （）设每件涨价 x 元，每星期售出该商品所获利润为 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式； （）每件商品涨价多少元，每星期可获得利润最大？最大利润是多少？ 232020 年 12 月 12 日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童 装某产品每小时的成交量 y （万件）与时间 x （时）的函数图象，y 与 x 的关系正好可用两段二次函数 y1， y2的图象来表示，点 A 是两段函数的顶点，其中 0 x1 时，图象的解析式为 y13x2+mx；1x7 时，图象的解析式为 y2； （1）根据函数图象，求几时成交量达
11、到最大值？最大值为多少？ （2）系统平台显示，当成交量达到 2.25 万件以上时（包括 2.25 万件） ，需要专门安排后台技术人员做维 护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？ 24某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 60 元为了扩大销售，减少库存， 商场决定降价销售，经调查，每件降价 1 元时，平均每天可多卖出 2 件 （1）若商场要求该服装部每天盈利 3000 元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，服装部每天盈利最大，最大利润是多少？ 25受新型冠状病毒影响，学生在进入学校大门时都要配合监测体温某学校上学高峰期学生
12、到达学校的 人数（包括校门口等待检测的学生和已经检测体温入校的学生）y（人）随时间 x（分钟）的变化情况如 图所示，已知前 12 分钟，y 可看作是 x 的二次函数，并在 12 分钟时，学生到达学校人数 y 达到最大值为 720 人，回答下列问题： （1）当 0 x12 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； （2）已知学校门口有体温检测岗位 3 个，每个岗位的工作人员每分钟能检测 10 人，求学校门口等待接 受体温测量的队伍最多时有多少人； （3）在（2）的条件下，从测温开始到所有学生测温结束，当学校门口等待接受体温测量的人数随时间 的增加而减少时，直接写出对应的 x 的取值范围 26某农经
13、公司以 40 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量 p（千 克）与销售价格 x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格 x（元/千克） 40 50 60 70 80 日销售量 p（千克） 120 100 80 60 40 （1）求 p 与 x 之间的函数表达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 27某厂为满足市场需求，改造了 10 条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩 500 个，如果每增加一条 生产线，每条生产线每天就会少生产 20 个口罩，设增加 x 条生产线（x 为正整数） ，每条生产线每天可
14、生产口罩 y 个 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量取值范围； （2）设该厂每天可以生产的口罩 w 个，请求出 w 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为多少时，每天生产 的口罩数量 w 最多？最多为多少个？ （3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于 6000 个，请直接写出需要增加的生产线 x 条的取值范围 28在 2020 年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩经市场调研：某类型口罩进价每袋为 20 元，当售价为每袋 25 元时，销售量为 250 袋，若销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 袋 （1）直接写出小明销售该类型口罩销售量 y（
15、袋）与销售单价 x（元）之间的函数关系式 ；每天 所得销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式 （2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润 2000 元时，则销售单价应定为多少元？ （3）若每天销售量不少于 100 袋，且每袋口罩的销售利润至少为 17 元，则销售单价定位多少元时，此 时利润最大，最大利润是多少？ 参考答案参考答案 1解：建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点 K 作 KHOC 于点 H 依题意知 K（x，2） 易求开口向上抛物线的解析式：yx2， 所以 2x2， 解得 x或 x（舍去） ， OHHG， BCBO+OH+HG+GC3+36+3， S矩形ABCD
16、ABBC4（6+3）24+12（平方厘米） 如图 3，S矩形ABCD6BC6（6+3） （平方厘米） 所以，2S矩形ABCD+2S矩形ABCD+2ABAE178+80（平方厘米） 2（24+12）+2（36+18）+246168+60253（平方厘米） 故选：A 2解：yn2+14n24（n2） （n12） ，1n12 且 n 为整数， 当 y0 时，n2 或 n12， 当 y0 时，n1， 故选：D 3解：由图象可得， 该函数的对称轴 x且 x54， 36x54， 故选：C 4解：把 t，s6 代入 s6t2+bt 得， 66+b， 解得，b15 函数解析式为 s6t2+15t6（t）2+，
