1、 1 第第 2828 讲讲 图形的相似与位似图形的相似与位似 1比例线段 (1)比例线段：已知四条线段 a，b，c，d，若a b c d或 abcd，那么 a，b，c，d 叫做成比例线段，a，d 叫做比例外，b，c 叫做比例内项；若有a b b c，则 b 叫做 a，c 的比例中项 (2)比例的基本性质及定理 a b c dadbc； a b c d ab b cd d ； a b c d m n(bdn0) acm bdn a b. 4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比 等于相似比，面积
2、比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似； 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 5射影定理 如图，ABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的高，则有下列结论 (1)AC 2ADAB； (2)BC2BDAB； (3)CD2ADBD； (4)AC2BC2ADBD； (5)ABCDACBC. 2 6相似三角形的实际应用
3、(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： 将实际问题所求线段长放在三角形中； 根据已知条件找出一对可能相似的三角形； 证明所找两三角形相似； 根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解 (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题 如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比，即身高 影长 建筑物的高度 建筑物的影长. 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
4、，这样的图形叫做位似图形这个点 叫做位似中心 (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标比等于 k 或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中 心的对应点；依次连接各对应点描出新图形 考点 1： 相似三角形的性质 【例题 1】 （2019 湖南常德 3 分）如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最 小的三角形面积为 1，ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ） 3 A20 B
5、22 C24 D26 【答案】D 利用AFHADE 得到，所以 SAFH9x，SADE16x，则 16x9x7，解得 x1， 从而得到 SADE16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形 DBCE 的面积 【解答】解：如图， 根据题意得AFHADE， 设 SAFH9x，则 SADE16x， 16x9x7，解得 x1， SADE16， 四边形 DBCE 的面积421626 故选：D 归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则 考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五 种基本思路：(1)若已知平
6、行线，可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹 角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三 角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例 考点 2： 相似三角形的判定 【例题 2】在正方形 ABCD 中，AB4，点 P，Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C，点 B 重合)，且 保持APQ90，CQ1，求线段 BP 的长 解：分三种情况：设 BPx. 4 当 P 在线段 BC 上时，如图 1，四边形 ABCD 是正
7、方形， BC90. BAPAPB90. APQ90，APBCPQ90. BAPCPQ， ABPPCQ. AB BP PC CQ， 4 x 4x 1 ， x1x22. BP2； 当 P 在 CB 的延长线上时，如图 2，同理，得 BP2 22； 当 P 在 BC 的延长线上时，如图 3，同理，得 BP22 2. 归纳：基本图形 (1)斜边高图形 有以下基本结论： BADC，BDAC； ADBCDACAB. (2)一线三等角 有以下基本结论： BC，BDEDFC； 5 BDECFD. 特殊地：若点 D 为 BC 中点，则有BDECFDDFE. 考点 3：相似三角形的综合应用 【例题 3】(2017
8、河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从 E，D 两点开挖一个涵洞工 程师从地面选取三个点 A，B，C，且 A，B，D 三点在一条直线上，A，C，E 也在同一条直线上，若已知 AB 27 米，AD500 米，AC15 米，AE900 米，且测得 BC22.5 米 (1)求 DE 的长； (2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情 况，获得如下信息： 信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25 天； 信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5 倍； 信息三：甲工程队每天需要收费 3 500
9、 元，乙工程队每天需要收费 4 000 元 若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算 【解析】 ：(1)连接 DE. AB27 米，AD500 米， AC15 米，AE900 米， AB AE AC AD 3 100. 又AA， ABCAED. BC DE 22.5 DE 3 100，即 DE750 米 (2)设甲工程队每天开挖涵洞 x 米，则乙工程队每天开挖涵洞 1.5x 米，依据题意，得 750 x 750 1.5x25，解得 x10. 经检验，x10 是原方程的解 6 则 1.5x15. 甲工程队打通这个涵洞的时间为750 10 75(天)， 甲工程队打通这个涵洞所需的
