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第28讲 图形的相似与位似(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

1、 1 第第 2828 讲讲 图形的相似与位似图形的相似与位似 1比例线段 (1)比例线段:已知四条线段 a,b,c,d,若a b c d或 abcd,那么 a,b,c,d 叫做成比例线段,a,d 叫做比例外,b,c 叫做比例内项;若有a b b c,则 b 叫做 a,c 的比例中项 (2)比例的基本性质及定理 a b c dadbc; a b c d ab b cd d ; a b c d m n(bdn0) acm bdn a b. 4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比 等于相似比,面积

2、比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等,两三角形相似; 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; 三边对应成比例,两三角形相似; 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似; 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 5射影定理 如图,ABC 中,ACB90,CD 是斜边 AB 上的高,则有下列结论 (1)AC 2ADAB; (2)BC2BDAB; (3)CD2ADBD; (4)AC2BC2ADBD; (5)ABCDACBC. 2 6相似三角形的实际应用

3、(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤: 将实际问题所求线段长放在三角形中; 根据已知条件找出一对可能相似的三角形; 证明所找两三角形相似; 根据相似三角形的性质,表示出相应的量;并求解 (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题 如利用光的反射定律求物体的高度,利用影子计算建筑物的高度同一时刻,物高与影长成正比,即身高 影长 建筑物的高度 建筑物的影长. 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等,对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点

4、,这样的图形叫做位似图形这个点 叫做位似中心 (2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标比等于 k 或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小,其步骤为:确定位似中心;确定原图形中各顶点关于位似中 心的对应点;依次连接各对应点描出新图形 考点 1: 相似三角形的性质 【例题 1】 (2019 湖南常德 3 分)如图,在等腰三角形ABC 中,ABAC,图中所有三角形均相似,其中最 小的三角形面积为 1,ABC 的面积为 42,则四边形 DBCE 的面积是( ) 3 A20 B

5、22 C24 D26 【答案】D 利用AFHADE 得到,所以 SAFH9x,SADE16x,则 16x9x7,解得 x1, 从而得到 SADE16,然后计算两个三角形的面积差得到四边形 DBCE 的面积 【解答】解:如图, 根据题意得AFHADE, 设 SAFH9x,则 SADE16x, 16x9x7,解得 x1, SADE16, 四边形 DBCE 的面积421626 故选:D 归纳:1.在三角形问题中计算线段的长度时,若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系,则 考虑证明三角形相似,通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五 种基本思路:(1)若已知平

6、行线,可采用相似三角形的基本定理; (2)若已知一对等角,可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例; (3)若已知两边对应成比例,可找夹 角相等; (4)若已知一对直角,可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例; (5)若已知等腰三 角形,可找顶角相等,或找一对底角相等,或找底和腰对应成比例 考点 2: 相似三角形的判定 【例题 2】在正方形 ABCD 中,AB4,点 P,Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C,点 B 重合),且 保持APQ90,CQ1,求线段 BP 的长 解:分三种情况:设 BPx. 4 当 P 在线段 BC 上时,如图 1,四边形 ABCD 是正

7、方形, BC90. BAPAPB90. APQ90,APBCPQ90. BAPCPQ, ABPPCQ. AB BP PC CQ, 4 x 4x 1 , x1x22. BP2; 当 P 在 CB 的延长线上时,如图 2,同理,得 BP2 22; 当 P 在 BC 的延长线上时,如图 3,同理,得 BP22 2. 归纳:基本图形 (1)斜边高图形 有以下基本结论: BADC,BDAC; ADBCDACAB. (2)一线三等角 有以下基本结论: BC,BDEDFC; 5 BDECFD. 特殊地:若点 D 为 BC 中点,则有BDECFDDFE. 考点 3:相似三角形的综合应用 【例题 3】(2017

8、河北模拟)修建某高速公路,需要通过一座山,指挥部决定从 E,D 两点开挖一个涵洞工 程师从地面选取三个点 A,B,C,且 A,B,D 三点在一条直线上,A,C,E 也在同一条直线上,若已知 AB 27 米,AD500 米,AC15 米,AE900 米,且测得 BC22.5 米 (1)求 DE 的长; (2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力,且质量相当,指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情 况,获得如下信息: 信息一:甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25 天; 信息二:乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5 倍; 信息三:甲工程队每天需要收费 3 500

9、 元,乙工程队每天需要收费 4 000 元 若仅从费用角度考虑问题,试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算 【解析】 :(1)连接 DE. AB27 米,AD500 米, AC15 米,AE900 米, AB AE AC AD 3 100. 又AA, ABCAED. BC DE 22.5 DE 3 100,即 DE750 米 (2)设甲工程队每天开挖涵洞 x 米,则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x 米,依据题意,得 750 x 750 1.5x25,解得 x10. 经检验,x10 是原方程的解 6 则 1.5x15. 甲工程队打通这个涵洞的时间为750 10 75(天), 甲工程队打通这个涵洞所需的

