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江苏省南京市玄武区2020-2021学年九年级上期末数学试题(含答案)

1、江苏省南京市玄武区江苏省南京市玄武区 20202020- -20212021 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 6 小题在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选小题在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选 项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1、一元二次方程 2 40 x 的解是( ) A2x B2x C4x D 1 2x , 2 2x 2、已知一组数据 2,3,5,3,7,关于这组数据,下列说法不正确 的是( ) A平均数是 4 B众数是 3 C中位

2、数是 5 D极差是 5 3、如图,点A,B,C,D在O上,OABC,若50B ,则D的度数为( ) A20 B25 C30 D40 4、 如图, 直线 123 / /lll, 直线a、b与 1 l、2l、3l分别交于点A、B、C和点D、E、F, 若:1 :2A B B C, 6DF ,则EF的长为( ) A2 B3 C4 D5 5、二次函数 2 yaxbxc(a、b、c是常数,且0a)的图像如图所示,对称轴为直线1x下 列结论:0abc;20ab;0a bc ;930abc 其中正确的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6、如图,在ABC中,D、E分别是AB、BC边上的点,连

3、接DE并延长,与AC的延长线交于点F, 且3ADBD,2EFDE,若2CF ,则AF的长为( ) A5 B6 C7 D8 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题不需写出解答过程,请把答案直接填写在小题不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上答题卡相应的位置上 ) 7、若 3 4 a b ,则 b ab _ 8、若 1 x, 2 x是方程 2 210 xx 的两个实数根,则 22 1212 2xxx x的值为_ 9、如图,一个可以自由转动的圆形转盘被等分成 6 个相同的扇形区域,并涂上了相应的颜色,随机转动转 盘,转盘停止时,指针恰好落在黄色区域的概率是_ 10、在平

4、面直角坐标系中,将函数 2 2yx的图像先向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度后, 所得图像的函数表达式为_ 11、 用一个半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面 (接缝处忽略不计) , 则该圆锥的高为_cm 12、如图,在ABC中,/DE FG BC,ADE的面积梯形DFGE的面积梯形FBCG的面积, 则 DE BC 的值为_ 13、已知二次函数 2 yaxbxc(a、b、c是常数,且0a) ,函数值y与自变量x的部分对应值如 下表: x 1 0 1 2 3 4 y 10 1 y 2 1 2 5 当 1 yy时,自变量x的取值范围是_ 14、 如图, 在菱形ABCD中,

5、O是对角线BD上一点,O经过点A,B,C, 若O的半径为 2,4OD, 则BC的长为_ 15、关于x的方程 22 2xxmp,无论实数p取何值,该方程总有两个不相等的实数根,则实数m的 取值范围为_ 16、在ABC中,10ABAC,12BC ,M,N是BC边上两个动点,若AB,AC边上分别存 在点P,Q使得60MPNMQN ,则线段MN的最小值为_ 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 11 小题请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步小题请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)骤) 17、解下列一元二次方程: (1) 2 210 xx

6、 ; (2) 22 211xx 18、某校开展“垃圾分类,从我做起”的活动,该活动的志愿者从甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取 (1)若随机抽取 1 名,甲被抽中的概率为_; (2)若随机抽取 2 名,求甲在其中的概率 19、某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试,已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同, 小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表,并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过 程 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩(分) 35 39 37 a 40 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下: 222

7、22 22 1 363838383738393840382 5 S 乙 分 根据上述信息,完成下列问题: (1)a的值是_; (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩,你认为谁的体育成绩更好?并说明理由; (3) 如果甲再测试1次, 第六次模拟测试成绩为38分, 与前5次相比, 甲6次模拟测试成绩的方差_(填 “变大” “变小”或“不变” ) 20、如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BA延长线上的一点,连接EC交AD于点F求证: BECDCF 21、在平面直角坐标系中,二次函数的图像如图所示 (1)求该二次函数的表达式; (2)当13x 时,则函数值y的取值范围为_; (3)将该二次函数