10、费用为 753 500262 500(元)； 乙工程队打通这个涵洞的时间为 750 1.5x 750 15 50(天)， 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 504 000200 000. 200 000262 500， 选用乙工程队较合算 一、选择题： 1. （2018玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ） A： B2：3 C4：9 D8：27 【答案】C 【解答】解：两三角形的相似比是 2：3， 其面积之比是 4：9， 故选：C 2. （2018临沂） 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1.2m， 测得 AB=1.6m BC=12.4m 则 建筑物
11、CD 的高是（ ） A9.3m B10.5m C12.4m D14m 【答案】B 【解答】解：EBCD， ABEACD， 7 =，即=， CD=10.5（米） 故选：B 3. （2019，四川巴中，4 分）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于 点 G，则 SDEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 【答案】D 【解答】解：设 DEx， DE：AD1：3， AD3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BCAD3x， 点 F 是 BC 的中点， CFBCx， ADBC， DEGCFG， （） 2（ ）
12、 2 ， 故选：D 4. （2019贵州毕节3 分） 如图， 在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板 （RtACB） 上截取一个正方形 CDEF， 点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后， 剩余部分的面积为（ ） 8 A100cm 2 B150cm 2 C170cm 2 D200cm 2 【答案】A 【解答】解：设 AFx，则 AC3x， 四边形 CDEF 为正方形， EFCF2x，EFBC， AEFABC， EF BC AF AC 1 3 ， BC6x， 在 RtABC 中，AB 2AC2+BC2，
13、即 302（3x）2+（6x）2， 解得，x25， AC65，BC125， 剩余部分的面积125654545100（cm 2） ， 故选：A 5. （2018泸州）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF， 则的值是（ ） A B C D 【答案】C 【解答】解：如图作，FNAD，交 AB 于 N，交 BE 于 M 四边形 ABCD 是正方形， 9 ABCD，FNAD， 四边形 ANFD 是平行四边形， D=90， 四边形 ANFD 是解析式， AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，
14、AN=DF=2a， AN=BN，MNAE， BM=ME， MN=a， FM=a， AEFM， =， 故选：C 二、填空题： 6. 如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD=90，CO=CD，若 B（1， 0） ，则点 C 的坐标为 【答案】（1，-1） 【解答 】：连接 BC， OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，且 B（1，0），即 OB=1， OD=2，即 B 为 OD 中点， OC=DC， CBOD， 在 RtOCD 中，CB 为斜边上的中线， CB=OB=BD=1， 10 则 C 坐标为（1，-1）， 故答案为
15、：（1，-1） 7. （2019山东省滨州市 5 分）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4， 0） ，O（0，0） 以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐 标是 （1，2）或（1，2） 【答案】 （1，2）或（1，2） 【解答】解：以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点 A 的坐标为（2，4） ， 点 C 的坐标为（2，4）或（2，4） ，即（1，2）或（1，2） ， 故答案为： （1，2）或（1，2） 8. （2018江西）如图，在ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是
16、ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E， 则 AE 的长为 【答案】4 【解答】解：BD 为ABC 的平分线， ABD=CBD，ABCD，D=ABD， D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4， ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE， AC=6=AE+CE，AE=4 9. （2018遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径 的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为 . 11 【答案】2， 【解答】解：如图，在 RtABC 中，AB=5，BC=10， AC=5 过点 D 作 DFAC 于 F， A
17、FD=CBA， ADBC， DAF=ACB， ADFCAB， ， ， 设 DF=x，则 AD=x， 在 RtABD 中，BD=， DEF=DBA，DFE=DAB=90， DEFDBA， ， ， x=2， AD=x=2， 三、解答题： 10. (2018江西)如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于 12 点 E，求 AE 的长 【解析】 ：BD 为ABC 的平分线，ABDCBD. ABCD，DABD. DCBD.BCCD. BC4，CD4. ABCD，ABECDE. AB CD AE CE. 8 4 AE CE.AE2CE. ACAEC
