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2020-2021学年河南省郑州市巩义市西学区九年级上期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年河南省郑州市巩义市西学区九年级(上)期中数学试卷学年河南省郑州市巩义市西学区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题: (本大题共一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列汽车标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 2已知 m 是方程 x2x20 的一个根,则代数式 m2m+2 的值等于( ) A4 B1 C0 D1 3已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是(2,3) ,那么点 P 关于原点的对称点 P2的坐标是( ) A (3,2) B (2,3) C (2,3) D (2,3)

2、 4用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A2m2+m10 化为 Bx26x+40 化为(x3)25 C2t23t20 化为 D3y24y+10 化为 5下列语句中正确的是( ) A长度相等的两条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 6当 ab0 时,yax2与 yax+b 的图象大致是( ) A B C D 7如图,在正方形 ABCD 中,ABE 经旋转,可与CBF 重合,AE 的延长线交 FC 于点 M,以下结论正 确的是( ) ABECE BFMMC CAMFC DBFCF 8如图,在ABC 中,ABC90,AB8cm,

3、BC6cm动点 P,Q 分别从点 A,B 同时开始移动, 点 P 的速度为 1cm/秒,点 Q 的速度为 2cm/秒,点 Q 移动到点 C 后停止,点 P 也随之停止运动下列时 间瞬间中,能使PBQ 的面积为 15cm2的是( ) A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5 秒钟 9 (非课改)已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m20 的两个不相等的实数根,且满足 +1,则 m 的值是( ) A3 B1 C3 或1 D3 或 1 10若二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点坐标分别是(m,0) , (n,0) ,且 mn,图象上 有一点 M(p,q)

4、在 x 轴下方,对于以下说法:b24ac0;xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解; mpn;a(pm) (pn)0,对于以上说法正确的是( ) A B C D 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若|b1|+0,且一元二次方程 kx2+ax+b0 有实数根,则 k 的取值范围是 12已知抛物线 yx22(k+1)x+16 的顶点在 x 轴上,则 k 的值是 13某药品原价每盒 25 元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价每盒 16 元,则该药品平均每次降价的百分率是 14当2x1 时,

5、二次函数 yx2+kx1 的最大值是 1,则 k 的值可能是 15如图,RtOAB 的顶点 A(2,4)在抛物线 yax2上,将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到 OCD,边 CD 与该抛物线交于点 P,则点 P 的坐标为 三三.解答题(共解答题(共 75 分)分) 16 (8 分)解方程: (1)2x2+37x; (2) (2x+1)2+4(2x+1)+30 17 (6 分)如图,C90,以 AC 为半径的圆 C 与 AB 相交于点 D若 AC3,CB4,求 BD 长 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+4(k)0 (1)判断这个一元二次方程的根的情

6、况; (2)若等腰三角形的一边长为 3,另两条边的长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长及 面积 19 (8 分)如图,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点的坐标分别为 A(1,5) 、B(1,1) 、C(3, 1) 将ABC 向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位得到A1B1C1;将A1B1C1绕原点 O 旋转 180 得到A2B2C2 (1)按要求画出图形; (2)请直接写出点 C1和 C2的坐标; (3)请直接写出线段 A1A2的长 20 (9 分)如图,在ABC 中,ABAC2,BAC45,AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到的,连接 BE、CF 相交于点

7、 D (1)求证:BECF; (2)探究旋转角等于多少度时,四边形 ABDF 为菱形,证明你的结论; (3)在(2)的条件下,求 CD 的长 21 (12 分)某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租出;当每 辆车的日租金每增加 50 元,未租出的车将增加 1 辆;公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日 租出 x 辆车时,日收益为 y 元 (日收益日租金收入平均每日各项支出) (1)公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为 元(用含 x 的代数式表示) ; (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆

8、时,租赁公司的日收益不盈也不亏? 22 (12 分)一位同学拿了两块 45三角尺MNK,ACB 做了一个探究活动:将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处,设 ACBC4 (1)如图 1,两三角尺的重叠部分为ACM,则重叠部分的面积为 ,周长为 (2)将图 1 中的MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45,得到图 2,此时重叠部分的面积为 ,周长 为 (3) 如果将MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形, 如图3, 请你猜想此时重叠部分的面积为 (4)在图 3 情况下,若 AD1,求出重叠部分图形的周长 23 (12 分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在

