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第20讲 图形的平移、对称与旋转(教师版)备战2020年中考考点讲练案

1、 1 第 20 讲 图形的平移、对称与旋转 【考点导引】 1.理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念,并掌握它们的性质 2能按平移、旋转或对称的要求作出简单的图形 3探索成轴对称或中心对称的平面图形的性质 4运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 【难点突破】 1. 点的坐标在变换中的规律: (1)平移:左右平移时横坐标左减右加,纵坐标不变;上下平移时纵坐标上 加下减,横坐标不变; (2)关于坐标轴对称,与其同名的坐标不变,另一个坐标变为相反数; (3)关于原 点对称,其坐标互为相反数; (4)点(x,y)关于原点顺时针旋转 90 后的点坐标为(y,x),点(

2、x,y)关于原 点逆时针旋转 90 后的点坐标为(y, x) 注意: 研究有关点旋转时点的坐标变化规律时, 若旋转方向不明, 需分顺时针和逆时针两种情况进行讨论 2. (1)轴对称图形是指一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合的图形,注意与中心对 称图形区分开来,中心对称图形是指一个图形绕某个点旋转 180 后能与自身重合的图形中心对称图形的 对称中心是一个点,轴对称图形的对称轴是直线;中心对称图形的对称中心只有一个,而轴对称图形的对 称轴可能有多条一般地,正偶数多边形既是中心对称图形又是轴对称图形,正奇数多边形是轴对称图形 但不是中心对称图形,它们的对称轴条数和边数一致 (2)

3、轴对称图形与轴对称、中心对称图形与中心对称,是不同的概念,不要把它们混淆 3. 应用轴对称的性质构造全等三角形,揭示图形中隐含的相等线段或相等的角,对于图形中隐含的几个点 到某一定点的距离相等,往往构造圆,应用圆的性质解决问题比较简便。 4. 识别中心对称图形的方法是根据概念,将这个图形绕某一点旋转 180 ,如果旋转后的图形能够与自身重 合,那么这个图形就是中心对称图形,这个点是对称中心而识别轴对称图形的方法是把一个图形沿着一 条直线翻折,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就是轴对称图形 【解题策略】 转化思想:有关几条线段之和最短的问题,都是把它们转化到同一条直线上,然后利用“两

4、点之间线段最短” 来解决 【典例精析】 类型一:轴对称图形与中心对称图形的识别 【例 1】(2019云南4 分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 2 A B C D 【答案】D 【解答】解:根据轴对称和中心对称定义可知,A 选项是轴对称,B 选项既是轴对称又是中心对称,C 选项 是轴对称,D 选项是轴对称图形,故选 D 类型二:图形的平移 【例 2】 (2019湖北省随州市3 分) 如图, 在平面直角坐标系中, RtABC 的直角顶点 C 的坐标为 (1, 0) , 点 A 在 x 轴正半轴上,且 AC=2将ABC 先绕点 C 逆时针旋转 90 ,再向左平移 3 个单位,则变

5、换后点 A 的对应点的坐标为_ 【答案】(-2,2) 【解析】解:点 C 的坐标为(1,0),AC=2, 点 A 的坐标为(3,0), 如图所示,将 RtABC 先绕点 C 逆时针旋转 90 , 则点 A的坐标为(1,2), 再向左平移 3 个单位长度,则变换后点 A的对应点坐标为(-2,2),故答案为:(-2,2) 类型三:图形的对称 【例 3】 (2019 浙江丽水 3 分)将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图,再沿虚线剪去一个角, 展开铺平后得到图,其中 FM,GN 是折痕若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等,则的值 3 是( ) A 52 2 B21 C D 2

6、2 【答案】A 【解答】解:连接 HF,设直线 MH 与 AD 边的交点为 P,如图: 由折叠可知点 P、H、F、M 四点共线,且 PHMF, 设正方形 ABCD 的边长为 2a, 则正方形 ABCD 的面积为 4a2, 若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 的面积相等 由折叠可知正方形 EFGH 的面积 1 5 正方形 ABCD 的面积 2 4 5 a, 正方形 EFGH 的边长 GF 2 4 5 a 2 5 5 a HF2GF 2 10 5 a MFPH 2 10 2 5 2 aa 510 5 a 510 5 a a2 5 5 a 52 2 故选:A 4 类型四:图形的旋转 【例 4】