10、费用为 753 500262 500(元); 乙工程队打通这个涵洞的时间为 750 1.5x 750 15 50(天), 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 504 000200 000. 200 000262 500, 选用乙工程队较合算 一、选择题: 1. (2018玉林)两三角形的相似比是 2:3,则其面积之比是( ) A: B2:3 C4:9 D8:27 【答案】C 【解答】解:两三角形的相似比是 2:3, 其面积之比是 4:9, 故选:C 2. (2018临沂) 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1.2m, 测得 AB=1.6m BC=12.4m 则 建筑物

11、CD 的高是( ) A9.3m B10.5m C12.4m D14m 【答案】B 【解答】解:EBCD, ABEACD, 7 =,即=, CD=10.5(米) 故选:B 3. (2019,四川巴中,4 分)如图ABCD,F 为 BC 中点,延长 AD 至 E,使 DE:AD1:3,连结 EF 交 DC 于 点 G,则 SDEG:SCFG( ) A2:3 B3:2 C9:4 D4:9 【答案】D 【解答】解:设 DEx, DE:AD1:3, AD3x, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,BCAD3x, 点 F 是 BC 的中点, CFBCx, ADBC, DEGCFG, () 2( )

12、 2 , 故选:D 4. (2019贵州毕节3 分) 如图, 在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板 (RtACB) 上截取一个正方形 CDEF, 点 D 在边 BC 上,点 E 在斜边 AB 上,点 F 在边 AC 上,若 AF:AC1:3,则这块木板截取正方形 CDEF 后, 剩余部分的面积为( ) 8 A100cm 2 B150cm 2 C170cm 2 D200cm 2 【答案】A 【解答】解:设 AFx,则 AC3x, 四边形 CDEF 为正方形, EFCF2x,EFBC, AEFABC, EF BC AF AC 1 3 , BC6x, 在 RtABC 中,AB 2AC2+BC2,

13、即 302(3x)2+(6x)2, 解得,x25, AC65,BC125, 剩余部分的面积125654545100(cm 2) , 故选:A 5. (2018泸州)如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别在边 AD,CD 上,AF,BE 相交于点 G,若 AE=3ED,DF=CF, 则的值是( ) A B C D 【答案】C 【解答】解:如图作,FNAD,交 AB 于 N,交 BE 于 M 四边形 ABCD 是正方形, 9 ABCD,FNAD, 四边形 ANFD 是平行四边形, D=90, 四边形 ANFD 是解析式, AE=3DE,设 DE=a,则 AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,

14、AN=DF=2a, AN=BN,MNAE, BM=ME, MN=a, FM=a, AEFM, =, 故选:C 二、填空题: 6. 如图,OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形,相似比为 1:2,OCD=90,CO=CD,若 B(1, 0) ,则点 C 的坐标为 【答案】(1,-1) 【解答 】:连接 BC, OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形,相似比为 1:2,且 B(1,0),即 OB=1, OD=2,即 B 为 OD 中点, OC=DC, CBOD, 在 RtOCD 中,CB 为斜边上的中线, CB=OB=BD=1, 10 则 C 坐标为(1,-1), 故答案为

15、:(1,-1) 7. (2019山东省滨州市 5 分)在平面直角坐标系中,ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2,4) ,B(4, 0) ,O(0,0) 以原点 O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,得到CDO,则点 A 的对应点 C 的坐 标是 (1,2)或(1,2) 【答案】 (1,2)或(1,2) 【解答】解:以原点 O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,点 A 的坐标为(2,4) , 点 C 的坐标为(2,4)或(2,4) ,即(1,2)或(1,2) , 故答案为: (1,2)或(1,2) 8. (2018江西)如图,在ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD 是

16、ABC 的平分线,BD 交 AC 于点 E, 则 AE 的长为 【答案】4 【解答】解:BD 为ABC 的平分线, ABD=CBD,ABCD,D=ABD, D=CBD,BC=CD,BC=4,CD=4, ABCD,ABECDE,=,=,AE=2CE, AC=6=AE+CE,AE=4 9. (2018遵义)如图,四边形 ABCD 中,ADBC,ABC=90,AB=5,BC=10,连接 AC、BD,以 BD 为直径 的圆交 AC 于点 E若 DE=3,则 AD 的长为 . 11 【答案】2, 【解答】解:如图,在 RtABC 中,AB=5,BC=10, AC=5 过点 D 作 DFAC 于 F, A

17、FD=CBA, ADBC, DAF=ACB, ADFCAB, , , 设 DF=x,则 AD=x, 在 RtABD 中,BD=, DEF=DBA,DFE=DAB=90, DEFDBA, , , x=2, AD=x=2, 三、解答题: 10. (2018江西)如图,在ABC 中,AB8,BC4,CA6,CDAB,BD 是ABC 的平分线,BD 交 AC 于 12 点 E,求 AE 的长 【解析】 :BD 为ABC 的平分线,ABDCBD. ABCD,DABD. DCBD.BCCD. BC4,CD4. ABCD,ABECDE. AB CD AE CE. 8 4 AE CE.AE2CE. ACAEC

