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2018-2020年中考数学压轴题真题系列:等腰三角形问题(含答案)

1、 1 2018-2020 年中考数学压轴题真题系列年中考数学压轴题真题系列-等腰三角形问题等腰三角形问题 1 (2020枣庄) 如图, 抛物线 2 4yaxbx交x轴于( 3,0)A ,(4,0)B两点, 与y轴交于点C, 连接AC,BCM 为线段OB上的一个动点,过点M作PMx轴,交抛物线于点P,交BC于点Q (1)求抛物线的表达式; (2)过点P作PNBC,垂足为点N设M点的坐标为( ,0)M m,请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出 当m为何值时PN有最大值,最大值是多少? (3) 试探究点M在运动过程中, 是否存在这样的点Q, 使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在,

2、请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由 2(2019菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点(0, 2)C,点A的坐标是(2,0),P为抛物线 上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线1x (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在第二象限内,且 1 4 PEOD,求PBE的面积 (3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰 三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 3 (2019黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知( 2,2)A ,( 2,0)B ,(0,2)C,(

3、2,0)D四点,动点M以 2 每秒2个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合) ,设运动时间为t(秒) (1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式; (2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若PAMPBM ,求点P的坐标; (3) 当M在CD上运动时, 如图 过点M作MFx轴, 垂足为F,MEAB, 垂足为E 设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值; (4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K是否存在点Q,使得HOK为等腰三 角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由 4 (20

4、19十堰)已知抛物线 2 (2)ya xc经过点( 2,0)A 和 9 (0, ) 4 C,与x轴交于另一点B,顶点为D (1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标; (2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合) ,且DEFA,则DEF能否为等腰三角 形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由; (3)若点P在抛物线上,且 PBD CBD S m S ,试确定满足条件的点P的个数 5 (2020桂林)如图,已知抛物线 ya(x+6) (x2)过点 C(0,2) ,交 x 轴于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧) , 抛物线的顶点为 D,对称轴 DE 交 x 轴于点 E

5、,连接 EC 3 (1)直接写出 a 的值,点 A 的坐标和抛物线对称轴的表达式; (2)若点 M 是抛物线对称轴 DE 上的点,当MCE 是等腰三角形时,求点 M 的坐标; (3)点 P 是抛物线上的动点,连接 PC,PE,将PCE 沿 CE 所在的直线对折,点 P 落在坐标平面内的点 P 处求当点 P恰好落在直线 AD 上时点 P 的横坐标 6 (2019百色)已知抛物线 ymx2和直线 yx+b 都经过点 M(2,4) ,点 O 为坐标原点,点 P 为抛物线上的 动点,直线 yx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 (1)求 m、b 的值; (2)当PAM 是以 AM 为底边的

6、等腰三角形时,求点 P 的坐标; (3)满足(2)的条件时,求 sinBOP 的值 7 (2019无锡)已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a的图象与它的对称轴相交于点A,与y轴相交于点(0, 2)C, 其对称轴与x轴相交于点B 4 (1)若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内,且2BD ,求这个二次函数的表达式; (2)已知P在y轴上,且POA为等腰三角形,若符合条件的点P恰好有 2 个,试直接写出a的值 8 (2019盐城)如图所示,二次函数 2 (1)2yk x的图象与一次函数2ykxk的图象交于A、B两点,点B 在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中

7、0k (1)求A、B两点的横坐标; (2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值; (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得2ODCBEC ,若存在,求出k的值;若 不存在,说明理由 9 (2019葫芦岛)如图,直线 yx+4 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,抛物线 yx2+bx+c 经过 B,C 两点, 5 与 x 轴另一交点为 A点 P 以每秒2个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点 C 运动 (点 P 不与点 B 和点 C 重合) ,设运动时间为 t 秒,过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E,交抛物线于点 M (1)求抛物线的解析式;

8、(2)如图,过点 P 作 y 轴垂线交 y 轴于点 N,连接 MN 交 BC 于点 Q,当 2 1 NQ MQ 时,求 t 的值; (3)如图,连接 AM 交 BC 于点 D,当PDM 是等腰三角形时,直接写出 t 的值 答案: 1 (2020枣庄) 如图, 抛物线 2 4yaxbx交x轴于( 3,0)A ,(4,0)B两点, 与y轴交于点C, 连接AC,BCM 6 为线段OB上的一个动点,过点M作PMx轴,交抛物线于点P,交BC于点Q (1)求抛物线的表达式; (2)过点P作PNBC,垂足为点N设M点的坐标为( ,0)M m,请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出 当m为何值时PN有最大值

