1、 1 第第 2828 讲讲 图形的相似与位似图形的相似与位似 1比例线段 (1)比例线段：已知四条线段 a，b，c，d，若a b c d或 abcd，那么 a，b，c，d 叫做成比例线段，a，d 叫做比例外，b，c 叫做比例内项；若有a b b c，则 b 叫做 a，c 的比例中项 (2)比例的基本性质及定理 a b c dadbc； a b c d ab b cd d ； a b c d m n(bdn0) acm bdn a b. 4相似三角形的性质及判定 (1)相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比 等于相似比，面积
2、比等于相似比的平方 (2)相似三角形的判定 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似； 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； 直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 5射影定理 如图，ABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的高，则有下列结论 (1)AC 2ADAB； (2)BC2BDAB； (3)CD2ADBD； (4)AC2BC2ADBD； (5)ABCDACBC. 2 6相似三角形的实际应用
3、(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： 将实际问题所求线段长放在三角形中； 根据已知条件找出一对可能相似的三角形； 证明所找两三角形相似； 根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解 (2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题 如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度同一时刻，物高与影长成正比，即身高 影长 建筑物的高度 建筑物的影长. 7相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例 (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 8图形的位似 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
4、，这样的图形叫做位似图形这个点 叫做位似中心 (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 (3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标比等于 k 或k. (4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中 心的对应点；依次连接各对应点描出新图形 考点 1： 相似三角形的性质 【例题 1】 （2019 湖南常德 3 分）如图，在等腰三角形ABC 中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最 小的三角形面积为 1，ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ） 3 A20 B
5、22 C24 D26 归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则 考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2判定三角形相似的五 种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理； (2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例； (3)若已知两边对应成比例，可找夹 角相等； (4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)若已知等腰三 角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例 考点 2： 相似三角形的判定 【例题 2】在正方形 ABCD
6、中，AB4，点 P，Q 分别在直线 CB 与射线 DC 上(点 P 不与点 C，点 B 重合)，且 保持APQ90，CQ1，求线段 BP 的长 考点 3：相似三角形的综合应用 【例题 3】(2017河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从 E，D 两点开挖一个涵洞工 程师从地面选取三个点 A，B，C，且 A，B，D 三点在一条直线上，A，C，E 也在同一条直线上，若已知 AB 27 米，AD500 米，AC15 米，AE900 米，且测得 BC22.5 米 (1)求 DE 的长； (2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情 况
7、，获得如下信息： 信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用 25 天； 信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的 1.5 倍； 信息三：甲工程队每天需要收费 3 500 元，乙工程队每天需要收费 4 000 元 若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算 4 一、选择题： 1. （2018玉林）两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ） A： B2：3 C4：9 D8：27 2. （2018临沂） 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1.2m， 测得 AB=1.6m BC=12.4m 则 建筑物 CD 的高是（ ） A
8、9.3m B10.5m C12.4m D14m 3. （2019，四川巴中，4 分）如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于 点 G，则 SDEG：SCFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 4. （2019贵州毕节3 分） 如图， 在一块斜边长 30cm 的直角三角形木板 （RtACB） 上截取一个正方形 CDEF， 点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF：AC1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后， 剩余部分的面积为（ ） 5 A100cm 2 B150cm 2 C170
9、cm 2 D200cm 2 5. （2018泸州）如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF， 则的值是（ ） A B C D 二、填空题： 6. 如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，OCD=90，CO=CD，若 B（1， 0） ，则点 C 的坐标为 7. （2019山东省滨州市 5 分）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（4， 0） ，O（0，0） 以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐 标是
10、8. （2018江西）如图，在ABC 中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E， 则 AE 的长为 6 9. （2018遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径 的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为 . 三、解答题： 10. (2018江西)如图，在ABC 中，AB8，BC4，CA6，CDAB，BD 是ABC 的平分线，BD 交 AC 于 点 E，求 AE 的长 11. (2019 湖北荆门)（10 分）如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操
11、场上 A 处放一面镜子，向 后退到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到 楼的顶部 E（O，A，B，C，D 在同一条直线上） ，测得 AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m，试确定楼的高度 OE 12. (2018福建)如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8.线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方 向旋转 90得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D. (1)求BDF 的大小； (2)求 CG 的长 7 13.ABC 中，ABAC，D 为 BC 的
12、中点，以 D 为顶点作MDNB. (1)如图 1，当射线 DN 经过点 A 时，DM 交边 AC 于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角 形； (2)如图 2，将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于点 E，F(点 E 与点 A 不重合)， 不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论； (3)在图 2 中，若 ABAC10，BC12，当 SDEF1 4S ABC时，求线段 EF 的长 14. (2019湖南常德10 分)在等腰三角形ABC 中，ABAC，作 CMAB 交 AB 于点 M，BNAC 交 AC 于点 N (1)在图 1 中，求证：BMCCNB； (2)在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 PEAB 交 CM 于点 E，作 PFAC 交 BN 于点 F，求证：PE+PF BM； (3)在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似(2)过 P 作 PEAB 交 CM 的延长线于点 E，作 PFAC 交 NB 8 的延长线于点 F，求证：AMPF+OMBNAMPE