1、 第 1 页 / 共 11 页 考点考点 14 正正、余弦定理余弦定理 1. 理解正弦定理,能用正弦定理解三角形 . 2. 理解余弦定理,能用余弦定理解三角形 . 3. 能根据条件,灵活选用正弦定理、 余弦定理解决三角形中的有关问题 . 公式选择得当,方法运 用对路是简化问题的必要手段 . 4. 能综合运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状,证明三角形中边角关系的恒等式;能运用 解斜三角形的有关知识,解决简单的实际问题 . 从近几年高考命题的形式看,本节知识是高考必考内容 .1. 内容上重点为正弦定理、余弦定理 及三角形的面积公式,考题灵活多样 . 2. 题型方面:填空题以考查用正弦、 余弦定
2、理解三角形为主,难度不大,解答题有时与其他知识综 合命题,最为常见的是与向量相结合 . 正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三 角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题 . 特别 要注意利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制 1、【2018 年高考全国理数】在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC ，5AC ，则AB A4 2 B 30 C29 D2 5 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 11 页 2
3、、【2018 年高考全国理数】ABC的内角A BC， ，的对边分别为a，b，c，若 ABC的面积为 222 4 abc ，则C A 2 B 3 C 4 D 6 3、 【2020 年全国 3 卷】7.在ABC中，cosC= 2 3 ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A. 1 9 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 4、【2020 年全国 1 卷】 .如图， 在三棱锥 PABC 的平面展开图中， AC=1， 3ABAD ， ABAC， ABAD， CAE=30 ，则 cosFCB=_. 5、【2019 年高考全国卷理数】ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c.若
4、 6,2 , 3 bac B，则 ABC的面积为_ 6、【2019 年高考浙江卷】在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若 45BDC，则BD _，cosABD_ 7、 【2020 年北京卷】17.在ABC中，11ab ，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知， 求： （）a的值： （）sinC和ABC的面积 第 3 页 / 共 11 页 条件： 1 7,cos 7 cA ； 条件： 19 cos,cos 816 AB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 8、 【2020 年江苏卷】.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,4
5、5acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值 9、 【2020 年全国 2 卷】.ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC. （1）求 A； （2）若 BC=3，求ABC周长的最大值. 第 4 页 / 共 11 页 10、 【2020 年天津卷】.在ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2 2,5,13abc （）求角C的大小； （）求sin A的值； （）求sin2 4 A 的值 11、 【浙江卷】在锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 sin3bAa
6、 （I）求角 B； （II）求 cosA+cosB+cosC的取值范围 12、 【2020 年山东卷】.在3ac ，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin3sinAB=， 6 C ，_? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 13 、 【 2019 年 高 考 全 国 卷 理 数 】ABC的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 22 (sinsin)sinsinsinB
7、CABC （1）求 A； （2）若 22abc ，求 sinC 第 5 页 / 共 11 页 14、 【2019 年高考全国卷理数】 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知sinsin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 15、【2019 年高考北京卷理数】在ABC 中，a=3，bc=2，cosB= 1 2 （1）求 b，c 的值； （2）求 sin（BC）的值 16、【2019 年高考天津卷理数】在ABC中，内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c已知 2bca ， 3 sin4 si
8、ncBaC （1）求cosB的值； （2）求sin 2 6 B 的值 二年模拟试题二年模拟试题 第 6 页 / 共 11 页 题型一题型一 正、余弦定理的简单运用正、余弦定理的简单运用 1、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，若 13,3,120ABBCC，则AC= （ ） A1 B2 C3 D4 2、 （北京市北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考）在 ABC 中， , ,a b c 分别为 , ,A B C 的对边，如果 , ,a b c 成等差数列， 30B，ABC 的面积为 3 2 ，那么b（ ） A1 3 2 B1 3 C 2 2
9、3 D2 3 3、 （北京市第 171 中学 2019-2020 学年高三 10 月月考数学试题）在 ABC中，60A ， 4AC ， 2 3BC ，则 ABC的面积为（） A4 3 B4 C2 3 D2 2 4、 （北京市东城区第五中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA= 1 4 ，则 b c = A6 B5 C4 D3 5、 （2020 届山东实验中学高三上期中）在ABC中，, , a b c分别为内角, ,A B C的对边，若 3 2sinsinsin,cos 5