9、第二象限,斜靠在两坐标轴上,且 点 A(0,2) ,点 C(1,0) ,如图所示:抛物线 yax2+ax2 经过点 B (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ,使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形?若 存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分)分) 1下列汽车标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形

10、的概念求解 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; B、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项正确 故选:D 2已知 m 是方程 x2x20 的一个根,则代数式 m2m+2 的值等于( ) A4 B1 C0 D1 【分析】把 xm 代入方程 x2x20 求出 m2m2,代入求出即可 【解答】解:把 xm 代入方程 x2x20 得: m2m20, m2m2, 所以 m2m+22+24 故选:A 3已知点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是(2,3) ,那么点

11、 P 关于原点的对称点 P2的坐标是( ) A (3,2) B (2,3) C (2,3) D (2,3) 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P(x,y) ,关于 x 轴的对称点的坐标是(x,y) ,关于 y 轴的对称 点的坐标是(x,y) ,关于原点的对称点是(x,y) 【解答】解:点 P 关于 x 轴的对称点 P1的坐标是(2,3) , 点 P 的坐标是(2,3) 点 P 关于原点的对称点 P2的坐标是(2,3) 故选 D 4用配方法解下列方程时,配方有错误的是( ) A2m2+m10 化为 Bx26x+40 化为(x3)25 C2t23t20 化为 D3y24y+10 化为 【分析】各项

12、中的方程变形得到结果,即可做出判断 【解答】解:A、2m2+m10,变形得:m2+m, 配方得:m2+m+,即(m+)2,本选项正确; B、x26x+40,移项得:x26x4, 配方得:x26x+95,即(x3)25,本选项正确; C、2t23t20,变形得:t2t1, 配方得:t2t+,即(t)2,本选项错误; D、3y24y+10,变形得:y2y, 配方得:y2y+,即(y)2,本选项正确 故选:C 5下列语句中正确的是( ) A长度相等的两条弧是等弧 B平分弦的直径垂直于弦 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 【分析】根据等弧的定义对 A 进行判断;根据垂径

13、定理对 B 进行判断;根据圆心角、弧、弦的关系对 C 进行判断;根据圆的对称性对 D 进行判断 【解答】解:A、能完全重合的两条弧是等弧,所以 A 选项错误; B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦,所以 B 选项错误; C、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以 C 选项错误; D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴,所以 D 选项正确 故选:D 6当 ab0 时,yax2与 yax+b 的图象大致是( ) A B C D 【分析】根据题意,ab0,即 a、b 同号,分 a0 与 a0 两种情况讨论,分析选项可得答案 【解答】解:根据题意,ab0,即 a、b 同号, 当 a0 时,b0,

14、yax2与开口向上,过原点,yax+b 过一、二、三象限; 此时,没有选项符合, 当 a0 时,b0,yax2与开口向下,过原点,yax+b 过二、三、四象限; 此时,D 选项符合, 故选:D 7如图,在正方形 ABCD 中,ABE 经旋转,可与CBF 重合,AE 的延长线交 FC 于点 M,以下结论正 确的是( ) ABECE BFMMC CAMFC DBFCF 【分析】根据旋转的性质可得ABECBF,根据全等三角形的性质以及 E 是 BC 上任意一点即可作 出判断 【解答】解:因为 E 是 BC 上任意一点,E 不一定是 BC 的中点,故选项 A 错误; 根据旋转的性质可得ABECBF,则

15、AEBF, 又直角ABE 中,BAE+AEB90, BAE+F90, AMF90, AMFC,故 C 正确; E 是 BC 上任意一点,BFBE,则 AC 和 AF 不一定相等,则 M 不一定是 FC 的中点,则 B 错误; BFBC, BFCF 一定错误,故 D 错误 故选:C 8如图,在ABC 中,ABC90,AB8cm,BC6cm动点 P,Q 分别从点 A,B 同时开始移动, 点 P 的速度为 1cm/秒,点 Q 的速度为 2cm/秒,点 Q 移动到点 C 后停止,点 P 也随之停止运动下列时 间瞬间中,能使PBQ 的面积为 15cm2的是( ) A2 秒钟 B3 秒钟 C4 秒钟 D5