17、 当 t时，s 取得最大值，此时 s， 故选：C 5解：h+20t+1（t6）2+61， 当 t6 时，h 取得最大值， 即礼炮从升空到引爆需要的时间为 6s， 故选：A 6解：设平行于墙的一边长为 xm，苗圃园面积为 Sm2，则 Sx（20 x） （x220 x） （x10）2+50 （8x15） 0 S 有最大值，x108 时，S最大50 墙长为 15m 当 x15 时，S 最小 S最小15（2015）37.5 这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 50m2，37.5m2 故选：C 7解：当 y 取得最大值时，飞机停下来， 则 y60t1.5t21.5（t20）2+600， 此时 t20，
18、飞机着陆后滑行 600 米才能停下来 因此 t 的取值范围是 0t20； 即当 y600150450 时， 即 60tt2450， 解得：t10，t30（不合题意舍去） ， 滑行最后的 150m 所用的时间是 201010， 故选：A 8解：由题意知，函数 pat2+bt+c 经过点（3，0.7） ， （4，0.8） ， （5，0.5） ， 则， 解得：， pat2+bt+c0.2t2+1.5t20.2（t3.75）2+0.8125， 最佳加工时间为 3.75 分钟， 故选：C 9解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CDAEx，DCECEB90， 则BCEB
19、CDDCE30，BC12x， 在 RtCBE 中，CEB90， BEBC6x， ADCEBE6x，ABAE+BEx+6xx+6， 梯形 ABCD 面积 S （CD+AB） CE （x+x+6） （6x） x2+3x+18 （x4）2+24， 当 x4 时，S最大24 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24m2； 故选：C 10解：设销售单价降低 x 元，每天获得利润为 y 元根据题意，得 y（40 x） （20+2x） 2x2+60 x+800 2（x15）2+1250 因为20，当 x15 时，y 有最大值为 1250， 所以销售单价降低 15 元时，每天获得利
20、润最大，每天的最大利润为 1250 元 所以 A、B 选项正确，不符合题意； 当 x10 时，y1200， 所以销售单价降低 10 元，每天的利润为 1200 元 所以 C 选项正确，不符合题意； 利用筛选法 D 选项符合题意 故选：D 11解：由题意得：B（2，2） ， 设抛物线解析式为 yax2， 将 B（2，2）代入 yax2， 解得：a， yx2， 设 D（x，3） ， 把 D（x，3）代入 yx2得：x， 水面宽 CD 为 2m， 故答案为：2 12解：当 y0 时，x2+x+30， 整理，得：x216x360， 解得 x118，x22， 所以此运动员能把铅球推出 18m， 故答案为
21、：18 13解：当小强骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同， 抛物线的对称轴是直线 x， 16，得 b32a， 令 y0，则 0ax2+bx， 解得，x10，x232， 小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需：32032 秒， 故答案为：32 14解：如图，以 BC 所在直线为 x 轴、AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点 P 的坐标为（2，3） 、点 A（0，2） ， 设抛物线的解析式为 ya（x2）2+3， 将点 A（0，2）代入，得：4a+32， 解得：a， 则抛物线的解析式为 y（x2）2+3， 当 y0 时，有（x2）2+30， 解得：x
22、2（舍）或 x2+2， BC（2+2）米， 答：水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离为（2+2）m 故答案为： （2+2）m 15解：地面，墙面所在直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式：ya（x1）2+， 把点 A（0，5）代入抛物线解析式得： a， 抛物线解析式： y（x1）2+ 当 y0 时，x11（舍去） ，x23 OB3（m） 故答案为 3 16解：设围成矩形 ABCD 的长是 xm，则宽为（8x）m，矩形的面积为： S矩形ABCDx（8x） x2+8x （x4）2+16 二次项系数为10， 当 x4 时，S矩形ABCD有最大值，最大值为 16 故答案为：16
23、 17解： （1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性 故答案为：不稳定性； （2）以地面为 x 轴，顶部所在垂直于地面的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 设 yax2+24， 点（4，0）在该抛物线上， 0a（4）2+24， 解得，a， yx2+24， 当 x4 时，y（4）2+2416， 菱形竖直的对角线长为 1644， 又菱形的边长为 4，42+42（4）2， B190， 故答案为：90 18解：以点 O 为原点，建立如下坐标系， 由函数的图象知，点 B、C 的纵坐标相同，其横坐标分别为 x0.5 和 x1.5， 故函数的对称轴为 x（0.5+1.5）1， 设第一个图案与
24、x 轴交点为 D，则 OD2， 则 1226， 故最多可以连续绘制 6 个这样的抛物线型图案， 故答案为 6 19解：选取点 B 为坐标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，设桥洞顶部即抛物线的顶点为 点 C，如图： 由坐标系及题意可得： A（12，0） ，B（0，0） ，C（6，4） ， 设抛物线解析式为 yax（12）（x0） ，将 C（6，4）代入得： 4a（6+12） （60） ， 436a， a， y（x+12）x x2x 故答案为：yx2x 20解：如右图所示， 点 C 为抛物线顶点，坐标为（0，6） ，则点 A 的坐标为（10，0） ，点 B 的坐标为（10，0） ，