10、BACB，且6 ABC S，则b_ 6、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为, ,a b c，若 coscossinABC abc ， 222 6 5 bcabc，则tanB _ 7、(2019 苏州期初调查） 已知ABC 的三边上高的长度分别为 2，3，4，则ABC 最大内角的余弦值等 于_ 8、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a， 第 7 页 / 共 11 页 3b，4c ，则cosA_，ABC的面积是_ 9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考） 在ABC中， 内角,
11、,A B C所对的边分别是, ,a b c若7a ， 3c ，A=60 ，则_， ABC的面积 S=_ 10、 （2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ,(42 3) cos 6 AbaB ，且 b=1，则 B=_；ABC 的面积为_. 11、(2019 通州、海门、启东期末） 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosB3bcosA， BA 6 ，则 B_ 12、(2019 苏州三市、苏北四市二调）在ABC 中，已知 C120，sinB2sinA，且ABC 的面积为 2 3， 则 AB 的长为_ 1
12、3、 (2019 南京学情调研） 已知ABC 的面积为 3 15， 且 ACAB2， cosA1 4， 则 BC 的长为_ 14、 （2020 届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 , ,a b c，已知 2coscos0acBbA. （I）求 B； （II）若3,bABC的周长为32 3ABC，求的面积. 15、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 10ab，5c ，sin2sin0BB （1）求a，b的值： （2）求sinC的值 题型二题型二 正余弦定理的综合运用正余弦定理的综合运用 1、 （2020
13、 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 第 8 页 / 共 11 页 2 coscoscosbBaCcA，2b，则ABC面积的最大值是 A1 B3 C2 D4 2、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征为了 测量“泉标”高度， 某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为45， 沿点 A 向北偏东30前 进 100 m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为（ ） A50 m B100 m C120 m D150 m 3、 （2
14、020 届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 1 tan A ， 1 tanB ， 1 tanC 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立 的是（ ） Aa，b，c依次成等差数列 Ba，b，c依次成等差数列 C 2 a， 2 b， 2 c依次成等差数列 D 3 a， 3 b， 3 c依次成等差数列 4、(2019 苏锡常镇调研（一） ） 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 5a8b，A2B， 则 sin A 4 _ 5、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）在中，为的平分线，则 _ 6、 （2020 届浙江省高中发
15、展共同体高三上期末）在ABC中，5AB，BAC的平分线交边BC于D.若 45ADC o. = 5BD ，则sinC _. 7、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，若 4 5b ，5c ，2BC，则cosC =_，点D为边BC上一点，且6BD，则ADC的面 积为_. 8、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若ABC的面 第 9 页 / 共 11 页 积是2 2，3b， 1 cos 3 C 则c_； sin2 sin B C _. 9、 （2020 届山东省滨州市三校
16、高三上学期联考）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已 知 2 3sin2cos0 2 AC B . （1）求角 B 的大小； （2）若 2 sin2sinsinBAC，且ABC的面积为4 3，求ABC的周长. 10、 （2020 蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边.已知4a， 5AB AC ，求： （1） tantan tantan AA BC 的值； （2）BC边上的中线AD的长. 题型三题型三 与正余弦定理有关的开放型问题与正余弦定理有关的开放型问题 1、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 在 3 cos 5 A， 2 5
17、 cos 5 C ， sinsinsincCA bB，60B ， 2c ， 1 cos 8 A 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 第 10 页 / 共 11 页 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若3a ，_，求ABC的面积 S. 2、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）在条件()(sinsin)()sinabABcbC， sincos() 6 aBbA ，sinsin 2 BC baB 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，6b c ，2 6a ， . 求ABC的面积. 3、 （2
18、020 届山东省日照市高三上期末联考）在ABC面积2 ABC S， 6 ADC 这两个条件中任选 一个，补充在下面问题中，求AC. 如图，在平面四边形ABCD中， 3 4 ABC ，BACDAC，_，24CDAB，求AC. 4、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，若ABC同 时满足下列四个条件中的三个： 2 63 3() baac cab ； 2 cos22cos1 2 A A； 6a ； 2 2b . （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积. 第 11 页 / 共 11 页 （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 5、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在3( cos)sinbCacB；22 cosacbC ； sin3 sin 2 AC bAa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC中， 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足_，2 3,b 4ac ， 求ABC 的面积.