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1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)

1、1.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复 合函数的求导 知识点一 导数的四则运算法则 已知 f(x)x,g(x)1 x. 思考 1 f(x),g(x)的导数分别是什么? 答案 f(x)1,g(x) 1 x2. 思考 2 试求 G(x)x1 x,H(x)x 1 x的导数并说出 G(x),H(x)与 f(x),g(x)的关 系 答案 G(x)1 1 x2.同理,H(x)1 1 x2. G(x)f(x)g(x),H(x)f(x)g(x) 思考 3 f(x)g(x)f(x)g(x)正确吗?那么 fx gx f

2、x gx(g(x)0 且 g(x)0)是否正 确? 答案 f(x)g(x)f(x)g(x), fx gx fx gx. 梳理 导数的四则运算法则 (1)设 f(x),g(x)是可导的,则: 法则 语言叙述 f(x) g(x)f(x) g(x) 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数 的导数和(或差) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导 数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第 二个函数的导数 fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) 两个函数的商的导数,等于分子的导数乘以 分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母 的平方 (2)

3、特别地,Cf(x)Cf(x), 1 gx gx g2x (g(x)0) 特别提醒:(1)f(x) g(x)f(x) g(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导 (2)af(x) bg(x)af(x) bg(x) 知识点二 复合函数 yf(u(x)的导数 yf(u(x)是 x 的复合函数,则 yf(u(x)dy du du dxf(u) u(x) 1函数 f(x)xex的导数是 f(x)ex(x1)( ) 2当 g(x)0 时, 1 gx gx g2x .( ) 3函数 ye x的导数为 yex.( ) 类型一 利用导数的四则运算法则求导 例 1 求下列函数的导数 (1)yx3 ex;(2

4、)yxsin x 2cos x 2; (3)yx2log3x;(4)ye x1 ex1. 解 (1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3ex x2(3x)ex. (2)yx1 2sin x, yx1 2(sin x)1 1 2cos x. (3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x 1 xln 3. (4)ye x1ex1ex1ex1 ex12 e xex1ex1ex ex12 2ex ex12. 反思与感悟 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数 (2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导

5、数计算 跟踪训练 1 (1)已知 f(x)(xa)(xb)(xc),则 a fa b fb c fc_. 答案 0 解析 f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)(xb) (xc)(xa)(xb)(xc) (xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb), f(a)(ab)(ac), f(b)(ba)(bc)(ab)(bc), f(c)(ca)(cb)(ac)(bc) a fa b fb c fc a abac b abbc c acbc abcbaccab abbcac 0. (2)求下列函数的导数 y2x 33x x1 x x ; yx 21 x23; y(x1)(x3)(x5); yxs

6、in x 2 cos x. 解 313 1 222 23yxxxx , 135 2 222 33 3. 22 yxxxx 方法一 yx 21x23x21x23 x232 2xx 232xx21 x232 4x x232. 方法二 yx 21 x23 x232 x23 1 2 x23, y 1 2 x23 2 x23 2x 232x23 x232 4x x232. 方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x 3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3) 3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5) (x24x3)(x5) x

7、39x223x15, y(x39x223x15) 3x218x23. y(xsin x) 2 cos x xsin xx(sin x)2cos x2cos x cos2x sin xxcos x2sin x cos2x. 类型二 简单复合函数求导 例 2 求下列函数的导数 (1)yecos x 1;(2)ylog 2(2x1); (3)y2sin 3x 6 ;(4)y 1 12x . 解 (1)设 yeu,ucos x1, 则 yxyu uxeu (sin x)ecos x 1sin x. (2)设 ylog2u,u2x1, 则 yxyu ux 2 uln 2 2 2x1ln 2. (3)设

8、y2sin u,u3x 6, 则 yxyu ux2cos u36cos 3x 6 . (4)设 yu 1 2 ,u12x, 则 yxyu ux( 1 2 u ) (12x) 1 2 3 2 u (2)(12x) 3 2 . 反思与感悟 求复合函数导数的步骤 (1)确定中间变量,正确分解复合关系,即明确函数关系 yf(u),ug(x) (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导), 要特别注意中间变量对自变量的 求导,即先求 yu,再求 ux. (3)计算 yu ux,并把中间变量转化为自变量 整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤,熟练以后可以省略中间过程 跟踪训练 2 (1)已

