1、1.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标 1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复 合函数的求导 知识点一 导数的四则运算法则 已知 f(x)x，g(x)1 x. 思考 1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 答案 f(x)1，g(x) 1 x2. 思考 2 试求 G(x)x1 x，H(x)x 1 x的导数并说出 G(x)，H(x)与 f(x)，g(x)的关 系 答案 G(x)1 1 x2.同理，H(x)1 1 x2. G(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x) 思考 3 f(x)g(x)f(x)g(x)正确吗？那么 fx gx f
2、x gx(g(x)0 且 g(x)0)是否正 确？ 答案 f(x)g(x)f(x)g(x)， fx gx fx gx. 梳理 导数的四则运算法则 (1)设 f(x)，g(x)是可导的，则： 法则 语言叙述 f(x) g(x)f(x) g(x) 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数 的导数和(或差) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第 二个函数的导数 fx gx fxgxfxgx g2x (g(x)0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以 分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母 的平方 (2)
3、特别地，Cf(x)Cf(x)， 1 gx gx g2x (g(x)0) 特别提醒：(1)f(x) g(x)f(x) g(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导 (2)af(x) bg(x)af(x) bg(x) 知识点二 复合函数 yf(u(x)的导数 yf(u(x)是 x 的复合函数，则 yf(u(x)dy du du dxf(u) u(x) 1函数 f(x)xex的导数是 f(x)ex(x1)( ) 2当 g(x)0 时， 1 gx gx g2x .( ) 3函数 ye x的导数为 yex.( ) 类型一 利用导数的四则运算法则求导 例 1 求下列函数的导数 (1)yx3 ex；(2
4、)yxsin x 2cos x 2； (3)yx2log3x；(4)ye x1 ex1. 解 (1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3ex x2(3x)ex. (2)yx1 2sin x， yx1 2(sin x)1 1 2cos x. (3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x 1 xln 3. (4)ye x1ex1ex1ex1 ex12 e xex1ex1ex ex12 2ex ex12. 反思与感悟 求函数的导数的策略 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数 (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导
5、数计算 跟踪训练 1 (1)已知 f(x)(xa)(xb)(xc)，则 a fa b fb c fc_. 答案 0 解析 f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)(xb) (xc)(xa)(xb)(xc) (xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)， f(a)(ab)(ac)， f(b)(ba)(bc)(ab)(bc)， f(c)(ca)(cb)(ac)(bc) a fa b fb c fc a abac b abbc c acbc abcbaccab abbcac 0. (2)求下列函数的导数 y2x 33x x1 x x ； yx 21 x23； y(x1)(x3)(x5)； yxs
6、in x 2 cos x. 解 313 1 222 23yxxxx ， 135 2 222 33 3. 22 yxxxx 方法一 yx 21x23x21x23 x232 2xx 232xx21 x232 4x x232. 方法二 yx 21 x23 x232 x23 1 2 x23， y 1 2 x23 2 x23 2x 232x23 x232 4x x232. 方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x 3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3) 3x218x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5) (x24x3)(x5) x
7、39x223x15， y(x39x223x15) 3x218x23. y(xsin x) 2 cos x xsin xx(sin x)2cos x2cos x cos2x sin xxcos x2sin x cos2x. 类型二 简单复合函数求导 例 2 求下列函数的导数 (1)yecos x 1；(2)ylog 2(2x1)； (3)y2sin 3x 6 ；(4)y 1 12x . 解 (1)设 yeu，ucos x1， 则 yxyu uxeu (sin x)ecos x 1sin x. (2)设 ylog2u，u2x1， 则 yxyu ux 2 uln 2 2 2x1ln 2. (3)设
8、y2sin u，u3x 6， 则 yxyu ux2cos u36cos 3x 6 . (4)设 yu 1 2 ，u12x， 则 yxyu ux( 1 2 u ) (12x) 1 2 3 2 u (2)(12x) 3 2 . 反思与感悟 求复合函数导数的步骤 (1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系 yf(u)，ug(x) (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)， 要特别注意中间变量对自变量的 求导，即先求 yu，再求 ux. (3)计算 yu ux，并把中间变量转化为自变量 整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程 跟踪训练 2 (1)已