16、 秒钟 【分析】设出动点 P,Q 运动 t 秒,能使PBQ 的面积为 15cm2,用 t 分别表示出 BP 和 BQ 的长,利用 三角形的面积计算公式即可解答 【解答】解:设动点 P,Q 运动 t 秒后,能使PBQ 的面积为 15cm2, 则 BP 为(8t)cm,BQ 为 2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得, (8t)2t15, 解得 t13,t25(当 t5 时,BQ10,不合题意,舍去) 动点 P,Q 运动 3 秒时,能使PBQ 的面积为 15cm2 故选:B 9 (非课改)已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m20 的两个不相等的实数根,且满足 +1,则

17、m 的值是( ) A3 B1 C3 或1 D3 或 1 【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得0,由此可以求出 m 的取值范围,再利用根与系数的 关系和+1,可以求出 m 的值,最后求出符合题意的 m 值 【解答】解:根据条件知: +(2m+3) ,m2, 1, 即 m22m30, 所以,得, 解得 m3 故选:A 10若二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点坐标分别是(m,0) , (n,0) ,且 mn,图象上 有一点 M(p,q)在 x 轴下方,对于以下说法:b24ac0;xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解; mpn;a(pm) (pn)0,对于以上说法正确的

18、是( ) A B C D 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个不同的交点,根的判别式0,再分 a0 和 a0 两种情况对选 项讨论即可得解 【解答】解:二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴的交点坐标分别是(m,0) , (n,0) , b24ac0,yax2+bx+ca(xm) (xn) ,故正确; 图象上有一点 M(p,q)在 x 轴下方, ya(pm) (pn)0,故正确, 图象上有一点 M(p,q)在 x 轴下方, xp 时,ax2+bx+cq, xp 是方程 ax2+bx+cq0 的解,故正确, 当 a0 时,图象上有一点 M(p,q)在 x 轴下方, mpn, 当 a0

19、 时,图象上有一点 M(p,q)在 x 轴下方, pmn 或 mnp,故错误, 故选:B 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 15 分)分) 11若|b1|+0,且一元二次方程 kx2+ax+b0 有实数根,则 k 的取值范围是 k4 且 k0 【分析】根据非负数的性质求出 a、b 的值,转化成关于 k 的不等式即可解答 【解答】解:|b1|+0, b1,a4, 原方程为 kx2+4x+10, 该一元二次方程有实数根, 164k0, 解得:k4, 方程 kx2+ax+b0 是一元二次方程, k0, k 的取值范围是:k4 且 k0, 故

20、答案为:k4 且 k0 12已知抛物线 yx22(k+1)x+16 的顶点在 x 轴上,则 k 的值是 3 或5 【分析】抛物线 yax2+bx+c 的顶点纵坐标为,当抛物线的顶点在 x 轴上时,顶点纵坐标为 0, 解方程求 k 的值 【解答】解:根据顶点纵坐标公式, 抛物线 yx22(k+1)x+16 的顶点纵坐标为, 抛物线的顶点在 x 轴上时, 顶点纵坐标为 0,即0, 解得 k3 或5 故本题答案为 3 或5 13某药品原价每盒 25 元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过连续两次降价,现在售价每盒 16 元,则该药品平均每次降价的百分率是 20% 【分析】 设该药品平均每次降价

21、的百分率为 x,根据降价后的价格降价前的价格 (1降价的百分率) , 则第一次降价后的价格是 25(1x) ,第二次后的价格是 25(1x)2,据此即可列方程求解 【解答】解:设该药品平均每次降价的百分率为 x, 由题意可知经过连续两次降价,现在售价每盒 16 元, 故 25(1x)216, 解得 x0.2 或 1.8(不合题意,舍去) , 故该药品平均每次降价的百分率为 20% 14当2x1 时,二次函数 yx2+kx1 的最大值是 1,则 k 的值可能是 3 或 【分析】先求抛物线的对称轴为:xk,分三种情况讨论:当 k4 时,此时2x1 在对称轴 的右侧,y 随 x 的增大而减小,x2