25、设抛物线 ACB 的函数解析式为 yax2+6， 点 A 在此抛物线上， 0a102+6， 解得，a， 即抛物线 ACB 的函数解析式为 yx2+6， 当 y3 时，3x2+6， 解得，x， 当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5（5）10（m） ， 故答案为：10 21解： （1）由题意得： w（x+120） （x60） x2+180 x7200 （x90）2+900， 二次项系数为负，抛物线开口向下， 当 x90 时，w 随 x 的增大而增大， 销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于 45%， 60 x45%60+60， 即 60 x87， 当 x87 时，商场可获得最大利
26、润， 此时，w（8790）2+900891（元） 利润 w 与销售单价 x 之间的关系式为 wx2+180 x7200；销售单价定为 87 元时，商场可获得利润 最大，最大利润是 891 元 （2）当 w500 时，则有：500 x2+180 x7200， 整理得：x2180 x+77000， 解得：x170，x2110， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x90， 若该商场获得利润不低于 500 元，则有 70 x110， 又60 x87， 销售单价 x 的取值范围为：70 x87 22解： （）销售价每涨 1 元，每星期要少卖出 10 件， 每星期实际可卖出（30010 x）件， y（6040
27、+x） （30010 x） 10 x2+100 x+6000； （）y10 x2+100 x+600010（x5）2+6250， 100， 当 x5 时，y 取得最大值 6250， 答：每件商品涨价 5 元，每星期可获得利润最大，最大利润是 6250 元 23解： （1）x1， m6， y13x2+6x， 当 x1 时，y1有最大值，最大值为：3+63 （2）由（1）可知，顶点 A（1，3） ，设 y2n（x1）2+3， 把（7，0）代入得：0n（71）2+3， 解得：n， y2（x1）2+3， 当 y122.5 时，22.53x2+6x， 解得：x11.5（舍） ，x20.5； 当 y222
28、.5 时，22.5（x1）2+3， 解得：x32（舍） ，x44 40.53.5（小时） 需要维护 3.5 小时才能保证系统全程正常运行 24解： （1）设每件衬衫应降价 x 元，由题意得： （60 x） （40+2x）3000， 解得：x110，x230， 因为尽量减少库存，x110 舍去 答：每件衬衫应降价 30 元 （2）设每天盈利为 W 元，则 W（60 x） （40+2x）2（x20）2+3200， 当 x20 时，W 最大为 3200 答：每件衬衫降价 20 元时，商场服装部每天盈利最多 25解： （1）设 ya（x12）2+720， 将（0，0）代入，得：144a+7200， 解
29、得 a5， y5（x12）2+720； （2）设等待接受体温测量的学生人数为 y1， 则 y1y30 x 5（x12）2+72030 x 5x2+90 x 5（x9）2+405， 当 x9 时，y1取得最大值，最大值为 405， 答：学校门口等待接受体温测量的队伍最多时有 405 人； （3）由（2）知，y15（x9）2+405， x9 时，y1随 x 的增大而减小， 当 9x12 时，学校门口等待接受体温测量的人数随时间的增加而减少 26解： （1）p 与 x 成一次函数关系，设函数关系式为 pkx+b， 可选择 x40，y120 和 x50，y100 代入， 则，解得， 所求的函数关系为
30、p2x+200； （2）设日销售利润为 w 元， wp（x40）（2x+200） （x40） ，即 w2x2+280 x8000， 当 x70 时，w 有最大值 1800， 答：这批农产品的销售价格定为 70 元/千克时日销售利润有最大，这个最大日销售利润为 1800 元 27解： （1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y50020 x； 故 y 与 x 之间的函数关系式为 y50020 x（1x25，且 x 为正整数） ； （2）w（10+x） （50020 x） 20 x2+300 x+5000 20（x7.5）2+6125， a200，开口向下， 当 x7.5 时，w 最大，
31、 又x 为整数， 当 x7 或 8 时，w 最大，最大值为 6120 答：当增加 7 或 8 条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为 6120 个； （3）由题意得： （10+x） （50020 x）6000， 整理得：x215x+500， 解得：x15，x210， 由（2）得：w20 x2+300 x+5000， a200，开口向下， 需要增加的生产线 x 条的取值范围是：5x10（x 为正整数） 28解： （1）根据题意得，y25010（x25）10 x+500； 则 w（x20） （10 x+500）10 x2+700 x10000， 故答案为：y10 x+500；w10 x2+700 x10000； （2）w2000， 10 x2+700 x100002000， 解得：x130，x240， 答：销售单价应定为 30 元或 40 元，小明每天获得该类型口罩的销售利润 2000 元； （3）根据题意得， x 的取值范围为：37x40， 函数 w10（x35）2+2250，对称轴为 x35， 当 x37 时，w最大值2210 答：销售单价定位 37 元时，此时利润最大，最大利润是 2210 元