1、 1 第 19 讲 特殊平行四边形 【考点导引】 1.掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系 2掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质 3灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 【难点突破】 1.矩形的折叠是一种轴对称变换，也是中考数学中的热点问题折叠前后的图形是全等的，即对应边相等， 对应角相等，折叠问题常常伴随着勾股定理，这是解决问题的关键所在 2. 四边形的判定一览表： 平行四边形 （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （3）一组对边平行且相 等； （4）两条对角线互相平分； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边 形 矩形 （1）有三个角是直角
2、； （2）是平行四边形，并且有一个角是直角； （3）是 平行四边形，并且两条对角线相等 菱形 （1）四条边都相等； （2）是平行四边形，并且有一组邻边相等； （3）是平 行四边形，并且两条对角线互相垂直 正方形 （1）是矩形，并且有一组邻边相等； （2）是菱形，并且有一个角是直角 3. 判定一个菱形是正方形，只需一个角是 90 度或对角线垂直即可 4. 1）我们一般习惯了通过推理证两条线段相等，而往往忽视通过求解线段的具体长度而得到线段相等的方 法，这一点应引起注意 （2）旋转属于全等变换，解决以旋转为背景的问题时，注意寻找旋转前后相等的边与角，图形中所蕴含的 全等三角形，会给解决问题带来很大
3、方便另外，旋转问题与三角形、特殊四边形知识联系非常密切，应 熟练掌握相关它们的性质与判定方法 5. 动点问题本身就是初中数学的一个难点，根据运动的路径判断取值范围较为常见，要认真审题，看在哪 些线段上运动，由动点和函数结合的题，往往求出的解析式是分段函数此题还体现了一线三等角的构造， 这是解决相似三角形时常用的方法体现了数学中的转化思想、分类讨论思想 【解题策略】 正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个 2 角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱 形) 【典例精析】 类型一：矩形的性质与
4、判定 【例 1】(2019 湖北咸宁市)（ （7 分）在 RtABC 中，C90 ，A30 ，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点，连接 ED，EF （1）求证：四边形 DEFC 是矩形； （2）请用无刻度的直尺在图中作出ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法） 类型二：菱形的性质与判定 【例 2】 （2019浙江宁波10 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 3 类型三：正方形的性质与判定 【例
5、3】 （2019甘肃8 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 DE，过点 A 作 AGED 交 DE 于点 F，交 CD 于点 G （1）证明：ADGDCE； （2）连接 BF，证明：ABFB 类型四：特殊平行四边形的综合运用 【例 4】 （2019湖南株洲8 分）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC.BD 的交 点，连接 CE.DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM，求正方形 OEFG 的边长 4 【真题检测】 1. （2019南京2
6、 分）面积为 4 的正方形的边长是（ ） A4 的平方根 B4 的算术平方根 C4 开平方的结果 D4 的立方根 2. （2019广西池河3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，BECF，则图中与 AEB 相等的角的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 3. （2019江苏苏州3 分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，416ACBD，将ABOV沿 点A到点C的方向平移，得到A B C V，当点 A 与点C重合时，点A与点 B 之间的距离为（） A B C10 D12 O O A C（A) D B B 4. （2019湖南株洲3 分）对于任意的矩形，
7、下列说法一定正确的是（ ） A对角线垂直且相等 B四边都互相垂直 C四个角都相等 D是轴对称图形，但不是中心对称图形 5. （2019山东省德州市 4 分）如图，正方形 ABCD，点 F 在边 AB 上，且 AF：FB1：2，CEDF，垂 足为 M，且交 AD 于点 E，AC 与 DF 交于点 N，延长 CB 至 G，使 BG 1 2 BC，连接 CM有如下结论： DEAF；AN 2 4 AB；ADFGMF；SANF：S四边形CNFB1：8上述结论中，所有正确结 论的序号是（ ） 5 A B C D 6. （2019浙江绍兴4 分） 正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E， 以 EC 为
8、边作矩形 ECFG， 且边 FG 过点 D 在 点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 7. （2019浙江绍兴5 分）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD，PAD30 ，以点 B 为圆心，AB 长为半径作弧，与 AP 交于点 A，M，分别以点 A，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED， 则ADE 的度数为 8. （2019四川省凉山州5 分）如图，正方形 ABCD 中，AB12，AEAB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、 C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD
9、于点 Q，则 CQ 的最大值为 9. （2019湖北省咸宁市3 分）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的 6 边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连 接 PC，交 MN 于点 Q，连接 CM下列结论： CQCD； 四边形 CMPN 是菱形； P，A 重合时，MN2； PQM 的面积 S 的取值范围是 3S5 其中正确的是 （把正确结论的序号都填上） 10. （2019山东省聊城市8 分）在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 AP，点 E，F 是 AP 上的两 点，连接 DE，BF，使得AEDABC，ABFBPF 求证： （1）ABFDAE； （2）DEBF+EF 11. （2019山东省滨州市 13 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落 在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G，连接 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB6，AD10，求四边形 CEFG 的面积 7