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2021年中考数学提分压轴训练:反比例函数综合(一)含答案

1、20212021 年中考数学分类专题提分压轴训练:反比例函数综合(一)年中考数学分类专题提分压轴训练:反比例函数综合(一) 1如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y2x+2 与函数y(k0)的图象交于A,B两点,且点A 的坐标为(1,m) (1)求k,m的值; (2)直接写出关于x的不等式 2x+2的解集; (3)若Q在x轴上,ABQ的面积是 6,求Q点坐标 2如图,AOB90,ABx轴,OB2,双曲线y,经过点B,将AOB绕点B逆时针旋转,使点O 的对应点D落在x轴正半轴上,若AB的对应线段CB恰好经过点O (1)求点B坐标及双曲线解析式 (2)判断点C是否在双曲线上,请说明理由 (3)在y

2、轴上是否存在一点P,使PBD的周长最小,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由 3如图 1,点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数的图象上,过点A作ACx轴于C,过 点B作BDy轴于D (1)求m的值和直线AB的函数关系式; (2)动点P从O点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿线段OD向点D运动,同时动点Q从O点出发, 以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OC向C点运动,当动点P运动到点D时,点Q也停止运动,设运动的 时间为t秒 如图 2, 当点P运动时, 如果作OPQ关于直线PQ的对称图形OPQ, 是否存在某时刻t, 使得点O恰好落在反比例函数的图象上?若存在,求O的坐标和t的值;若

3、不存在,请说明理由 4如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为矩形,已知点A(2,0)、B(1,1),点C、 D在第二象限内 (1)点C的坐标 ;点D的坐标 ; (2)将矩形ABCD向右平移m个单位,得到矩形ABCD,若B、D恰好落在反比例函数y 的图象上,求出此时m的值和反比例函数的解析式; (3)在(2)的情况下,问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q,使得以P、Q、B、D四个 点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合题意的点Q的坐标;若不存在,请说明理由 5如图,在平面直角坐标系中,点A(2,m)在正比例函数yx(x0)的图象上,反比例函数y (x0)的图象经过点A,点

4、P是x轴正半轴上一动点,过点P作x轴的垂线,与正比例函数yx(x 0)的图象交于点C,点B是线段CP与反比例函数的交点,连接AP、AB (1)求该反比例函数的表达式; (2)观察图象,请直接写出当x0 时,x的解集; (3)若SABP1,求B点坐标; (4)点Q是A点右侧双曲线上一动点,是否存在APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在, 求出点Q坐标;若不存在,请说明理由 6如图,一次函数yax+b(a0)的图象与反比例函数y(k0)的图象交于A,B两点,与x轴交 于点C,与y轴交于点D,已知OA,点B的坐标为(m,2),tanAOC (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)若点P

5、在y轴的正半轴上,且使得SPBC6SAOC,求P点的坐标 7如图,在平面直角坐标系中,若已知点A(xA,yA)和点C(xC,yC),点M为线段AC的中点,利用三 角形全等的知识,可以求到中点M的坐标为(,) 基本知识: (1)若A、C点的坐标分别A(1,3)、C(3,1),写出AC中点M的坐标 ; 方法提炼: (2)如图,在平面直角坐标系中,ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1,5)、 (2,2)、 (3, 3),求点D的坐标; (3)如图,点A是反比例函数y(x0)上的动点,过点A作ABx轴,ACy轴,分别交函数 y(x0)的图象于点B、C,点D是直线y2x上的动点,请探索在点A运动过程

6、中,以A、B、C、 D为顶点的四边形能否为平行四边形,若能,求出此时点A的坐标;若不能,请说明理由 8已知:如图,一次函数ykx+b与反比例函数y的图象有两个交点A(1,m)和B,过点A作ADx 轴,垂足为点D;过点B作BCy轴,垂足为点C,且BC2,连接CD (1)求m,k,b的值; (2)求四边形ABCD的面积 9已知关于x的一元二次方程(a1)x2+(23a)x+30 (1)直线l:ymx+n交x轴于点A,交y轴于点B,其中m,n(mn)是此方程的两根,并且 坐标原点O关于直线l的对称点O在反比例函数y的图象上, 求反比例函数y的解析式; (2)在(1)成立的条件下,将直线l绕点A逆时针

