1、 1 第 18 讲 多边形与平行四边形 【考点导引】 1.了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和与外角和公式，并会进行有关的计算与证明 2掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明 3了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌. 【难点突破】 1. 常见的证明两条线段相等的方法有：全等、特殊图形（特殊三角形、特殊四边形）的性质、等量代换等. 2. 平行四边形的判定有 4 个，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四 边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形 另外还有如下结论是正确的：两组对角分别相
2、等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的 四边形是平行四边形 但如下说法是错误的：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角 相等的四边形是平行四边形 3. 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分 【解题策略】 1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是 定值，从而得到不同底和高的关系 2.四种辅助线： (1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形； (3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形； (4)图形具有等邻边
3、特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某 一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置 【典例精析】 类型一：多边形的内角和与外角和 【例 1】 （2019湖北省咸宁市3 分）若正多边形的内角和是 540 ，则该正多边形的一个外角为（ ） A45 B60 C72 D90 类型二：平面的密铺 【例 2】下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( ) 2 A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 类型三：平行四边形的性质 【例 3】（2019湖北武汉8 分） 如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格， 每个小正方形的顶点叫做格点 四 边形 ABCD 的顶点在格点上
4、，点 E 是边 DC 与网格线的交点请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格 中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由 （1）如图 1，过点 A 画线段 AF，使 AFDC，且 AFDC （2）如图 1，在边 AB 上画一点 G，使AGDBGC （3）如图 2，过点 E 画线段 EM，使 EMAB，且 EMAB 类型四：平行四边形的判定 【例 4】 （2019湖北天门8 分）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BECF， 过点 E 作 EGBF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF求证： （1）AEBF； （2）四边形 BEGF 是平行四边
5、形 3 类型五：平行四边形的应用 【例 5】如图 1 是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 2，雨刷 EF 丄 AD，垂足为 A，AB CD，且 ADBC.这样能使雨刷 EF 在运动时始终垂直于玻璃窗下沿 BC.请证明这一结论 首先证明四边形 ABCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断 【真题检测】 1. （2019甘肃庆阳3 分）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ） A180 B360 C540 D720 2. （2019山东临沂3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 BD 上两点，BMDN，连接 AM、 MC、CN、NA，添加一个条件，使四
6、边形 AMCN 是矩形，这个条件是（ ） AOMAC BMBMO CBDAC DAMBCND 3. （2019贵州省铜仁市4 分）如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形 的内角和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是（ ） A360 B540 C630 D720 4 4. （2019广东广州3 分）如图，ABCD 中，AB2，AD4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G， H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ） AEHHG B四边形 EFGH 是平行四边形 CACBD DABO 的面积是EFO 的面积的 2 倍 5.
7、2019四川省达州市3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的 周长是 8，则BCD 的周长为 6. （2019湖南株洲3 分）如图所示，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角EAB 的角平分 线相交于点 P，且ABP60 ，则APB 度 7. （2019，山东枣庄，4 分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压 平就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 度 8. (2019云南3 分)在平行四边形 ABCD 中，A30 ，AD34，BD4，则平行四边形 ABCD 的面积 等于 9. （2019 贵州贵阳 10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 BD 5 （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）若 DADB2，cosA，求点 B 到点 E 的距离 10. (2019 湖北荆门)如图，已知平行四边形 ABCD 中，AB5，BC3，AC213 （1）求平行四边形 ABCD 的面积； （2）求证：BDBC 11. （2019湖南怀化10 分）已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CFAD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF； （2）求证：四边形 AECF 是矩形