22、所对应的 y 就是其最大值,列式可求得 k 的值;当2k1 时,xk 所对应的 y 就是其最大值,列式可求得 k 的值;当 k2 时,此时2x1 在对称轴的左 侧,y 随 x 的增大而增大,所以 x1 时所对应的 y 就是其最大值,同时可求得 k 的值;最后写出结论 【解答】解:二次函数 yx2+kx1 的对称轴:x, 分三种情况讨论: 当2 时,即 k4 时, 此时1x2 在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减小, 当 x2 时,y 有最大值,y大(2)2+k(2)11, k3(舍去) ; 当21 时,即4k2, 当 x时,y 有最大值,y小()2+k ()11, k2+k211, k2,

23、4k2, k2, 当1 时,即 k2, 此时2x1 在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大, 当 x1 时,y 有最大值,y大12+k111, k3, 综上所述,k 的值可能是 3 或2, 故答案为:3 或2 15如图,RtOAB 的顶点 A(2,4)在抛物线 yax2上,将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到 OCD,边 CD 与该抛物线交于点 P,则点 P 的坐标为 (,2) 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式,然后根据题意求得 D(0,2) ,且 DCx 轴,从而求 得 P 的纵坐标为 2,代入求得的解析式即可求得 P 的坐标 【解答】解:RtOAB 的顶点 A(2,

24、4)在抛物线 yax2上, 44a,解得 a1, 抛物线为 yx2, 点 A(2,4) , B(2,0) , OB2, 将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到OCD, D 点在 y 轴上,且 ODOB2, D(0,2) , DCOD, DCx 轴, P 点的纵坐标为 2, 代入 yx2,得 2x2, 解得 x, P(,2) 故答案为(,2) 三三.解答题(共解答题(共 75 分)分) 16 (8 分)解方程: (1)2x2+37x; (2) (2x+1)2+4(2x+1)+30 【分析】 (1)本题可以运用因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程时,应使方程的左边为两个 一次因式相乘

25、,右边为 0,再分别使各一次因式等于 0 即可求解 (2)令 t2x+1,则原方程转化为 t2+4t+30,解该方程求得 t 的值,然后求 x 的值即可 【解答】解: (1)原方程可变形为(2x1) (x3)0 2x10 或 x30, x1,x23; (2)令 t2x+1,则原方程转化为 t2+4t+30, 整理,得 (t+1) (t+3)0, 所以 t1 或 t3, 所以 2x+11,或 2x+13, 所以 x11,x22 17 (6 分)如图,C90,以 AC 为半径的圆 C 与 AB 相交于点 D若 AC3,CB4,求 BD 长 【分析】根据勾股定理求得 AB 的长,再点 C 作 CEA

26、B 于点 E,由垂径定理得出 AE,即可得出 BD 的 长 【解答】解: (1)在三角形 ABC 中,ACB90,AC3,BC4, AB5, 点 C 作 CEAB 于点 E,则 AD2AE, CAECAB,AECACB90, ACEABC, , AC2AEAB,即 32AE5 AE1.8, AD2AE21.83.6 BDABAD53.61.4 18 (8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k+1)x+4(k)0 (1)判断这个一元二次方程的根的情况; (2)若等腰三角形的一边长为 3,另两条边的长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长及 面积 【分析】 (1)根据方程的系数结合

27、根的判别式,可得出(2k3)20,由此即可得出该方程有两个 实数根; (2)分 3 为底边长及腰长两种情况考虑:当 3 为底边长是,由0 可求出 k 值,将其代入原方程可 求出三角形的腰长,再根据周长及面积公式可求出等腰三角形的周长及面积;当 3 为腰长时,将 x3 代入原方程可求出 k 值,代入 k 值可求出等腰三角形的底边长度,再根据周长及面积公式可求出等腰三 角形的周长及面积综上即可得出结论 【解答】解: (1)(2k+1)244(k)4k212k+9(2k3)20, 该方程有两个实数根; (2)当 3 为底边长时,(2k3)20, k, 此时原方程为 x24x+40, 解得:x1x22