7、旋转角 (00450),得到直线l,l交y 轴于点P,过点P作x轴的平行线,与上述反比例函数y的图象交于点Q,当四边形APQO的面积 为 9时,求 的值 10把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数(原函数图象上纵坐标为 0 的点除外)、横坐标不 变,可以得到另一个函数的图象,我们称这个过程为倒数变换 例如:如图,将yx的图象经过倒数变换后可得到y的图象特别地,因为yx图象上纵坐标为 0 的点是原点,所以该点不作变换,因此y的图象上也没有纵坐标为 0 的点 (1)请在下面的平面直角坐标系中画出yx+1 的图象和它经过倒数变换后的图象 (2)观察上述图象,结合学过的关于函数图象与性质的知识,

8、 猜想:倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系?写出两个即可 说理:请简要解释你其中一个猜想 (3)请画出函数y(c为常数)的大致图象 参考答案参考答案 1解:(1)点A(1,m)在直线y2x+2 上, m21+24, 点A的坐标为(1,4), 代入函数y(k0)中,得 4, k4 (2)解得或, B(2,2), 关于x的不等式 2x+2的解集是2x0 或x1 (3)在y2x+2 中令y0,解得x1,则直线与x轴的交点是(1,0) 设点Q的坐标是(a,0) ABQ的面积是 6, |a+1|(2+1)6, 则|a+1|4, 解得a3 或5 则点Q的坐标是(5,0)或(3,0) 2解

9、:(1)ABx轴, ABOBOD, ABOCBD, BODOBD, OBBD, BODBDO, BOD是等边三角形, BOD60, B(1,), 双曲线y经过点B, k1, 双曲线的解析式为y; (2)ABO60,AOB90, A30, AB2OB, ABBC, BC2OB, OCOB, C(1,), 1(), 点C在双曲线上; (3)PBD的周长BD+PB+PD,且BD是定值, 当PB+PD取最小值时,PBD有最小值, 如图,作点B关于y轴的对称点B(1,),连接BD交y轴于点P, B(1,), OB2, BOD是等边三角形, BOOD2, 点D(2,0), 设直线BD解析式为ykx+b,

10、, , yx+, 当x0 时,y, 点P(0,) 3解:(1)点A(8,1)、B(n,8)都在反比例函数的图象上, m818, y, 8,即n1, 设AB的解析式为ykx+b, 把(8,1)、B(1,8)代入上式得: , 解得: 直线AB的解析式为yx+9; (2)存在, 当O在反比例函数的图象上时, 作PEy轴,OFx轴于F,交PE于E, 则E90,POPO2t,QOQOt, 由题意知:POQPOQ,QOF90POE, EPO90POE, PEOOFQ, , 设QFb,OFa, 则PEOFt+b,OE2ta, , 解得:at,bt, O(t,t), 当O在反比例函数的图象上时,8, 解得:t

11、, 反比例函数的图形在第一象限, t0, t O(4,2) 当t秒时,O恰好落在反比例函数的图象上 4解:(1)过点D、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N, 点A(2,0),点B(1,1),则ANBN1, 故ABN为等腰直角三角形,则ABAN, ,则AD3, BAN45,DAB90, DAM45,故MDMAAD3, 故点D(5,3), 同理可得,点C(4,4), 故答案为(4,4),(5,3); (2)矩形ABCD向右平移m个单位,则点D、B的坐标分别为(m5,3)、(m1,1), 将点B、D的坐标代入反比例函数表达式得:k3(m5)1(m1),解得, 故反比例函数表达式为y,m7; (3)

12、存在,理由: 设点Q(s,),点P(0,t), 当DB是边时, 点D向右平移 4 个单位得到B,则点P(Q)向右平移 4 个单位得到Q(P), 故 04s,即s4, 故点Q的坐标为(4,)或(4,); 当BD是对角线时, 由中点公式得:(51)(s+0),解得s6, 故点Q的坐标为(6,1); 综上,点Q的坐标为(4,)或(4,)或(6,1) 5解:(1)当x2 时,yx3,故点A(2,3), 将点A的坐标代入反比例函数表达式得:3,解得k6, 故反比例函数表达式为y; (2)观察图象,请直接写出当x0 时,x的解集为 0 x2; (3)设点B(m,), 则SABPBP(xBxA)|2m|1,