8、的图像向上平移_个单位长度后恰好经过点2,0 22、如图,PA是O的切线,A为切点,点B、C、D在O上,且PAPB (1)求证:PB是O的切线; (2)若100P ,则BD 的度数为_ 23、在平面直角坐标系中,二次函数 2 yaxbxc(0a,a、b、c为常数)的图像经过点1,3A, 1, 1B (1)b_,c_(用含有a的代数式表示) ; (2)求证:不论a为何值,该函数图像与x轴总有两个不同的公共点 24、如图,在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,BEDABC (1)求证: 2 DCDE DA; (2)若70BAC,则BEC的度数为_ 25、已知四边形ABCD,用无刻度的直

9、尺和圆规完成下列作图 (保留作图痕迹,不写作法) (1)如图,连接BD,在BC边上作出一个点M,使得AMDABD ; (2)如图,在BC边上作出一个点N,使得ANDA 26、如图,O是ABC的外接圆,弦AE交BC于点D,且 ABAD AEAB (1)求证:ABAC; (2)连接BO并延长交AC于点F,若4AF ,5CF ,求O的半径 27、某公司销售一种服装,已知每件服装的进价为 60 元,售价为 120 元为了促销,公司推出如下促销方 案:如果一次购买的件数超过 20 件,那么每超出一件,每件服装的售价就降低 2 元,但每件服装的售价不 得低于a元该公司某次销售该服装所获得的总利润y(元)与

10、购买件数x(件)之间的函数关系如图所 示 (1)当25x时,y的值为_; (2)求a的值; (3)求y关于x的函数表达式; (3)若一次购买的件数x不超过m件,探索y的最大值,直接写出结论 (可以用含有m的代数式表示) 参考答案参考答案 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 6 小题 )小题 ) 题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 D C A C C B 【第【第 6 题解析】题解析】 方法不唯一,如:作平行,通过相似求解方法不唯一,如:作平行,通过相似求解 如图,过点F作/FG AB,交BC延长线于点G, 则由平行易知BEDGEF,因此 1 2 BDDE FGEF ,即2FGBD

11、 由平行易知FCGACB,因此 FGCF ABAC 3ADBD,4ABADBDBD, 21 42 FGBD ABBD , 1 2 CF AC ,即 21 2AC ,4AC , 6AFACCF (如:过点D作/DH AC,交BC于点H,也可利用相似求解) 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题 )小题 ) 题号题号 7 8 9 10 11 答案答案 4 7 4 1 3 2 223yx 5 3 题号题号 12 13 14 15 16 答案答案 3 3 04x 2 3 1m 48 3 13 【第【第 16 题解析】考察四点共圆、辅助圆题解析】考察四点共圆、辅助圆 如图,在BC边上取点M

12、、N, 以MN为边作等边三角形MNG, 并作MNG外接圆O, 则MN所对圆周角60MGN, O交AB、AC于P、Q时,易知60MPNMQN , 则O与ABC有交点,且半径最小时MN可取得最小值, O与AB、AC相切时MN最小,如图, 此时OPAB,OPr,OQAC,OQr 圆心O在BAC角平分线上, 即在ABC底边上的高AD上 6BDCD,8AD 连接MO,NO,PO, 圆心角2120MONMPN ,MONOOPOQ, 60MOD 设半径为r,则3MNr, 1 2 ODr 90ADBAPO,BADBAD APOADB, APPOAO ADBDAB ,即 1 8 2 8610 r APr , 解

13、得 48 13 r , 则 48 3 3 13 MNr 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 11 小题 )小题 ) 17、 (1)解: 1 1x , 2 1 2 x (2)解: 1 2x , 2 0 x 18、 (1) 1 4 (2)解:共有 12 种可能的结果: (甲,乙) 、 (甲,丙) 、 (甲,丁) 、 (乙,甲) 、 (乙,丙) 、 (乙,丁) 、 (丙,甲) 、 (丙,乙) 、 (丙,丁) 、 (丁,甲) 、 (丁,乙) 、 (丁,丙) (画树状图,列表也可,共有 12 种可能的结果) 它们是等可能的,记“随机抽取 2 名,甲在其中”为事件A, 则事件A发生的可能有 6 种,

