1、 二次函数综合 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数与三角形的面积 2.二次函数与线段和差 3.二次函数与直角三角形 教学目标 1.掌握解二次函数综合题的方法 2.掌握二次函数中的数学模型 教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题 教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、 归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到
2、困难： 1. 非特殊三角形的面积问题； 2. 非竖直型线段的最值； 3.抛物线中直角三角形的存在性问题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数综合 二次函数与三角形的面积 二次函数与线段和差 二次函数与直角三角形 概述 【教学建议】【教学建议】 本节所讲的三个问题：1.二次函数与三角形的面积；2.二次函数与线段和差；3.二次函数与直角三角形。 是二次函数考题中常出现的题型，而且常常是在二次函数的压轴题中出现。建议教师在教学中，可以采取 一题多解的方式，从多个角度切入问题，以期帮助孩子形成有效地解题策略，要把典例讲透，要让学生有 自己的反思，自己的总结，自己的收获。 1.常用面积的处理方法： 2.
3、坐标系中的铅锤法模型 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与三角形的面积 二次函数中的线段线段和差问题，常通过三角函数转移到竖直方向的和差或水平方向的和差，其中竖直方 向的和差最重要，可以用上面点的纵坐标减去下面的点的纵坐标，极易出现二次式，也就是二次函数模型。 为了便于学生记忆：我给它起了一个名字叫“定海神针”。 抛物线中出现直角三角形常见的处理方法： 已知:定点 A(2, 1) 、B(6, 4)和动点 M（m, 0）, 存在直角三角形 ABM,求点 M 的坐标. 1.两线一圆 在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,比如:当以点A为直角顶点
4、 时,过点 A 作 AB 的垂线交 x 轴的点即为所求； 当以点 B 为直角顶点时,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴的点即为 所求；当以点 M 为直角顶点时,只需要以 AB 为直径作辅助圆与 x 轴的交点即为所求. 提示:两直线垂直,则其 K 值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与 x 轴的交点即可.（请学生完成做题 过程） 2.“K 型相似” 知识点 2 二次函数与线段和差 知识点 3 二次函数与直角三角形 提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角,构矩形,得相似,求结果.（请学生完成做题过程） 3.暴力法（两点间距离公式） 利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.
5、其基本解题思路是列点.列线.列式. 第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标； 第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性； 第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点 的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.（请学生完成做题过程） 注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要结合“K 型 相似”去做更简单一些. 【题干】如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx与抛物线 yax 2bx3
6、交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 9 10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 三、例题精析 例题 1 【题干】【题干】已知平面直角坐标系中两定点 A(1, 0
7、)、B(4, 0)，抛物线 yax 2bx2（a0）过点 A、B， 顶点为 C，点 P(m, n)（n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； （3）若 m，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t）个单位，点 C、P 平 移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得顺次首尾连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长 最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 【题干】【题干】如图 1，二次函数 ya(x 22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别
8、 交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、 3 2 5 2 AD AE 例题 2 例题 3 B C D X O P A Y AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由
9、【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，注意总结相应测处理方法，形成有用的解 题模型，再给学生做针对性的练习。 1.如图 1，边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线 上 A、C 两点间的一个动点（含端点），过点 P 作 PFBC 于点 F点 D、E 的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)， 联结 PD、PE、DE （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点 P 的位置发现：当点 P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值进而猜想：对 于任意一点 P，PD 与 PF 的
10、差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点”，则存在多个 “好点”，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标 2.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 经过 A(2, 4 )、O(0, 0)、 四 、课堂运用 基础 B(2, 0)三点 （1）求抛物线 yax 2bxc 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AMOM 的最小值 图 1 3.如图 1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点
11、 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)， 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A、B、C 的坐标； （2） 当点 P 在线段 OB 上运动时， 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时， 四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 1
12、.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx3（a0）与 x 轴交于 A(2, 0)、B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C 2 13 4 42 yxx 巩固 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当 PBQ 存在时，求运动多少秒时PBQ 的面积最大，最大面积是多少？ （3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 SCBKSPBQ52，求点 K 的坐 标