9、知函数 f(x)(2x1)5,则 f(0)的值为_ 答案 10 解析 f(x)5(2x1)4 (2x1)10(2x1)4, f(0)10. (2)求下列函数的导数 y 3x;y1 2ln(x 21);ya12x(a0,a1) 解 设 y u,u3x, 则 yxyu ux 1 2 u (1) 1 2 3x . 设 y1 2ln u,ux 21,则 y xyu ux1 2 1 u (2x) 1 2 1 x21 (2x) x x21. 令 yau,u12x,则 yxyu uxau ln a (2) a1 2xln a (2)2a12xln a. 类型三 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求

10、函数解析式 例 3 (1)已知函数 f(x)ln x x 2xf(1),试比较 f(e)与 f(1)的大小关系; (2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x,试确定常数 a,b,c,d,使得 f(x)xcos x. 解 (1)由题意得 f(x)1ln x x2 2f(1), 令 x1,得 f(1)1ln 1 1 2f(1),即 f(1)1. f(x)ln x x 2x. f(e)ln e e 2e1 e2e,f(1)2, 由 f(e)f(1)1 e2e20,得 f(e)f(1) (2)由已知得 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)co

11、s x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又f(x)xcos x, adcx0, axbcx, 即 ad0, c0, a1, bc0, 解得 ad1,bc0. 反思与感悟 (1)中确定函数 f(x)的解析式,需要求出 f(1),注意 f(1)是常数 (2)中利用待定系数法可确定 a,b,c,d 的值 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则 跟踪训练 3 函数 f(x) x 2x1f(1),则 f(1)_. 答案 1

12、解析 对 f(x)求导,得 f(x)2x12x 2x12 1 2x12, 则 f(1)1. 命题角度2 与切线有关的问题 例4 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10, 则点P的坐标是_ 答案 (e,e) 解析 设 P(x0,y0)yxln x, yln xx 1 x1ln x, k1ln x0. 又 k2,1ln x02, x0e.y0eln ee. 点 P 的坐标是(e,e) (2)已知函数 f(x)ax2bx3(a0),其导函数为 f(x)2x8. 求 a,b 的值; 设函数 g(x)exsin xf(x),求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 解 因为 f(x)a

13、x2bx3(a0),所以 f(x)2axb, 又知 f(x)2x8,所以 a1,b8. 由可得 g(x)exsin xx28x3, 所以 g(x)exsin xexcos x2x8, 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又知 g(0)3, 所以 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0), 即 7xy30. 反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元 素其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步,也是解题的关键,务 必做到准确 (3)分清已知点是否在曲线上,若

14、不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点 跟踪训练 4 (1)设曲线 y2cos x sin x 在点 2,2 处的切线与直线 xay10 垂直,则 a _. 答案 1 解析 ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x , 当 x 2时,y 12cos 2 sin2 2 1. 又直线 xay10 的斜率是1 a, 1 a1,即 a1. (2)曲线 yesin x在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 2,求直线 l 的方程 解 设 usin x, 则 y(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x, 即 y|x01, 则切

15、线方程为 y1x0,即 xy10. 若直线 l 与切线平行,可设直线 l 的方程为 xyc0. 两平行线间的距离 d|c1| 2 2,所以 c3 或 c1. 故直线 l 的方程为 xy30 或 xy10. 1设函数 y2exsin x,则 y等于( ) A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x) 答案 D 解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x) 2对于函数 f(x)e x x2ln x 2k x ,若 f(1)1,则 k 等于( ) A.e 2 B. e 3 C e 2 D e 3 答案 A 解析 f(x)e

16、xx2 x3 1 x 2k x2, f(1)e12k1,解得 ke 2, 故选 A. 3曲线 y x x2在点(1,1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 答案 A 解析 yxx2xx2 x22 2 x22, ky|x1 2 1222, 切线方程为 y12(x1),即 y2x1. 4函数 y2cos2x 在 x 12处的切线斜率为_ 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 1 解析 由函数 y2cos2x1cos 2x, 得 y(1cos 2x)2sin 2x, 所以函数在 x 12处的切线斜率为 2sin 2 12 1. 5在曲线

17、 yx33x26x10 的切线中,斜率最小的切线的方程为_ 答案 3xy110 解析 y3x26x63(x22x2) 3(x1)233, 当 x1 时,斜率最小,此时切点坐标为(1,14), 切线方程为 y143(x1),即 3xy110. 1应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时,要先利用代数、三角 恒等变换对函数进行化简,然后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,避免出错 2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数公式中是“”,而商的 导数公式中分子上是“” 3求复合函数的导数应处理好以下环节 (1)正确分析函数的复合层次 (2)中间变量应是基本初等函数结构 (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导 (4)善于把一部分表达式作为一个整体 (5)最后要把中间变量换成自变量的函数