9、,最大值是多少? (3) 试探究点M在运动过程中, 是否存在这样的点Q, 使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在, 请求出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】解: (1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得 9340 16440 ab ab ,解得 1 3 1 3 a b , 故抛物线的表达式为: 2 11 4 33 yxx ; (2)由抛物线的表达式知,点(0,4)C, 由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为:4yx ; 设点( ,0)M m,则点 2 11 ( ,4) 33 P mmm,点( ,4)Q mm, 22 1114 44 3333 PQmmmmm , OBOC

10、,故45ABCOCB , 45PQNBQM, 22 21422 2 sin45()(2) 23363 PNPQmmm , 2 0 6 ,故当2m 时,PN有最大值为 2 2 3 ; (3)存在,理由: 点A、C的坐标分别为( 3,0)、(0,4),则5AC , 当ACCQ时,过点Q作QEy轴于点E, 则 222 CQCEEQ,即 22 4(4)25mm , 解得: 5 2 2 m (舍去负值) , 7 故点 5 2 ( 2 Q, 85 2 ) 2 ; 当ACAQ时,则5AQAC, 在Rt AMQ中,由勾股定理得: 22 ( 3)(4)25mm ,解得:1m 或 0(舍去0), 故点(1,3)Q

11、; 当CQAQ时,则 222 2( 3)(4)mmm ,解得: 25 2 m (舍去) ; 综上,点Q的坐标为(1,3)或 5 2 ( 2 , 85 2 ) 2 2 (2019菏泽)如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点(0, 2)C,点A的坐标是(2,0),P为抛物线 上的一个动点,过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线1x (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在第二象限内,且 1 4 PEOD,求PBE的面积 (3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使BDM是以BD为腰的等腰 三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,

12、请说明理由 解: (1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线1x ,则点( 4,0)B , 则函数的表达式为: 2 (2)(4)(28)ya xxa xx, 即:82a ,解得: 1 4 a , 故抛物线的表达式为: 2 11 2 42 yxx; (2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:ymxn并解得: 直线BC的表达式为: 1 2 2 yx ,则 1 tan 2 ABC,则 1 sin 5 ABC, 设点( ,0)D x,则点 2 11 ( ,2) 42 P xxx,点 1 ( ,2) 2 E xx, 1 4 PEOD, 2 1111 (22)() 4224 PExxxx, 解得:

13、0 x 或5(舍去0)x , 即点( 5,0)D 2 11 1115 (22)( 4) 22 4228 PBE SPEBDxxxx ; (3)由题意得:BDM是以BD为腰的等腰三角形, 8 当BDBM时,过点M作MHx轴于点H, 1BDBM , 则 15 sin1 55 M MHyBMABC , 则 202 5 5 M x , 故点 202 5 ( 5 M , 5) 5 ; 如图, 当BDDM时,过点D作DHBC于H,2BMBH, 在Rt BHD中, 2 5 cos 5 BHBDABC, 4 5 5 BM, 过点M作MGx轴于G, 4 sin 5 MGBMABC, 8 cos 5 BGBMAB

14、C, 点 28 ( 5 M , 4) 5 ; 故点M坐标为 202 5 ( 5 , 5) 5 或 28 ( 5 , 4) 5 3 (2019黄冈)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知( 2,2)A ,( 2,0)B ,(0,2)C,(2,0)D四点,动点M以 每秒2个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合) ,设运动时间为t(秒) (1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式; (2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若PAMPBM ,求点P的坐标; (3) 当M在CD上运动时, 如图 过点M作MFx轴, 垂足为F,MEAB, 垂足为E 设矩形MEBF与BCD 重叠部分的面

15、积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值; (4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K是否存在点Q,使得HOK为等腰三 角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由 9 【解答】解: (1)设函数解析式为 2 yaxbxc, 将点( 2,2)A ,(0,2)C,(2,0)D代入解析式可得 242 2 042 abc c abc , 1 4 1 2 2 a b c , 2 11 2 42 yxx ; (2)PAMPBM , PAPB,MAMB, 点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点, 2AB , 点P的纵坐标是 1, 2 11 12 42 x