9、知函数 f(x)(2x1)5，则 f(0)的值为_ 答案 10 解析 f(x)5(2x1)4 (2x1)10(2x1)4， f(0)10. (2)求下列函数的导数 y 3x；y1 2ln(x 21)；ya12x(a0，a1) 解 设 y u，u3x， 则 yxyu ux 1 2 u (1) 1 2 3x . 设 y1 2ln u，ux 21，则 y xyu ux1 2 1 u (2x) 1 2 1 x21 (2x) x x21. 令 yau，u12x，则 yxyu uxau ln a (2) a1 2xln a (2)2a12xln a. 类型三 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求
10、函数解析式 例 3 (1)已知函数 f(x)ln x x 2xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； (2)设 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数 a，b，c，d，使得 f(x)xcos x. 解 (1)由题意得 f(x)1ln x x2 2f(1)， 令 x1，得 f(1)1ln 1 1 2f(1)，即 f(1)1. f(x)ln x x 2x. f(e)ln e e 2e1 e2e，f(1)2， 由 f(e)f(1)1 e2e20，得 f(e)f(1) (2)由已知得 f(x)(axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)co
11、s x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又f(x)xcos x， adcx0， axbcx， 即 ad0， c0， a1， bc0， 解得 ad1，bc0. 反思与感悟 (1)中确定函数 f(x)的解析式，需要求出 f(1)，注意 f(1)是常数 (2)中利用待定系数法可确定 a，b，c，d 的值 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则 跟踪训练 3 函数 f(x) x 2x1f(1)，则 f(1)_. 答案 1
12、解析 对 f(x)求导，得 f(x)2x12x 2x12 1 2x12， 则 f(1)1. 命题角度2 与切线有关的问题 例4 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10， 则点P的坐标是_ 答案 (e，e) 解析 设 P(x0，y0)yxln x， yln xx 1 x1ln x， k1ln x0. 又 k2，1ln x02， x0e.y0eln ee. 点 P 的坐标是(e，e) (2)已知函数 f(x)ax2bx3(a0)，其导函数为 f(x)2x8. 求 a，b 的值； 设函数 g(x)exsin xf(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程 解 因为 f(x)a
13、x2bx3(a0)，所以 f(x)2axb， 又知 f(x)2x8，所以 a1，b8. 由可得 g(x)exsin xx28x3， 所以 g(x)exsin xexcos x2x8， 所以 g(0)e0sin 0e0cos 02087. 又知 g(0)3， 所以 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37(x0)， 即 7xy30. 反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元 素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务 必做到准确 (3)分清已知点是否在曲线上，若
14、不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 跟踪训练 4 (1)设曲线 y2cos x sin x 在点 2，2 处的切线与直线 xay10 垂直，则 a _. 答案 1 解析 ysin 2x2cos xcos x sin2x 12cos x sin2x ， 当 x 2时，y 12cos 2 sin2 2 1. 又直线 xay10 的斜率是1 a， 1 a1，即 a1. (2)曲线 yesin x在(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程 解 设 usin x， 则 y(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x， 即 y|x01， 则切
15、线方程为 y1x0，即 xy10. 若直线 l 与切线平行，可设直线 l 的方程为 xyc0. 两平行线间的距离 d|c1| 2 2，所以 c3 或 c1. 故直线 l 的方程为 xy30 或 xy10. 1设函数 y2exsin x，则 y等于( ) A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xcos x) 答案 D 解析 y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x) 2对于函数 f(x)e x x2ln x 2k x ，若 f(1)1，则 k 等于( ) A.e 2 B. e 3 C e 2 D e 3 答案 A 解析 f(x)e
16、xx2 x3 1 x 2k x2， f(1)e12k1，解得 ke 2， 故选 A. 3曲线 y x x2在点(1，1)处的切线方程为( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x2 答案 A 解析 yxx2xx2 x22 2 x22， ky|x1 2 1222， 切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. 4函数 y2cos2x 在 x 12处的切线斜率为_ 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 1 解析 由函数 y2cos2x1cos 2x， 得 y(1cos 2x)2sin 2x， 所以函数在 x 12处的切线斜率为 2sin 2 12 1. 5在曲线
17、 yx33x26x10 的切线中，斜率最小的切线的方程为_ 答案 3xy110 解析 y3x26x63(x22x2) 3(x1)233， 当 x1 时，斜率最小，此时切点坐标为(1，14)， 切线方程为 y143(x1)，即 3xy110. 1应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角 恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错 2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的 导数公式中分子上是“” 3求复合函数的导数应处理好以下环节 (1)正确分析函数的复合层次 (2)中间变量应是基本初等函数结构 (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导 (4)善于把一部分表达式作为一个整体 (5)最后要把中间变量换成自变量的函数
