1、第第 2 2 课时课时 不等式的证明方法不等式的证明方法 学习目标 1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法 证明简单问题.2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点掌握反证法证明问题的一般步 骤，能用反证法证明一些简单的命题 知识点一 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法综合法最重要的 推理形式为 pq，其中 p 是已知或者已得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成 立的结论 知识点二 分析法 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等
2、)为止分析法最重要的推理形式为 pq，其 中 p 是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件 知识点三 反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立 1综合法是从结论向已知的逆推证法( ) 2 综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程 分析法的推理过程实际上是寻求使 结论成立的充分条件的过程( ) 3用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”( ) 4用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾( ) 一、综合法的应用 例 1 若 ab0，cd0，e0，求证： e ac2 e bd2. 证明 cd0，cd0. 又ab0，acbd0. (a
3、c)2(bd)20. 两边同乘以 1 ac2bd2， 得 1 ac2 1 bd2. 又 e0， e ac2 e bd2. 延伸探究 本例条件不变的情况下，求证： e ac e bd. 证明 cd0，cd0. ab0，acbd0， 0 1 ac 1 bd. 又e0， e ac e bd. 反思感悟 综合法处理问题的三个步骤 跟踪训练 1 (1)已知 ab，ef，c0.求证：fac0.求证：ab b cd d . 证明 (1)ab，c0，acbc， acbc.fe， fac0， a b c d， a b1 c d1， ab b cd d . 二、分析法的应用 例 2 已知 a0，证明：a2 1 a
4、2 2a 1 a2. 证明 要证a2 1 a2 2a 1 a2， 只需证a2 1 a2 a1 a (2 2) 因为 a0，所以 a1 a (2 2)a1 2 a 20， 所以只需证 a2 1 a2 2 a1 a 2 2 2， 即 2(2 2) a1 a 84 2， 只需证 a1 a2. 因为 a0，所以 a1 a2 a22a1 a a1 2 a 0， 所以 a1 a2 显然成立(当 a1 时等号成立)， 所以要证的不等式成立 反思感悟 (1)分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式 (2)分析法证明数学命题的过程是逆向
5、思维，即结论已知，因此，在叙述过程中， “要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误 跟踪训练 2 若 a，b(1，)，证明： ab 1ab. 证明 要证 ab 1ab， 只需证( ab)2( 1ab)2， 只需证 ab1ab0， 即证(a1)(1b)0. 因为 a1，b1，所以 a10,1b0， 即(a1)(1b)0 成立， 所以原不等式成立 三、反证法的应用 例 3 已知 xR，ax21 2，b2x，cx 2x1，试证明 a，b，c 至少有一个不小于 1. 证明 假设 a，b，c 均小于 1，即 a1，b1，c1， 则有 abc3， 而 abc x21 2 (2x)(x2x1)
6、2x22x7 22 x1 2 233. 这与 abc3 矛盾，假设不成立， 故 a，b，c 至少有一个不小于 1. 反思感悟 反证法证明问题的一般步骤 跟踪训练 3 若 x0，y0，且 xy2，求证：1y x 与1x y 至少有一个小于 2. 证明 假设1y x 与1x y 都不小于 2， 即1y x 2，1x y 2. x0，y0，1y2x,1x2y， 两式相加得 2(xy)2(xy) xy2，这与已知中 xy2 矛盾 假设不成立，原命题成立 故1y x 与1x y 至少有一个小于 2. 1用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”正确的反设是( ) A自然数 a，b
7、，c 中至少有两个偶数 B自然数 a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C自然数 a，b，c 都是奇数 D自然数 a，b，c 都是偶数 答案 B 解析 “恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选 B. 2求证： 71 11 5. 证明：要证 71 11 5， 只需证 7 5 111， 即证 72 755112 111，即证 35 11， 3511， 原不等式成立 以上证明应用了( ) A分析法 B综合法 C分析法与综合法配合使用 D反证法 答案 A 解析 该证明方法符合分析法的定义，故选 A. 3(多选)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( ) A结论的反设
8、B已知条件 C定义、公理、定理等 D原结论 答案 ABC 解析 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为 一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、 定义、定理、公理等相矛盾的结果 4(多选)下列命题中，不正确的是( ) A若 ab0，则 1 ab 1 a B若 acbc，则 ab C若a c2 b c2，则 ab，cd，则 acbd 答案 ABD 解析 ab0， ab0，a0，(ab)a0. 又 1 ab 1 a b aab0， 1 ab 1 a，可知 A 错误； 当 cbcab，故 B 错误； a c20，ab，故 C 正确； 取 ac2，bd1，可知 D 错误 5甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖有人走访了四位歌手，甲说：“乙 或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”若 四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是_ 答案 甲 解析 假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲 1知识清单：三种证明方法的步骤 2方法归纳：综合法、分析法、反证法 3常见误区：综合法证明中不等式性质使用不当，反证法中假设不正确