28、 2、2、3 能组成三角形, 三角形的周长为 2+2+37,三角形的面积为3; 当 3 为腰长时,将 x3 代入原方程,得:93(2k+1)+4(k)0, 解得:k2, 此时原方程为 x25x+60, 解得:x12,x23 2、3、3 能组成三角形, 三角形的周长为 2+3+38,三角形的面积为22 综上所述:等腰三角形的周长为 7 或 8,面积为或 2 19 (8 分)如图,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点的坐标分别为 A(1,5) 、B(1,1) 、C(3, 1) 将ABC 向右平移 2 个单位、再向下平移 4 个单位得到A1B1C1;将A1B1C1绕原点 O 旋转 180 得到A2B2

29、C2 (1)按要求画出图形; (2)请直接写出点 C1和 C2的坐标; (3)请直接写出线段 A1A2的长 【分析】 (1)利用平移的性质以及旋转变换的性质画出图形即可 (2)根据点的位置写出坐标即可 (3)利用勾股定理计算即可 【解答】解: (1)画图右图所示: (2)C1(1,3) ,C2(1,3) (3)A1A22 20 (9 分)如图,在ABC 中,ABAC2,BAC45,AEF 是由ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到的,连接 BE、CF 相交于点 D (1)求证:BECF; (2)探究旋转角等于多少度时,四边形 ABDF 为菱形,证明你的结论; (3)在(2)的条件下,求 CD

30、 的长 【分析】 (1)证明BAECAF(SAS) 可得出 BECF (2)证得 AFBE,ABCF,得出四边形 ABDF 为平行四边形,则可得出结论; (3)由勾股定理求出 CF2,由菱形的性质可得出答案 【解答】解: (1)由题意可得AEFABC BACEAF,ABACAEAF, BAC+CAEEAF+CAE 即BAECAF, 在BAE 和CAF 中, , BAECAF(SAS) BECF (2)当旋转角为 90时,四边形 ABDF 为菱形,理由如下: 旋转角为 90, BAECAF90, BAE 与CAF 均是等腰直角三角形, ABEACF45, BAFBAE+EAF90+45135,

31、ABE+BAF45+135180, AFBE, 又BACACF45, ABCF, 四边形 ABDF 为平行四边形, ABAF 四边形 ABDF 为菱形; (3)在 RtCAF 中,ACAF2, , 四边形 ABDF 为菱形, DFAB2 CDCFDF 21 (12 分)某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租出;当每 辆车的日租金每增加 50 元,未租出的车将增加 1 辆;公司平均每日的各项支出共 4800 元设公司每日 租出 x 辆车时,日收益为 y 元 (日收益日租金收入平均每日各项支出) (1)公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为 (140

32、050 x) 元(用含 x 的代数式表示) ; (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏? 【分析】 (1) 根据当全部未租出时, 每辆租金为: 400+20501400 (元) , 得出公司每日租出 x 辆车时, 每辆车的日租金为:140050 x; (2)根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可; (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:y0即:50 (x14)2+50000,求出即可 【解答】解: (1)某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计,当每辆车的日租金为 400 元时,可全部租 出; 当每辆车的日租

33、金每增加 50 元,未租出的车将增加 1 辆; 当全部未租出时,每辆租金为:400+20501400(元) , 公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为: (140050 x) ; 故答案为: (140050 x) ; (2)根据题意得出: yx(50 x+1400)4800, 50 x2+1400 x4800, 50(x14)2+5000 500, 该抛物线的开口方向向下, 该函数有最大值 当 x14 时,在范围内,y 有最大值 5000 当日租出 14 辆时,租赁公司日收益最大,最大值为 5000 元 (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:y0 即:50(x14)2+50000, 解得

34、 x124,x24, x24 不合题意,舍去 当日租出 4 辆时,租赁公司日收益不盈也不亏 22 (12 分)一位同学拿了两块 45三角尺MNK,ACB 做了一个探究活动:将MNK 的直角顶点 M 放在ABC 的斜边 AB 的中点处,设 ACBC4 (1)如图 1,两三角尺的重叠部分为ACM,则重叠部分的面积为 4 ,周长为 4+4 (2)将图 1 中的MNK 绕顶点 M 逆时针旋转 45,得到图 2,此时重叠部分的面积为 4 ,周长为 8 (3) 如果将MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形, 如图3, 请你猜想此时重叠部分的面积为 4 (4)在图 3 情况下,若 AD1,求出重叠部分图形的