13、图 1 2.已知平面直角坐标系中两定点 A(1, 0)、B(4, 0)，抛物线 yax 2bx2（a0）过点 A、B，顶点为 C，点 P(m, n)（n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； （3）若 m，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t）个单位，点 C、P 平 移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得顺次首尾连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长 最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 3.如图 1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左
14、侧），与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐 标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三个时，求直线 l 的解析式 3 2 5 2 2 33 3 84 yxx 图 1 1.如图 1，已知抛物线（b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧），与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结果均用含 c 的代数式表示
15、）； （2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当 C、 D、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC 的面积为 S 求 S 的取值范围； 若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有_个 图 1 2.如图，抛物线 y=ax 2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点 A（1， ），点 B（3，），O 为坐标原点 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 nm，求 t 的
16、取值范围； （3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC 的大小及点 C 2 1 2 yxbxc 拔高 的坐标 3.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x 2x1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(1,k) （1）当 k2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 1.二次函数与三角形的面积的常见处理方法 2.二次函数与线段和差的常见处理方法
17、3.二次函数与直角三角形的常见处理方法 1. 如图，抛物线 yax 24xc(a0)经过点 A(1，0)，点 E(4，5)，与 y 轴交于点 B，连接 AB （1）求该抛物线的解析式； （2）将ABO 绕点 O 旋转，点 B 的对应点为点 F 课堂小结 拓展延伸 基础 当点 F 落在直线 AE 上时，求点 F 的坐标和ABF 的面积； 当点 F 到直线 AE 的距离为2时，过点 F 作直线 AE 的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标 2. 如图,已知二次函数1 2 axy为实数）aa, 0( 的图象过点)2 , 2(A,一次函数bkxy 为实数）bkk, 0( 的图象l经过点)2 , 0
18、(B. (1) 求a值并写出二次函数表达式； (2) 求b值； (3) 设直线l与二次函数图象交于NM、两点,过M作MC垂直x轴于点C, 试证明:MCMB； (4) 在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由. 3.如图，已知抛物线 2 13 (0) 22 yxxn n与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左边），与 y 轴交于 点 C如图 1，若ABC 为直角三角形，求 n 的值。 x y -1 E B A O x y -1 E B A O 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 5yaxbx交y轴于点A，交x轴于点( 5,0)B 和点(1,0)C，
19、 过点A作 ADx 轴交抛物线于点 D. （1）求此抛物线的表达式； （2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积； （3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时 点P的坐标和ABP的最大面积 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数4 3 2 xy的图像与 x 轴和 y 轴分别相交于 A、B 两点。动 点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动。 点 A 关于点 P 的对称点为点 Q,以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN。设运动时间为 x 秒
20、。 (1) 当 3 1 t秒时，点 Q 的坐标是 ； 巩固 (2) 在运动过程中，设正方形 PQMN 与AOB 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数表达式； (3) 若正方形 PQMN 对角线的交点为 T，请直接写出运动过程中 OT+PT 的最小值。 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C1： 2 1yaxbx经过点 A(2，1)和点 B(1，1)，抛物线 C2： 2 21yxx，动直线 xt 与抛物线 C1交于点 N，与抛物线 C2交于点 M（1）求抛物线 C1的表达 式；（2）直接 用含 t 的代数式表示线段 MN 的长；（3）当AMN 是以 MN 为直角边的等腰直角三角形时，
21、求 t 的值； 1.如图， 已知抛物线4 2 3 2 xaxy的对称轴是直线 x=3， 且与 x 轴相交于 A， B 两点 （B 点在 A 点右侧） ， 与 y 轴交于 C 点。 （1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标 拔高 （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存在一点 P，使PBC 的 面积最大，若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由 2.如图，点 P 为抛物线 y= 1 4 x 2上一动点 （1）若抛物线 y= 1 4 x 2是由抛物线 y=1 4 （x+2） 2-1 通过图象平移得到的，请写出平移的过程； （2）若直线
22、 l 经过 y 轴上一点 N，且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0，-1），过点 P 作 PMl 于 M 问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得 PM=PF 恒成立？若存在，求出点 F 的坐标：若 不存在，请说明理由 问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为（1，5），求 QP+PF 的最小值 3.如图，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3，6），B（5，4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC， BC （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB 平分CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由