1、 1 第第 1818 讲讲 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用 1锐角三角函数：如图，在 RtABC 中，设C90， A、B、C 对应的边分别为 a，b，c，则：a 的正弦 sinAa c； a 的余弦 cosA_；a 的正切 tanAa b. 2特殊角的三角函数值 30，45，60的三角函数值，如下表： 正弦 余弦 正切 30 1 2 3 2 45 2 2 1 60 1 2 3 3.解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 图形 解法 一直角边和一锐角(a， A) B90A，c a sinA，b a tanA 2 已知斜边和一个锐角(c， A) B90A，acsinA, b ccosA
2、已知两直角边(a，b) c a2b2，由 tanAa b求A，B 90A 已知斜边和一条直角边 (c，a) b c2a2，由 sinAa c求A，B 90A 4锐角三角函数的实际应用中的常见概念 (1)铅垂线：重力线方向的直线； (2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度， 用 l 表示坡的水平宽度，用 i 表示坡度，即 ih
3、ltan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90的锐角叫做方向角 注意：东北方向指北偏东 45方向，东南方向指南偏东 45方向，西北方向指北偏西 45方向，西南方向 指南偏西 45方向我们一般画图的方位为上北下南，左西右东. 3 考点 1：直角三角形的边角关系 【例题 1】如图，AD 是ABC 的中线，tanB1 3，cosC 2 2 ，AC 2.求： (1)BC 的长； (2)sinADC 的值 归纳： 1解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角 2在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有
4、已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾 股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解 3若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角 形求解 4解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具 考点 2：锐角三角函数的实际应用 【例题 2】 （2019甘肃省庆阳市8 分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高 度忽略不计） ，其中灯臂 AC40cm，灯罩 CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60CD 可以绕点 C 上下调 节一定的角度使用发现：当 CD 与水平线所成的角为 30时，台灯光线最佳现测得点 D
5、到桌面的距离为 49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：3取 1.73） 4 归纳： 解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形” ，进而利用直角 三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示： (1)构造一个直角三角形： (2)构造两个直角三角形： 不同地点测量： 同一地点测量： 一、选择题： 1. （2018宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，PCA=35，则小河宽 PA 等于（ ） 5 A100sin35米 B100sin55米 C1
6、00tan35米 D100tan55米 2. (2019 湖北宜昌 3 分）如图，在 54 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，ABC 的顶点都在 这些小正方形的顶点上，则 sinBAC 的值为（ ） A 4 3 B 3 4 C 3 5 D 4 5 3. 如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tanB的值为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 2 4 4. （2019广东省广州市3 分） 如图， 有一斜坡 AB， 坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m， 斜坡的倾斜角是BAC， 若 tanBAC 2 5 ，则
7、此斜坡的水平距离 AC 为（ ） A75m B50m C30m D12m 5. 已知ABC 中，C=90，tanA= 1 2 ，D 是 AC 上一点，CBD=A，则 sinABD=（ ） A. 3 5 B. 10 5 C. 3 10 D. 10 10 二、填空题： 6 6. （2018齐齐哈尔）四边形 ABCD 中，BD 是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13， 则线段 CD= 7. （2018眉山）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、 CD 相交于点 O，则 tanAOD= 2 8. （2018无锡）已
8、知ABC 中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC 的面积等于 9. （2019浙江湖州4 分）有一种落地晾衣架如图 1 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调 整晾衣杆的高度 图 2 是支撑杆的平面示意图， AB 和 CD 分别是两根不同长度的支撑杆， 夹角BOD 若 AO85cm，BODO65cm问：当 74时，较长支撑杆的端点 A 离地面的高度 h 约为 120 cm （参 考数据：sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6 ） 三、解答题： 10. （2018湖北荆州10 分）问题：已知 、 均为锐角，tan=，tan=，求 + 的度数 探究：
9、（1）用 6 个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 1） ，请借助这个网格图求出 + 的度数； 延伸： （2）设经过图中 M、P、H 三点的圆弧与 AH 交于 R，求的弧长 7 11. （2019湖北十堰7 分） 如图， 拦水坝的横断面为梯形 ABCD， AD3m， 坝高 AEDF6m， 坡角 45， 30，求 BC 的长 12. （2019江苏宿迁10 分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共 享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中 AB、CD 都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm，BCD 64，BC60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm （1）求坐垫 E 到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒适小明的腿长约为 80cm， 现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E，求 EE的长 （结果精确到 0.1cm，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05） 8 13. 如图，已知，在ABC 中，ABAC2 5，sinB2 5 5 ，D 为边 BC 的中点，E 为边 BC 的延长线上一点， 且 CEBC.连接 AE，F 为线段 AE 的中点求： (1)线段 DE 的长； (2)CAE 的正切值