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2021届高三数学精准培优专练 离心率(理) 含答案

1、 例 1:设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点分别为 1 F, 2 F,若在x轴上方的C上 存在两个不同的点M,N满足 1212 2 3 FMFFNF ,则椭圆C离心率的取值范围是 ( ) A 3 (0, 2 B 1 (,1) 2 C 3 (,1) 2 D 23 (,) 22 例 2: 阿基米德 (公元前287年公元前212年) 不仅是著名的物理学家, 也是著名的数学家, 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆 C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为 7 4 ,面积为12,则椭圆C的方程为( ) A 22 1 34 xy B

2、22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 例 3:已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ,直线1xy与椭圆C交于M,N两点,以 线段MN为直径的圆经过原点若椭圆C的离心率不大于 3 2 ,则a的取值范围为( ) A(0, 10 B 2 (, 10 2 C 5 (1, 2 D 10 (1, 2 1、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 2、根据离心率求圆锥曲线的标准方程 3、根据离心率求参数的值或取值范围 离心率离心率 一、选择题 1已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点为A,上顶点为B,且3OAOB(O为 坐标原点),则该椭圆

3、的离心率为( ) A 2 3 3 B 6 3 C 2 2 D 3 3 2设双曲线 22 2 1 121 5 xy mm 的实轴长为8,则该双曲线的离心率为( ) A 5 3 B 3 5 C 5 4 D 7 4 3已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 , 直线 2x 与椭圆C交于A,B 两点,O为坐标原点,且OAOB,则椭圆的方程为( ) A 2 2 1 2 x y B 2 1 42 xy C 22 1 84 xy D 22 1 63 xy 4已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,点P为椭圆上不同于左、 右顶点

4、的任意一点,I为 12 PFF的内心,且 11 22 IPFIF FIPF SSS ,若椭圆的离心率 为e,则( ) A 1 e B 2 e Ce D2e 5已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线安有公共焦点,且左、右焦点分别为 1 F, 2 F这 两条曲线在第一象限的交点为P, 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三角形若 1 10PF , 记椭圆与双曲线的离心率分别为 1 e、 2 e,则 12 e e的取值范围是( ) A 1 ( ,) 9 B 1 ( ,) 5 C 1 ( ,) 3 D(0,) 二、填空题 6已知直线l为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线,且l与椭圆 22 22 :1 xy

5、 C ab (0)ab相交于P,Q两点, 点B为椭圆上异于P,Q的任意一点, 若直线BP和BQ的 斜率之积为 1 4 ,则椭圆C的离心率为 7已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,若以 2 F为圆心,b c 为 半径作圆 2 F,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且PT的最小值不小于 3 2 ac ,则椭圆的离心率e的取值范围是 三、解答题 8如图在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab , 22 2 22 :1 44 xy C ab (0ab),椭圆 2 C的右顶点和上顶点分别为A和B,过A,B分别引椭圆

6、1 C的切线 1 l, 2 l,切点为C,D (1)若2a,1b,求直线 1 l的方程; (2)若直线 1 l与 2 l的斜率之积为 9 16 ,求椭圆 1 C的离心率 例 1:【答案】C 【解析】如图,当点M在y上最大,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N, 满足 1212 2 3 FMFFNF ,只需 3 sin 32 c a , 又01e ,所以 3 (,1) 2 e ,故选 C 例 2:【答案】D 【解析】由题意可得 222 12 7 4 ab c a abc ,解得4a,3b, 因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为 22 1 169 xy ,故选 D 例 3:【答案】D 【解析

7、】椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab , 直线1xy与椭圆C交于M,N两点,可得1a , 由1xy联立椭圆方程可得 2222222 ()20abxa xaa b, 设 11 ( ,)M x y, 22 (,)N xy,可得 2 12 22 2a xx ab , 222 12 22 aa b x x ab , 线段MN为直径的圆经过原点,可得OMON,即有 1 212 0 x xy y, 可得 1212 (1)(1)0 x xxx,化为 1212 21 ()0 x xxx , 则 2222 2222 2 210 aa ba abab ,化为 2222 2aba b , 由 3 2