7、 (2019湖北省荆门市3 分)如图,RtOCB 的斜边在 y 轴上,OC3,含 30 角的顶点与原点重 合,直角顶点 C 在第二象限,将 RtOCB 绕原点顺时针旋转 120 后得到OCB,则 B 点的对应点 B的坐 标是( ) A (3,1) B (1,3) C (2,0) D (3,0) 【答案】A 【解答】解:如图, 在 RtOCB 中,BOC30 , BC 3 3 OC 3 3 31, RtOCB 绕原点顺时针旋转 120 后得到OCB, OCOC3,BCBC1,BCOBCO90 , 点 B的坐标为(3,1) 故选:A 类型五:平移、旋转作图 【例 5】(2019广西北部湾8 分)如

8、图,在平面直角坐标系中,已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(2, 1) 、B(1,2) 、C(3,3). (1)将ABC 向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1,请画出A1B1C1; 5 (2)请画出ABC 关于 y 轴对称的A2B2C2; (3)请写出 A1、A2的坐标. 【答案】解:(1)如图所示:A1B1C1,即为所求; (2)如图所示:A2B2C2,即为所求; (3)A1(2,3),A2(-2,-1) 【解析】 (1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案; (3)利用所画图象得出对应点坐标 此题主要考查了轴对称变换以及

9、平移变换,正确得出对应点位置是解题关键 【例题 6】(2019浙江丽水12 分)如图,在等腰 RtABC 中,ACB90 ,AB214,点 D,E 分别在 边 AB,BC 上,将线段 ED 绕点 E 按逆时针方向旋转 90 得到 EF (1)如图 1,若 ADBD,点 E 与点 C 重合,AF 与 DC 相交于点 O求证:BD2DO (2)已知点 G 为 AF 的中点 如图 2,若 ADBD,CE2,求 DG 的长 6 若 AD6BD,是否存在点 E,使得DEG 是直角三角形?若存在,求 CE 的长;若不存在,试说明理由 【答案】(1)见证明过程 (2) 5 2 2 6 22或 18214或

10、2 【解答】(1)证明:如图 1,CACB,ACB90 ,BDAD, CDAB,CDADBD, CDCF,ADCF, ADCDCF90 ,ADCF, 四边形 ADFC 是平行四边形,ODOC, BD2OD (2)解:如图 2,作 DTBC 于点 T,FHBC 于 H 由题意:BDADCD72,BC2BD14, DTBC,BTTC7, EC2,TE5, DTEEHFDEF90 , 7 DET+TDE90 ,DET+FEH90 ,TDEFEH, EDEF,DTEEHF(AAS),FHET5, DDBEDFE45 ,B,D,E,F 四点共圆, DBF+DEF90 ,DBF90 , DBE45 ,FB

11、H45 , BHF90 ,HBFHFB45 , BHFH5,BF52, ADCABF90 ,DGBF, ADDB,AGGF, DG 1 2 BF 5 2 2 解:如图 31 中,当DEG90 时,F,E,G,A 共线,作 DTBC 于点 T,FHBC 于 H设 ECx AD6BD,BDAB22, DTBC,DBT45 ,DTBT2, DTEEHF,EHDT2,BHFH12x, FHAC, 14 122x x , 整理得:x212x+280,解得 x6 22 如图 32 中,当EDG90 时,取 AB 的中点 O,连接 OG作 EHAB 于 H 8 设 ECx,由 2可知 BF2 (12x),O

12、G 1 2 BF 2 2 (12x), EHDEDGDOG90 , ODG+OGD90 ,ODG+EDH90 ,DGOHDE, EHDDOG, , 整理得:x236x+2680,解得 x182或 18+2(舍弃), 如图 33 中,当DGE90 时,取 AB 的中点 O,连接 OG,CG,作 DTBC 于 T,FHBC 于 H,EK CG 于 K设 ECx DBEDFE45 ,D,B,F,E 四点共圆,DBF+DEF90 , DEF90 ,DBF90 , AOOB,AGGF,OGBF, AOGABF90 ,OGAB, OG 垂直平分线段 AB,CACB,O,G,C 共线, 由DTEEHF,可得