18、E6， AE4. 11. (2019 湖北荆门)（10 分）如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向 后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到 楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上） ，测得 AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE 【分析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M，连接 GF 并延长交 OE 于 点 H，根据 GFAC 得到MACMFG，利用相似三角形的对应边的比相等列
19、式计算即可 【解答】 解：设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M， 连接 GF 并延长交 OE 于点 H， GFAC， 13 MACMFG， ， ， 即：， ， OE32， 答：楼的高度 OE 为 32 米 12. (2018福建)如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8.线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方 向旋转 90得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D. (1)求BDF 的大小； (2)求 CG 的长 【解析】 ：(1)线段 AD 是由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到， DA
20、B90，ADAB10. ABD45. EFG 是ABC 沿 CB 方向平移得到， ABEF. BDFABD45. (2)由平移的性质，得 AECG，ABEF， 14 DEADFCABC，ADEDAB180. DAB90， ADE90. ACB90， ADEACB. ADEACB. AD AC AE AB. AC8，ABAD10， AE12.5，由平移的性质，得 CGAE12.5. 13.ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDNB. (1)如图 1，当射线 DN 经过点 A 时，DM 交边 AC 于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角 形； (2)如图
21、 2，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于点 E，F(点 E 与点 A 不重合)， 不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论； (3)在图 2 中，若 ABAC10，BC12，当 SDEF1 4S ABC时，求线段 EF 的长 【点拨】(1)由题意得 ADBD，DEAC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形 内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得BFDCDE，又由BC，可得BDFCED；由相似 三角形的性质得BD CE DF ED，进而有 CD CE DF ED，从而CEDDEF；(3)首先利用DEF 的面积等于A
22、BC 的面积 的1 4，求出点 D 到 AB 的距离，进而利用 S DEF的值求出 EF 即可 【解答】解：(1)图 1 中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE. (2)BDFCEDDEF. 证明：BBDFBFD180，EDFBDFCDE180， 又EDFB，BFDCDE. 15 由 ABAC，得BC，BDFCED.BD CE DF ED. BDCD，CD CE DF ED. 又CEDF，BDFCEDDEF. (3)连接 AD，过点 D 作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，H. ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，BD1 2BC6. 在 RtABD 中，AD 2AB2BD2，AD
23、8. SABC1 2BCAD48.S DEF1 4S ABC12. 又1 2ADBD 1 2ABDH，DH4.8. BDFDEF，DFBEFD. DGEF，DHBF，DHDG4.8. SDEF1 2EFDG12，EF5. 14. (2019湖南常德10 分)在等腰三角形ABC 中，ABAC，作 CMAB 交 AB 于点 M，BNAC 交 AC 于点 N (1)在图 1 中，求证：BMCCNB； (2)在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 PEAB 交 CM 于点 E，作 PFAC 交 BN 于点 F，求证：PE+PF BM； (3)在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上
24、，类似(2)过 P 作 PEAB 交 CM 的延长线于点 E，作 PFAC 交 NB 的延长线于点 F，求证：AMPF+OMBNAMPE 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到ABCACB，利用 AAS 定理证明； (2)根据全等三角形的性质得到 BMNC，证明CEPCMB、BFPBNC，根据相似三角形的性质列出比 例式，证明结论； 16 (3)根据BMCCNB，得到 MCBN，证明AMCOMB，得到，根据比例的性质证明即可 【解答】证明：(1)ABAC， ABCACB， CMAB，BNAC， BMCCNB90， 在BMC 和CNB 中， ， BMCCNB(AAS)； (2)BMCCNB， BMNC， PEAB， CEPCMB， ， PFAC， BFPBNC， ， ， PE+PFBM； (3)同(2)的方法得到，PEPFBM， BMCCNB， MCBN， ANB90， MAC+ABN90， OMB90， MOB+ABN90， MACMOB，又AMCOMB90， 17 AMCOMB， AMMBOMMC， AM(PEPF)OMBN， AMPF+OMBNAMPE