14、 1 A 2 P 19、 (1)39 (2)解: 22222 22 1 353839383738393840383.2 5 S 甲 分 乙的体育成绩更好因为xx 甲乙, 22 SS 乙甲,两人的平均成绩相同,但乙的方差较小,说明乙的成绩更 稳定,所以乙的体育成绩更好 (3)变小 20、证:四边形ABCD是平行四边形 BD ,/BE CD EDCF 在BEC和DCF中 BD ,EDCF BECDCF 21、 (1)解:由图像可知:二次函数的图像与x轴的交点坐标为1,0,3,0 设二次函数的表达式为13ya xx 将0,3代入得33a,解得1a , 则二次函数的表达式为13yxx (2)18y (

15、3)1 22、 (1)证明:连接OA,OB,OP PA是O的切线,A为切点 90PAO 在PBO和PAO中, PBPA,OBOA,OPOP PBOPAO 90PBOPAO PBBO,且PB过半径OB的外端 PB是O的切线 (2)220 思路:连接AB 由(1)可知PBPA, 180 40 2 P PABPBA , 圆内接四边形ABCD中180DABC 220DPBCDABCPBA 23、 (1)2,1 a (2)证明:二次函数的表达式为 2 21yaxxa 令0y ,则一元二次方程为 2 210axxa 根的判别式 2 222 4241444213bacaaaaa 2 210a 2 2130a

16、 一元二次方程 2 210axxa 有两个不相等的实数根 不论a为何值,该函数图像与x轴有两个公共点 24、 (1)证明:在ABD和BED中 BEDABC,ADBADB ABDBED ADBD BDDE 又AD是BC边上中线 BDDC ADCD CDDE 2 CDDE DA (2)110 思路:由(1)可知ABDBED, BADEBD ADCD CDDE ,CDEADC, ACDCED ECDDAC 70BACBADDACEBDECD EBC中,18018070110BECEBCECB 25、解: (1)如图,点M即为所求 思路:若BC上一点M满足AMDABD ,则A、B、D、M四点共圆 因此

17、,作ABD外接圆即可,该圆与BC交点即为所求点M (2)如图,点N即为所求 思路:在AB延长线上截取DADE 在(1)的基础上,可知作AED外接圆即可,该圆与BC交点即为所求点N 26、 (1)证明:如图,连接BE, ABAD AEAB ,BADEAB , ABDAEB, ABDAEB , 又CAEB, ABDC, ABAC (2)如图,连接OC,连接AO并延长交BC于点H, 4AF ,5CF , 4 59ABACAFCF ABAC,OBOC, A、O在BC的垂直平分线上 AHBC 又ABAC, AH平分BAC, BAHCAH OAOB, BAHABF CAHABF 又AFBOFA, AFBO

18、FA AFABFB OFOAFA , 即 49 4 rOF OFr 4 9 OFr 4 9 9 4 rr r 18 13 13 r 方法不唯一方法不唯一 如:如图,连接AO并延长交BC于点H, 过点A作/AG BC交BF的延长线于点G 利用AFGCFB可知 4 5 AG BC , 8 5 AG HB 利用AOGHOB可知 8 5 AOAG OHHB 在RtABH和RtOBH中, 利用勾股定理,BH为公共边,即可列方程求解 27、 (1)1250 (2)解:设购买服装x件时,所获得总利润为 1050 元, 根据题意得:602201050 xx , 化简得: 2 505250 xx 解得: 1 15x , 2 35x 1520, 1 15x (舍) 12035 20290a (3)020 x,60yx 2035x, 2 2100yxx 35x ,30yx (4)20m,y的最大值60m; 2025m,y的最大值 2 2100mm ; 2542m,y的最大值1250; 42m,y的最大值30m