18、E6, AE4. 11. (2019 湖北荆门)(10 分)如图,为了测量一栋楼的高度 OE,小明同学先在操场上 A 处放一面镜子,向 后退到 B 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 E;再将镜子放到 C 处,然后后退到 D 处,恰好再次在镜子中看到 楼的顶部 E(O,A,B,C,D 在同一条直线上) ,测得 AC2m,BD2.1m,如果小明眼睛距地面髙度 BF,DG 为 1.6m,试确定楼的高度 OE 【分析】设 E 关于 O 的对称点为 M,由光的反射定律知,延长 GC、FA 相交于点 M,连接 GF 并延长交 OE 于 点 H,根据 GFAC 得到MACMFG,利用相似三角形的对应边的比相等列

19、式计算即可 【解答】 解:设 E 关于 O 的对称点为 M,由光的反射定律知,延长 GC、FA 相交于点 M, 连接 GF 并延长交 OE 于点 H, GFAC, 13 MACMFG, , , 即:, , OE32, 答:楼的高度 OE 为 32 米 12. (2018福建)如图,在 RtABC 中,C90,AB10,AC8.线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方 向旋转 90得到,EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到,且直线 EF 过点 D. (1)求BDF 的大小; (2)求 CG 的长 【解析】 :(1)线段 AD 是由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到, DA

20、B90,ADAB10. ABD45. EFG 是ABC 沿 CB 方向平移得到, ABEF. BDFABD45. (2)由平移的性质,得 AECG,ABEF, 14 DEADFCABC,ADEDAB180. DAB90, ADE90. ACB90, ADEACB. ADEACB. AD AC AE AB. AC8,ABAD10, AE12.5,由平移的性质,得 CGAE12.5. 13.ABC 中,ABAC,D 为 BC 的中点,以 D 为顶点作MDNB. (1)如图 1,当射线 DN 经过点 A 时,DM 交边 AC 于点 E,不添加辅助线,写出图中所有与ADE 相似的三角 形; (2)如图

21、 2,将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转,DM,DN 分别交线段 AC,AB 于点 E,F(点 E 与点 A 不重合), 不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论; (3)在图 2 中,若 ABAC10,BC12,当 SDEF1 4S ABC时,求线段 EF 的长 【点拨】(1)由题意得 ADBD,DEAC,可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究;(2)依据三角形 内角和定理及平角定义,结合等式的性质,得BFDCDE,又由BC,可得BDFCED;由相似 三角形的性质得BD CE DF ED,进而有 CD CE DF ED,从而CEDDEF;(3)首先利用DEF 的面积等于A

22、BC 的面积 的1 4,求出点 D 到 AB 的距离,进而利用 S DEF的值求出 EF 即可 【解答】解:(1)图 1 中与ADE 相似的有ABD,ACD,DCE. (2)BDFCEDDEF. 证明:BBDFBFD180,EDFBDFCDE180, 又EDFB,BFDCDE. 15 由 ABAC,得BC,BDFCED.BD CE DF ED. BDCD,CD CE DF ED. 又CEDF,BDFCEDDEF. (3)连接 AD,过点 D 作 DGEF,DHBF,垂足分别为 G,H. ABAC,D 是 BC 的中点,ADBC,BD1 2BC6. 在 RtABD 中,AD 2AB2BD2,AD

23、8. SABC1 2BCAD48.S DEF1 4S ABC12. 又1 2ADBD 1 2ABDH,DH4.8. BDFDEF,DFBEFD. DGEF,DHBF,DHDG4.8. SDEF1 2EFDG12,EF5. 14. (2019湖南常德10 分)在等腰三角形ABC 中,ABAC,作 CMAB 交 AB 于点 M,BNAC 交 AC 于点 N (1)在图 1 中,求证:BMCCNB; (2)在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P,过 P 作 PEAB 交 CM 于点 E,作 PFAC 交 BN 于点 F,求证:PE+PF BM; (3)在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上

24、,类似(2)过 P 作 PEAB 交 CM 的延长线于点 E,作 PFAC 交 NB 的延长线于点 F,求证:AMPF+OMBNAMPE 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到ABCACB,利用 AAS 定理证明; (2)根据全等三角形的性质得到 BMNC,证明CEPCMB、BFPBNC,根据相似三角形的性质列出比 例式,证明结论; 16 (3)根据BMCCNB,得到 MCBN,证明AMCOMB,得到,根据比例的性质证明即可 【解答】证明:(1)ABAC, ABCACB, CMAB,BNAC, BMCCNB90, 在BMC 和CNB 中, , BMCCNB(AAS); (2)BMCCNB, BMNC, PEAB, CEPCMB, , PFAC, BFPBNC, , , PE+PFBM; (3)同(2)的方法得到,PEPFBM, BMCCNB, MCBN, ANB90, MAC+ABN90, OMB90, MOB+ABN90, MACMOB,又AMCOMB90, 17 AMCOMB, AMMBOMMC, AM(PEPF)OMBN, AMPF+OMBNAMPE