16、x , 15x 或15x , ( 15P ,1)或( 15P ,1); (3)22 2CMt,224MGCMt, 4 2()4 2(2 222 2)4 22MDBCCMtt, 2 4 2 MFMDt, 44BFtt , 22 113388 ()(24)(4)88() 222233 SGMBFMFtttttt ; 当 8 3 t 时,S最大值为 8 3 ; (4)设点( ,0)Q m,直线BC的解析式2yx, 直线AQ的解析式 2 (2)2 2 yx m , 2 (0,) 2 m K m , 4 ( 4 H m , 24) 4 m m , 22 2 () 2 m OK m , 222 424 (

17、)() 44 m OH mm , 222 4242 ()() 442 mm HK mmm , 当OKOH时, 222 2424 ()()() 244 mm mmm , 2 31280mm, 2 23 3 m 或 2 23 3 m ; 10 当OHHK时, 2222 4244242 ()()()() 44442 mmm mmmmm , 2 480mm, m无解; 当OKHK时, 222 24242 ()()() 2442 mmm mmmm , 2 480mm, 22 3m 或22 3m ; 综上所述:( 22 3Q ,0)或( 22 3Q ,0)或 2 ( 23 3 Q ,0)或 2 ( 23

18、3 Q ,0) 4 (2019十堰)已知抛物线 2 (2)ya xc经过点( 2,0)A 和 9 (0, ) 4 C,与x轴交于另一点B,顶点为D (1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标; (2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合) ,且DEFA,则DEF能否为等腰三角 形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由; (3)若点P在抛物线上,且 PBD CBD S m S ,试确定满足条件的点P的个数 【解答】解: (1)由题意: 160 9 4 4 ac ac , 解得 3 16 3 a c , 抛物线的解析式为 2 3 (2)3 16 yx , 顶点D坐标(2,3)

19、(2)可能如图 1, ( 2,0)A ,(2,3)D,(6,0)B, 8AB,5ADBD, 当DEDF时,DFEDEFABD, / /EFAB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立 当DEEF时, 又BEFAED, BEFAED , 5BEAD 当DFEF时,EDFDEFDABDBA, 11 FDEDAB, EFDE BDAB , 5 8 EFBD DEAB , BEFADE 5 8 EBEF ADDE , 525 88 EBAD, 答:当BE的长为 5 或 25 8 时,CFE为等腰三角形 (3) 如图2中, 连接BD, 当点P在线段BD的右侧时, 作DHAB于H, 连接PD,PH,PB 设P

20、 n, 2 3 (2)3 16 n, 则 22 131133 4 (2)33 (2)43(4) 2162282 PBDPBHPDHBDH SSSSnnn , 3 0 8 , 4n时,PBD的面积的最大值为 3 2 , PBD CBD S m S , 当点P在BD的右侧时,m的最大值 3 1 2 9 3 2 , 观察图象可知:当 1 0 3 m时,满足条件的点P的个数有 4 个, 当 1 3 m 时,满足条件的点P的个数有 3 个, 当 1 3 m 时,满足条件的点P的个数有 2 个(此时点P在BD的左侧) 5 (2020桂林)如图,已知抛物线 ya(x+6) (x2)过点 C(0,2) ,交

21、x 轴于点 A 和点 B(点 A 在点 B 的左侧) , 抛物线的顶点为 D,对称轴 DE 交 x 轴于点 E,连接 EC (1)直接写出 a 的值,点 A 的坐标和抛物线对称轴的表达式; (2)若点 M 是抛物线对称轴 DE 上的点,当MCE 是等腰三角形时,求点 M 的坐标; (3)点 P 是抛物线上的动点,连接 PC,PE,将PCE 沿 CE 所在的直线对折,点 P 落在坐标平面内的点 P 处求当点 P恰好落在直线 AD 上时点 P 的横坐标 12 【答案】 (1)a= 1 6,对称轴直线为 x2; (2)点 M 的坐标为(2,2)或(2,4)或(2,22)或(2,22) ; (3)点

22、P 的横坐标为13241 2 或13+241 2 【解答】解: (1)抛物线 ya(x+6) (x2)过点 C(0,2) , 2a(0+6) (02) , a= 1 6, 抛物线的解析式为 y= 1 6(x+6) (x2)= 1 6(x+2) 2+8 3, 抛物线的对称轴为直线 x2; 针对于抛物线的解析式为 y= 1 6(x+6) (x2) , 令 y0,则 1 6(x+6) (x2)0, x2 或 x6, A(6,0) ; (2)如图 1,由(1)知,抛物线的对称轴为 x2, E(2,0) , C(0,2) , OCOE2, CE= 2OC22,CED45, CME 是等腰三角形, 当 M