13、 解得m3 或, 故点B的坐标为(3,2)或(,4); (4)存在,理由: 设点Q的坐标为(t,),点P(n,0), APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形,故APQP,APQ90, 过点A、Q分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N, APM+QPN90,QPN+PQN90, APMPQN, AMPPNQ90,APQP, AMPPNQ(AAS), AMPN,PMQN,即n2且tn3, 解得t6, 故点Q(6,1) 6解:(1)过A作AEx轴于E, tanAOE, OE3AE, OA,由勾股定理得:OE2+AE210, 解得:AE1,OE3, A的坐标为(3,1), A点在双曲线上y上, 1, k3

14、, 双曲线的解析式y; B(m,2)在双曲y上, 2, 解得:m, B的坐标是(,2), 代入一次函数的解析式得:, 解得:, 则一次函数的解析式为:yx1; (2)设P点坐标为P(0,t),如图所示, 一次函数的解析式为:yx1; D(0,1),C(,0), ODt+1,OC, SPBC6SAOC, , 即, 解得,t5, P(0,5) 7解:(1)点M是AC的中点,且A(1,3)、C(3,1), M(,), 即:M(1,1), 故答案为(1,1); (2)设线段AC的中点为N, A、C的坐标分别为(1,5)、(3,3), N(,), 即:N(1,4), 设点D(m,n), 四边形ABCD是

15、平行四边形, AC与BD互相平分, 点N是BD的中点, B(2,2), 1,4, m4,n6, D(4,6); (3)点A在反比例函数y(x0)上, 设A(a,)(a0,), ABx轴交函数y(x0), B(,), ACy轴交函数y(x0), C(a,), 点D是直线y2x上的动点, 设点D(d,2d), 假设以A、B、C、D为顶点的四边形能为平行四边形, 当AC,BD为对角线时, AC,BD互相平分, , a(舍)或a, A(,4) 当AB,CD为对角线时,AB,CD互相平分, , a2(舍)或a2, A(2,), 当BC,AD为对角线时, BC,AD互相平分, , a2(舍)或a2, A(

16、2,4), 即:存在以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,此时点A的坐标为(,4)或(2, )或(2,4) 8解:(1)反比例函数y的图象经过点A(1,m), m3, 点B在反比例函数的图象上,且BC2, B点的横坐标为2, 代入y得,y, B(2,), 一次函数ykx+b的图象经过点A、B点, , 解得; (2)延长AD,BC交于点E,则AEB90, BCy轴,垂足为点C, 点C的坐标为(0,), A(1,3), AE3(),BE1(2)3, 四边形ABCD的面积ABE的面积CDE的面积 AEBECEDE 31 6 9解:(1)m,n(mn)是此方程的两根, m+n,mn +, ,

17、a2,即可求得m1,n3 yx+3,则A(3,0),B(0,3), ABO为等腰直角三角形, 坐标原点O关于直线l的对称点O的坐标为(3,3),把(3,3)代入反比例函数y,得k 9, 所以反比例函数的解析式为y; (2)设点P的坐标为(0,p),延长PQ和AO交于点G PQx轴,与反比例函数图象交于点Q, 四边形AOPG为矩形 Q的坐标为(,p), G(3,P), 当 045,即p3 时, GP3,GQ3,GOp3,GAp, S四边形APQOSAPGSQGOp3(3)(p3)9, 99, p(合题意) P(0,)则AP6,OA3, tanPAO, PAO60,604515; 当 45时,直线

18、l于y轴没有交点; 当 4590,则p3, 用同样的方法也可求得p,这与p3 相矛盾,舍去 所以旋转角度 为 15 10解:(1)在平面直角坐标系中画出yx+1 的图象和它经过倒数变换后的图象如图: 图中去掉(1,0)的点 (2)猜想一:倒数变换得到的图象和原函数的图象之间如果存在交点,则其纵坐标为 1 或1; 猜想二:倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同,比如原函数是轴对称图形,则倒数变换的 图象也是轴对称图象; 猜想一:因为只有 1 和1 的倒数是其本身,所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 1 或1,那么倒 数变换得到的图象上必然也存在这样对应的纵坐标为 1 或1,即两个函数图象的交点 (3)当c0 时, 当c0 时, 当c0 时,