35、周长 【分析】 (1)根据 ACBC4,ACB90,得出 AB 的值,再根据 M 是 AB 的中点,得出 AMMC, 求出重叠部分的面积,再根据 AM,MC,AC 的值即可求出周长; (2)易得重叠部分是正方形,边长为AC,面积为AC2,周长为 2AC (3)过点 M 分别作 AC、BC 的垂线 MH、ME,垂足为 H、E求得 RtMHDRtMEG,则阴影部分 的面积等于正方形 CEMH 的面积 (4)先过点 M 作 MEBC 于点 E,MHAC 于点 H,根据DMHEMH,MHME,得出 RtDHM RtEMG,从而得出 HDGE,CEAD,最后根据 AD 和 DF 的值,算出 DM,即可得

36、出答案 【解答】解: (1)ACBC4,ACB90, AB4, M 是 AB 的中点, AM2, ACM45, AMMC, 重叠部分的面积是4, 周长为:AM+MC+AC2+2+44+4; 故答案为:4,4+4; (2)叠部分是正方形, 边长为42,面积为444, 周长为 248 故答案为:4,8 (3)过点 M 分别作 AC、BC 的垂线 MH、ME,垂足为 H、E, M 是ABC 斜边 AB 的中点,ACBC4, MHBC, MEAC, MHME, 又NMKHME90, NMH+HMK90,EMG+HMK90, HMDEMG, 在MHD 和MEG 中, , MHDMEG(ASA) , 阴影

37、部分的面积等于正方形 CEMH 的面积, 正方形 CEMH 的面积是 MEMH444; 阴影部分的面积是 4; 故答案为:4 (4)如图所示: 过点 M 作 MEBC 于点 E,MHAC 于点 H, 四边形 MECH 是矩形, MHCE, A45, AMH45, AHMH, AHCE, 在 RtDHM 和 RtGEM 中, RtDHMRtGEM GEDH, AHDHCEGE, CGAD, AD1, DH1 DM 四边形 DMGC 的周长为: CE+CD+DM+ME AD+CD+2DM4+2 23 (12 分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且

38、 点 A(0,2) ,点 C(1,0) ,如图所示:抛物线 yax2+ax2 经过点 B (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ,使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形?若 存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)根据题意,过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D;根据角的互余的关系,易得 B 到 x、y 轴的距 离,即 B 的坐标; (2)根据抛物线过 B 点的坐标,可得 a 的值,进而可得其解析式; (3)首先假设存在,分 A、C 是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案 【解答

39、】解: (1)过点 B 作 BDx 轴,垂足为 D, BCD+ACO90,ACO+CAO90, BCDCAO, (1 分) 又BDCCOA90,CBAC, BCDCAO, (2 分) BDOC1,CDOA2, 点 B 的坐标为(3,1) ; (4 分) (2)抛物线 yax2+ax2 经过点 B(3,1) , 则得到 19a3a2, (5 分) 解得 a, 所以抛物线的解析式为 yx2+x2; (7 分) (3)假设存在点 P,使得ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形: 若以点 C 为直角顶点; 则延长 BC 至点 P1,使得 P1CBC,得到等腰直角三角形ACP1, (8 分)

40、过点 P1作 P1Mx 轴, CP1BC,MCP1BCD,P1MCBDC90, MP1CDBC (10 分) CMCD2,P1MBD1,可求得点 P1(1,1) ; (11 分) 若以点 A 为直角顶点; 则过点 A 作 AP2CA,且使得 AP2AC,得到等腰直角三角形ACP2, (12 分) 过点 P2作 P2Ny 轴,同理可证AP2NCAO, (13 分) NP2OA2,ANOC1,可求得点 P2(2,1) , (14 分) 以 A 为直角顶点的等腰 RtACP 的顶点 P 有两种情况即过点 A 作直线 LAC,在直线 L 上截取 AP AC 时,点 P 可能在 y 轴右侧,即现在解答情况的点 P2; 点 P 也可能在 y 轴左侧,即还有第种情况的点 P3因此,然后过 P3作 P3Gy 轴于 G,同理:AGP3 CAO, GP3OA2,AGOC1, P3为(2,3) ; 经检验,点 P1(1,1)与点 P2(2,1)都在抛物线 yx2+x2 上,点 P3(2,3)不在抛物线 上 (16 分)