13、 EHDTBT2,ETFH12x,BF2 (12x), OGBF 2 2 (12x),CKEK 2 2 x,GK72 2 2 (12x) 2 2 x, 由OGDKEG,可得, ,解得 x2 综上所述,满足条件的 EC 的值为 6 22或 18214或 2 9 【真题检测】 1. (2019四川省达州市3 分)剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,轴对称图形是( ) AB C D 【答案】D 【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项不合题意; B、不是轴对称图形,故此选项不合题意; C、不是轴对称图形,故此选项不合题意; D、是轴对称图形,故此选项符合题意; 故选:D 2. (2019,山东

14、枣庄,3 分)在平面直角坐标系中,将点 A(1,2)向上平移 3 个单位长度,再向左平 移 2 个单位长度,得到点 A,则点 A的坐标是( ) A (1,1) B (1,2) C (1,2) D (1,2) 【答案】A 【解答】解:将点 A(1,2)向上平移 3 个单位长度,再向左平移 2 个单位长度,得到点 A, 点 A的横坐标为 121,纵坐标为2+31, A的坐标为(1,1) 故选:A 10 3. (2019 湖北宜昌 3 分)如图,平面直角坐标系中,点 B 在第一象限,点 A 在 x 轴的正半轴上,AOB B30 ,OA2,将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 ,点 B 的对应点 B的

15、坐标是( ) A (1,2+3) B (3,3) C (3,2+3) D (3,3) 【答案】B 【解答】解:如图,作 BHy 轴于 H 由题意:OAAB2,BAH60 , AHAB1,BH3, OH3, B(3,3) , 故选:B 4. (2019河北省2 分)对于题目:“如图 1,平面上,正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形,它可以在正 方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整 数 n”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长 x,再取最小整数 n 甲:如图 2,思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去;结果取 n13 乙

16、:如图 3,思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取 n14 丙:如图 4,思路是当 x 为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取 n13 下列正确的是( ) 11 A甲的思路错,他的 n 值对 B乙的思路和他的 n 值都对 C甲和丙的 n 值都对 D甲、乙的思路都错,而丙的思路对 【答案】B 【解答】解:甲的思路正确,长方形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为 n14; 乙的思路与计算都正确; 乙的思路与计算都错误,图示情况不是最长; 5. (2019湖南益阳4 分)在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中, ABC 的顶点都在格点上, 将ABC

17、 绕点 O 按顺时针方向旋转得到ABC,使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 【答案】90 【解答】解:根据旋转角的概念:对应点与旋转中心连线的夹角,可知BOB是旋转角,且BOB90 , 故答案为 90 7. (2019海南省4 分)如图,将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 (0 90 )得到 AE,直角 边 AC 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 )得到 AF,连结 EF若 AB3,AC2,且 +B,则 EF 【答案】 【解答】解:由旋转的性质可得 AEAB3,ACAF2, 12 B+BAC90 ,且 +B, BAC+90 EAF90 EF 故答案为: 8. (2019湖南

18、常德3 分)如图, 已知ABC 是等腰三角形, ABAC, BAC45 , 点 D 在 AC 边上, 将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45 得到ACD,且点 D、D、B 三点在同一条直线上,则ABD 的度数是 【答案】22.5 【解答】解:将ABD 绕点 A 逆时针旋转 45 得到ACD, BACCAD45 ,ADAD,ADD67.5 ,DAB90 , ABD22.5 故答案为 22.5 9. (2019, 山西, 3 分) 如图, 在ABC 中, BAC=90 , AB=AC=10cm, 点 D 为ABC 内一点, BAD=15 , AD=6cm,连接 BD,将ABD 绕点 A 逆时针方向旋

19、转,使 AB 与 AC 重合,点 D 的对应点 E,连接 DE, DE 交 AC 于点 F,则 CF 的长为 cm. 【解析】过点 A 作 AGDE 于点 G,由旋转可知:AD=AE,DAE=90 ,CAE=BAD=15 AED=45 ;在AEF 中:AFD=AED+CAE=60 在 RtADG 中:AG=DG=23 2 AD 在 RtAFG 中:622,6 3 FGAF AG GF 13 6210AFACCF 故答案为:6210 10. (2019四川省广安市8 分)在数学活动课上,王老师要求学生将图 1 所示的 3 3 正方形方格纸,剪掉 其中两个方格,使之成为轴对称图形规定:凡通过旋转能