23、EMC 时, ECMCED45, CME90, M(2,2) , 当 CECM 时, MM1CM2, EM14, M1(2,4) , 当 EMCE 时, EM2EM322, M2(2,22) ,M3(2,22) , 即满足条件的点 M 的坐标为(2,2)或(2,4)或(2,22)或(2,22) ; (3)如图 2, 由(1)知,抛物线的解析式为 y= 1 6(x+6) (x2)= 1 6(x+2) 2+8 3, D(2,8 3) , 令 y0,则(x+6) (x2)0, x6 或 x2, 点 A(6,0) , 13 直线 AD 的解析式为 y= 2 3x+4, 过点 P 作 PQx 轴于 Q,

24、过点 P作 PQDE 于 Q, EQPEQP90, 由(2)知,CEDCEB45, 由折叠知,EPEP,CEPCEP, PQEPQE(AAS) , PQPQ,EQEQ, 设点 P(m,n) , OQm,PQn, PQn,EQQEm+2, 点 P(n2,2+m) , 点 P在直线 AD 上, 2+m= 2 3(n2)+4, 点 P 在抛物线上, n= 1 6(m+6) (m2), 联立解得,m= 13241 2 或 m= 13+241 2 , 即点 P 的横坐标为13241 2 或13+241 2 6 (2019百色)已知抛物线 ymx2和直线 yx+b 都经过点 M(2,4) ,点 O 为坐标

25、原点,点 P 为抛物线上的 动点,直线 yx+b 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点 (1)求 m、b 的值; (2)当PAM 是以 AM 为底边的等腰三角形时,求点 P 的坐标; (3)满足(2)的条件时,求 sinBOP 的值 【答案】见试题解答内容 14 【解答】解: (1)将 M(2,4)代入 ymx2,得:44m, m1; 将 M(2,4)代入 yx+b,得:42+b, b2 (2)由(1)得:抛物线的解析式为 yx2,直线 AB 的解析式为 yx+2 当 y0 时,x+20, 解得:x2, 点 A 的坐标为(2,0) ,OA2 设点 P 的坐标为(x,x2) ,则 PA2(2

26、x)2+(0 x2)2x4+x24x+4,PM2(2x)2+(4x2)2x4 7x2+4x+20 PAM 是以 AM 为底边的等腰三角形, PA2PM2,即 x4+x24x+4x47x2+4x+20, 整理,得:x2x20, 解得:x11,x22, 点 P 的坐标为(1,1)或(2,4) (3)过点 P 作 PNy 轴,垂足为点 N,如图所示 当点 P 的坐标为(1,1)时,PN1,PO=12+ 12= 2, sinBOP= = 2 2 ; 当点 P 的坐标为(2,4)时,PN2,PO=22+ 42=25, sinBOP= = 5 5 满足(2)的条件时,sinBOP 的值的值为 2 2 或

27、5 5 7 (2019无锡)已知二次函数 2 4(0)yaxaxc a的图象与它的对称轴相交于点A,与y轴相交于点(0, 2)C, 其对称轴与x轴相交于点B (1)若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内,且2BD ,求这个二次函数的表达式; (2)已知P在y轴上,且POA为等腰三角形,若符合条件的点P恰好有 2 个,试直接写出a的值 【解答】解: (1)过点D作DHx轴于点H,如图 1, 15 二次函数 2 4yaxaxc, 对称轴为 4 2 2 a x a , (2,0)B, (0, 2)C, 2OBOC, 45OBCDBH , 2BH , 1BHDH, 213OHOBBH ,

28、 (3,1)D, 把(0, 2)C,(3,1)D代入 2 4yaxaxc中得, 2 9121 c aac , 1 2 a c , 二次函数的解析式为 2 42yxx; (2) 2 4yaxaxc过(0, 2)C, 2c , 22 4(2)42yaxaxca xa , (2, 42)Aa, P在y轴上,且POA为等腰三角形,若符合条件的点P恰好有 2 个, 当抛物线的顶点A在x轴上时,90POA, 则O PO A, 这样的P点只有 2 个, 正、 负半轴各一个, 如图 2, 此时(2,0)A, 420a, 解得 1 2 a ; 当抛物线的顶点A不在x轴上时,30AOB时,则OPA为等边三角形或1