8、e ,可得 2 2 3 1 4 b a ,即 22 1 4 ba, 可得 2 2 2 1 214 a a a ,即有 2 214a ,解得 10 2 a ,可得 10 1 2 a ,故选 D 一、选择题 1【答案】B 【解析】依题意可知 3ab ,即 3 3 ba , 又 2222 36 () 33 cabaaa ,所以该椭圆的离心率 6 3 c e a ,故选 B 2【答案】C 【解析】根据 22 2 1 121 5 xy mm 表示双曲线,可得 22 12am , 2 51bm, 又28a,即4a,所以 2 1216m ,所以2m, 又因为510m ,即 1 5 m ,所以2m,所以 2

9、5 2 19b , 所以 222 16925cab ,所以5c ,所以离心率 5 4 c e a ,故选 C 3【答案】D 【解析】设直线 2x 与椭圆在第一象限的交点为 0 ( 2,)Ay, 因为OAOB,所以 0 2y ,即( 2, 2)A, 由 22 222 22 1 2 2 ab c a abc ,可得 2 6a , 2 3b , 故椭圆方程为 22 1 63 xy ,故选 D 4【答案】A 【解析】设 12 PFF内切圆的半径为r, 则 1 1 1 2 IPF Sr PF , 2 2 1 2 IPF Sr PF , 1 2 12 1 2 IF F Sr FF 11 22 IPFIF

10、FIPF SSS , 1122 11 222 r PFr FFr PF , 整理得 1212 FFPFPF, P为椭圆上的点,22ca,解得 1 e ,故选 A 5【答案】C 【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c, 1 PFm, 2 PFn,(mn), 由于 12 PFF是以 1 PF为底边的等腰三角形, 若 1 10PF ,即有10m,2nc, 由椭圆的定义可得 1 2mna,由双曲线定义可得 2 2mna, 即由 1 5ac, 2 5ac,( 5c ), 再由三角形的两边之和大于第三边,可得2210cc,可得 5 2 c ,既有 5 5 2 c, 由离心率公式可得 2 12 2 12 2 1

11、 25 25 1 ccc e e aac c , 由于 2 25 14 c ,则由 2 11 25 3 1 c ,则 12 e e的取值范围是 1 ( ,) 3 ,故选 C 二、填空题 6【答案】 3 2 【解析】由题知:设( , )B x y,( , )P m n,(,)Qmn, 则 BP yn k xm , BQ yn k xm 因为 1 4 BPBQ kk ,所以 22 22 1 4 ynynyn xm xmxm 又因为B,P在椭圆C上,所以 22 22 1 xy ab , 22 22 1 mn ab , 两式相减得 2222 22 0 xmyn ab ,即 222 222 ynb xm

12、a 所以 2 2 1 4 b a ,即 2 2 1 4 b a ,则 2222 222 3 1 2 cabb e aaa , 故答案为 3 2 7【答案】 32 ,) 52 【解析】因为 2 2 2 () ()PTPFbcbc , 所以当且仅当 2 PF取得最小值时,PT取得最小值 而 2 PF的最小值为ac,所以PT的最小值为 22 ()()acbc 依题意可得 22 3 ()()() 2 acbcac ,所以 22 ()4()acbc, 所以2()acbc,所以2acb ,所以 222 ()4()acac, 所以 22 5230caca,所以 2 5230ee 又bc,所以 22 bc,所

13、以 222 acc,所以 2 21e 联立,得 32 52 e ,故答案为 32 ,) 52 三、解答题 8【答案】(1) 3 (4) 6 yx ;(2) 7 4 e 【解析】(1)当2a,1b, 2 2 1: 1 4 x Cy, 22 2: 1 164 xy C, (4,0)A, 设过(4,0)A处的切线方程为(4)yk x, 代入 1 C,得 2222 (1 4)326440kxk xk 令 2 222 (32)4(1 4)(644)0kkk ,得 2 1 12 k , 3 6 k , 所以 1 l的方程为 3 (4) 6 yx (2)设 1 l, 2 l的斜率分别为 1 k, 2 k,则

14、 12 9 16 k k , 1 l, 2 l的方程 1( 2 )yk xa, 2 2ybk x, 联立 1 22 22 (2 ) 1 yk xa xy ab ,消去y,得 2222324222 111 ()440ba kxa k xa ka b 由 64222422 11 164()(4)0a kba kaa b,得 222 1 3a kb 联立 2 22 22 2 1 ybk x xy ab ,消去y,得 2222222 22 ()430ba kxa bk xa b 由 42222222 22 1612()0a b kba ka b ,得 222 2 3a kb, 故 4224 12 a k kb, 7 34 4 abe