1、4.24.2 对对 数数 4 4. .2.12.1 对数的概念对数的概念 学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求 简单的对数值 知识点一 对数的概念 1对数的定义： 一般地，如果 abN(a0，且 a1)，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb，其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数如图所示： 思考 在对数的定义中为什么不能取 a0 及 a1 呢？ 答案 (1)a0，且 a1，则 axNlogaNx. (2)对数恒等式： logaN aN；logaaxx(a0，且 a1，N0) 知识点三 对数的性质 1loga10(a0
2、，且 a1) 2logaa1(a0，且 a1) 3零和负数没有对数 1logaN 是 loga与 N 的乘积( ) 2若 3x2，则 xlog32.( ) 3因为 a1a(a0 且 a1)，所以 logaa1.( ) 4若 ln N1 2，则 N 1 2 e.( ) 一、指数式与对数式的互化 例 1 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)3327；(2) 1 2 log 83； (3)5a16；(4)log5a20. 解 (1)3327，log3273. (2) 1 2 log 83， 1 2 38. (3)5a16，log516a. (4)log5a20，520a.
3、反思感悟 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式 (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式 跟踪训练 1 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)3 21 9；(2) 1 5 3125； (3) 1 3 log 273；(4)log64 x 6(x0，且 x1) 解 (1)log31 92. (2) 1 5 log 1253. (3) 1 3 327. (4)( x) 664. 二、对数的计算 例 2 (1)求下列各式的值 log981_. log0.41_. ln
4、 e2_. 答案 2 0 2 解析 设 log981x，所以 9x8192， 故 x2，即 log9812. 设 log0.41x，所以 0.4x10.40， 故 x0，即 log0.410. 设 ln e2x，所以 exe2， 故 x2，即 ln e22. (2)求下列各式中 x 的值 log27x2 3；logx164. 解 由 log27x2 3得，x 2 2 3 3 3 273 3 21 9. 由 logx164，得 x 416，即 x41 16 1 2 4，又 x0，且 x1，x1 2. 反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数
5、字母的值，要注意利用方程思想求解 (2)基本方法 将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题 利用幂的运算性质和指数的性质计算 跟踪训练 2 求下列各式的值： (1)log28；(2)log91 9； (3)ln e；(4)lg 1. 解 (1)设 log28x，则 2x823. x3.log283. (2)设 log91 9x，则 9 x1 99 1， x1.log91 91. (3)ln e1. (4)lg 10. 三、利用对数的性质求值 例 3 求下列各式中 x 的值： (1)log2(log5x)0；(2)log3(lg x)1；(3) 7 1 log 5 7x . 解 (1)log2
6、(log5x)0，log5x201， x515. (2)log3(lg x)1，lg x313， x1031 000. (3) 7 1 log 5 7x 7 7 log 5 77 57 5. 延伸探究 把本例(1)中的“log2(log5x)0”改为“log2(log5x)1”，求 x 的值 解 因为 log2(log5x)1， 所以 log5x2，则 x5225. 反思感悟 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论 loga10 和 logaa1(a0 且 a1)，进行变形求 解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算 (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从
7、外到内求，逐步脱去“log ”后再求解 跟踪训练 3 求下列各式中的 x 的值 (1)log8log7(log2x)0； (2)log2log3(log2x)1. 解 (1)由 log8log7(log2x)0， 得 log7(log2x)1，即 log2x7，x27. (2)由 log2log3(log2x)1， 得 log3(log2x)2，log2x9，x29. 1(多选)下列说法正确的有( ) A只有正数有对数 B任何一个指数式都可以化成对数式 C以 5 为底 25 的对数等于 2 D 3 log 3 a a 成立 答案 AC 解析 B 错误，如(2)24 就不能化成对数式，D 错误，
8、对数式的真数 a 应大于 0. 22 31 8化为对数式为( ) A 1 8 log 23 B 1 8 log32 Clog21 83 Dlog2(3)1 8 答案 C 解析 根据对数的定义知选 C. 3求值：lg 100_；lg 0.001_. 答案 2 3 解析 由 102100 知，lg 1002， 10 30.001 得，lg 0.0013. 4已知 log8x2 3，则 x_. 答案 4 解析 log8x2 3化为指数式为 x 22 3 33 824. 5计算：3log222log313log773ln 1_. 答案 0 解析 原式312031300. 1知识清单： (1)对数的概念 (2)自然对数、常用对数 (3)指数式与对数式的互化 (4)对数的性质 2方法归纳：转化思想、方程思想 3常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围