20、重合的图形视为同一种图形,如图 2 的四幅图 就视为同一种设计方案(阴影部分为要剪掉部分) 请在图中画出 4 种不同的设计方案,将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑(每个 3 3 的正方形方格画一种, 例图除外) 【答案】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得 【解答】解:如图所示 11. (2019江苏苏州8 分)如图,ABC中,点E在BC边上,AEAB,将线段AC绕点A旋转到AF的位 置,使得CAFBAE ,连接EF,EF与AC交于点G (1)求证:EFBC; (2)若65ABC,28ACB,求FGC的度数. 14 【解答】解: (1)CAFBAE BACEAF AEABACAF又, B

21、ACEAF SAS EFBC (2)65ABAEABC, 18065250BAE 50FAG BACEAF又 28FC 502878FGC 12. (2019浙江绍兴12 分)如图 1 是实验室中的一种摆动装置,BC 在地面上,支架 ABC 是底边为 BC 的 等腰直角三角形,摆动臂 AD 可绕点 A 旋转,摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD30,DM10 (1)在旋转过程中, 当 A,D,M 三点在同一直线上时,求 AM 的长 当 A,D,M 三点为同一直角三角形的顶点时,求 AM 的长 (2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90 ,点 D 的位置由ABC 外的点 D1转到其内的点 D2处,连

22、结 D1D2,如图 2,此时AD2C135 ,CD260,求 BD2的长 【答案】 (1)AMAD+DM40,或 AMADDM20 15 202或 1010 (2)306 【解答】解: (1)AMAD+DM40,或 AMADDM20 显然MAD 不能为直角 当AMD 为直角时,AM2AD2DM2302102800, AM202或(202舍弃) 当ADM90 时,AM2AD2+DM2302+1021000, AM1010或(1010舍弃) 综上所述,满足条件的 AM 的值为 202或 1010 (2)如图 2 中,连接 CD 由题意:D1AD290 ,AD1AD230, AD2D145 ,D1D

23、2302, AD2C135 , CD2D190 , CD1306, BACA1AD290 , BACCAD2D2AD1CAD2, BAD1CAD2, ABAC,AD2AD1, BAD2CAD1(SAS) , BD2CD1306 13. (2019湖北十堰10 分)如图 1,ABC 中,CACB,ACB,D 为ABC 内一点,将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE,点 A,D 的对应点分别为点 B,E,且 A,D,E 三点在同一直线上 (1)填空:CDE 180 2 (用含 的代数式表示) ; (2)如图 2,若 60 ,请补全图形,再过点 C 作 CFAE 于点 F,然后探究线段

24、CF,AE,BE 之间的数 量关系,并证明你的结论; 16 (3)若 90 ,AC52,且点 G 满足AGB90 ,BG6,直接写出点 C 到 AG 的距离 【答案】 (1)180 2 ; (2)AEBE+ 2 3 3 CF; (3)点 C 到 AG 的距离为 1 或 7 【解答】解: (1)将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到CBE ACDBCE,DCE CDCE CDE180 2 故答案为:180 2 (2)AEBE+ 2 3 3 CF 理由如下:如图, 将CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60 得到CBE ACDBCE ADBE,CDCE,DCE60 CDE 是等边三角形,且 CFDE DFEF 3 3 CF AEAD+DF+EF 17 AEBE+ 2 3 3 CF (3)如图,当点 G 在 AB 上方时,过点 C 作 CEAG 于点 E, ACB90 ,ACBC52, CABABC45 ,AB10 ACB90 AGB 点 C,点 G,点 B,点 A 四点共圆 AGCABC45 ,且 CEAG AGCECG45 CEGE AB10,GB6,AGB90 AG8 AC2AE2+CE2, (52)2(8CE)2+CE2, CE7(不合题意舍去) ,CE1 若点 G 在 AB 的下方,过点 C 作 CFAG, 同理可得:CF7 点 C 到 AG 的距离为 1 或 7