29、20AOP的等腰三角形,这样的 P点也只有两个,如图 3, 16 32 3 tan302 33 ABOB , 2 3 | 42| 3 a , 11 3 26 a 或 11 3 26 综上, 1 2 a 或 11 3 26 或 11 3 26 8 (2019盐城)如图所示,二次函数 2 (1)2yk x的图象与一次函数2ykxk的图象交于A、B两点,点B 在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中0k (1)求A、B两点的横坐标; (2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值; (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得2ODCBEC ,若存在,求出k的值;

30、若 不存在,说明理由 【解答】解: (1)将二次函数与一次函数联立得: 2 (1)22k xkxk, 解得:1x 和 2, 故点A、B的坐标横坐标分别为 1 和 2; (2) 2 215OA , 当OAAB时, 即: 2 15k,解得:2k (舍去2); 当OAOB时, 2 4(2)5k,解得:1k 或3; 故k的值为:1或2或3; (3)存在,理由: 当点B在x轴上方时, 过点B作BHAE于点H,将AHB的图形放大见右侧图形, 过点A作HAB的角平分线交BH于点M,过点M作MNAB于点N,过点B作BKx轴于点K, 17 图中:点(1,2)A、点(2,2)Bk ,则AHk ,1HB , 设:H

31、MmMN,则1BMm , 则ANAHk , 2 1ABk,NBABAN, 由勾股定理得: 222 MBNBMN, 即: 2222 (1)(1)mmkk , 解得: 22 1mkk k, 在AHM中, 2 tan1tan2 HMmBK kkBECk AHkEK , 解得:3k , 此时20k ,则20k ,故:舍去正值, 故3k ; 当点B在x轴下方时, 同理可得: 2 tan1tan(2) HMmBK kkBECk AHkEK , 解得: 47 3 k 或 47 3 , 此时20k ,2k ,故舍去 47 3 , 故k的值为:3或 47 3 9 (2019葫芦岛)如图,直线 yx+4 与 x

32、轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,抛物线 yx2+bx+c 经过 B,C 两点, 与 x 轴另一交点为 A点 P 以每秒2个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点 C 运动(点 P 不与点 B 和点 C 重合) ,设运动时间为 t 秒,过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E,交抛物线于点 M (1)求抛物线的解析式; (2)如图,过点 P 作 y 轴垂线交 y 轴于点 N,连接 MN 交 BC 于点 Q,当 2 1 NQ MQ 时,求 t 的值; (3)如图,连接 AM 交 BC 于点 D,当PDM 是等腰三角形时,直接写出 t 的值 【答案】见试题解答内容 18 【解答】解: (

33、1)直线 yx+4 中,当 x0 时,y4 C(0,4) 当 yx+40 时,解得:x4 B(4,0) 抛物线 yx2+bx+c 经过 B,C 两点 16 + 4 + = 0 0 + 0 + = 4 解得: = 3 = 4 抛物线解析式为 yx2+3x+4 (2)B(4,0) ,C(0,4) ,BOC90 OBOC OBCOCB45 MEx 轴于点 E,PB= 2t BEP90 RtBEP 中,sinPBE= = 2 2 BEPE= 2 2 PBt xMxPOEOBBE4t,yPPEt 点 M 在抛物线上 yM(4t)2+3(4t)+4t2+5t MPyMyPt2+4t PNy 轴于点 N P

34、NONOEPEO90 四边形 ONPE 是矩形 ONPEt NCOCON4t MPCN MPQNCQ = = 1 2 2+4 4 = 1 2 解得:t1= 1 2,t24(点 P 不与点 C 重合,故舍去) 19 t 的值为1 2 (3)PEB90,BEPE BPEPBE45 MPDBPE45 若 MDMP,则MDPMPD45 DMP90,即 DMx 轴,与题意矛盾 若 DMDP,则DMPMPD45 AEM90 AEME yx2+3x+40 时,解得:x11,x24 A(1,0) 由(2)得,xM4t,MEyMt2+5t AE4t(1)5t 5tt2+5t 解得:t11,t25(0t4,舍去) 若 MPDP,则PMDPDM 如图,记 AM 与 y 轴交点为 F,过点 D 作 DGy 轴于点 G CFDPMDPDMCDF CFCD A(1,0) ,M(4t,t2+5t) ,设直线 AM 解析式为 yax+m + = 0 (4 ) + = 2+ 5 解得: = = 直线 AM:ytx+t F(0,t) CFOCOF4t tx+tx+4,解得:x= 4 +1 DGxD= 4 +1 CGD90,DCG45 CD= 2DG= 2(4) +1 4t= 2(4) +1 20 解得:t= 2 1 综上所述,当PDM 是等腰三角形时,t1 或 t= 2 1