1、14.3 因式分解 14.3.2 公式法,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 上册,第一课时,平方差公式,如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a2 b2=(a+b)(ab),1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想,2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解,素养目标,用平方差公式进行因式分解,多项式a2b2有什么特点？你能将它分解因式吗？,是a，b两数的平方差的形式,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.,平方差公式：,辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解
2、因式，为什么？,两数是平方， 减号在中央,(1)x2+y2,(2)x2y2,(3)x2y2,(x2+y2),y2x2,(4)x2+y2,(5)x225y2,(x+5y)(x5y),(6)m21,(m+1)(m1),例1 分解因式：,a,a,b,b,a2 b2 =,解:(1)原式=,2x,3,2x,2x,3,3,(2)原式,整体思想,a,b,利用平方差公式分解因式的应用,+,公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.,1.分解因式： (1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2.,(2m4n)(4m2n),解：(1)
3、原式(ab2a)(ab2a),(ba)(3ab)；,(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn),4(m2n)(2mn),例2 分解因式：,解：(1)原式(x2)2(y2)2,(x2+y2)(x2y2),(x2+y2)(x+y)(xy);,(2)原式ab(a21),ab(a+1)(a1).,多次因式分解,分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止,2. 分解因式： (1)5m2a45m2b4； (2)a24b2a2b.,(a2b)(a2b1).,5m2(a2b2)(ab)(ab)；,解：(1)原式5m2(a4b4),5m2(a2b2)(a
4、2b2),(2)原式(a24b2)(a2b),(a2b)(a2b)(a2b),例3 已知x2y22，xy1，求xy，x，y的值,xy2.,解：x2y2(xy)(xy)2，,xy1，,联立组成二元一次方程组，,解得：,利用因式分解求整式的值,方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.,3.已知xy=2，x2y2=8，求x+y的值.,解：由题意得： (x+y)(xy)=8， xy=2， 2(x+y)=8， x+y=4.,例4 计算下列各题： (1)1012992； (2)53.52446.524.,解：(1)原式(10199)(
5、10199)400；,(2)原式4(53.5246.52), 4(53.546.5)(53.546.5),41007=2800.,方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.,利用因式分解进行简便运算,4.用平方差公式进行简便计算: (1)3837 (2)21387 (3)229171 (4)9189,解：(1) 3837 =(38+37)(3837) =75,(2) 21387 =(213+87)(21387) =300126=37800,(3) 229171 =(229+171)(229171) =40058=23200,(4) 9189 =(90+1)(
6、901) =901=81001=8099,例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2(2n1)2一定能被8整除,即多项式(2n+1)2(2n1)2一定能被8整除,证明：原式=(2n+1+2n1)(2n+12n+1)=4n2=8n，,n为整数，,8n被8整除，,方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除,利用因式分解进行证明,5. 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式 a22bc=c22ab，试判断这个三角形的形状.,解：a22bc=c22ab， (a2c2)+ 2ab2bc=0，(a+c)(ac)+ 2b（a-c）=0， (ac)(a+c+
7、2b)=0. a+c+2b0，ac=0，即a=c， 这个三角形是等腰三角形.,分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.,1. 多项式4aa3分解因式的结果是() Aa(4a2) Ba(2a)(2+a) Ca(a2)(a+2) Da(2a)2,2. 若a+b=4，ab=1，则(a+1)2(b1)2的值为 ,解析：a+b=4，ab=1， (a+1)2(b1)2=(a+1+b1)(a+1b+1)=(a+b)(ab+2) =4(1+2)=12,B,12,1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() Aa2(b)2 B5m220mn Cx2y2 Dx2
8、9,D,2. 将多项式xx3因式分解正确的是() Ax(x21) Bx(1x2) Cx(x+1)(x1) Dx(1+x)(1x),D,3.若a+b=3，ab=7，则b2a2的值为(),A21 B21 C10 D10,A,4.把下列各式分解因式： (1)16a29b2=_; (2)(a+b)2(ab)2=_; (3) 因式分解：2x28=_; (4) a4+16=_.,(4a+3b)(4a3b),4ab,(4+a2)(2+a)(2a),5.若将(2x)n81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x3)，则n的值是_.,4,2(x+2)(x2),1. 已知4m+n=40，2m3n=5求(m+2n)2
9、(3mn)2的值,原式= 405= 200,解：原式=(m+2n+3m n)(m+2n 3m+n),=(4m+n)(3n 2m),= (4m+n)(2m 3n)，,当4m+n=40，2m3n=5时，,2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积,解：根据题意，得,6.8241.62,6.82 (21.6)2,6.823.22,(6.83.2)(6.8 3.2),103.6,36 (cm2),答：剩余部分的面积为36 cm2.,(1)9921能否被100整除吗？,解：(1)因为 9921=(99+1)(991)=10098，,所以，(2n+1
10、)225能被4整除.,(2)n为整数，(2n+1)225能否被4整除？,所以9921能被100整除.,(2)原式=(2n+1+5)(2n+15),=(2n+6)(2n4),=2(n+3) 2(n2)=4(n+3)(n2).,平方差公式分解因式,公式,a2b2=(a+b)(ab),步骤,一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.,第二课时,完全平方公式,我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？,2. 能较熟练地运用完全平方公式分解因式,1
11、. 理解完全平方公式的特点,素养目标,3. 能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明,1.因式分解：,把一个多项式转化为几个整式的积的形式.,2.我们已经学过哪些因式分解的方法？,提公因式法,平方差公式,a2b2=(a+b)(ab),用完全平方公式分解因式,3.完全平方公式,(ab)2=a22ab+b2,回 顾旧知,你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,这个大正方形的面积可以怎么求？,(a+b)2,a2+2ab+b2,=,将上面的等式倒过来看，能得到：,a2+2ab+b2,a22ab+b2,我们把a+2ab+b和a2ab+b这
12、样的式子叫做完全平方式.,观察这两个多项式：,(1)每个多项式有几项？,(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？,(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项.,这两项都是数或式的平方，并且符号相同.,是第一项和第三项底数的积的2倍.,完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的2倍.,完全平方式:,简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.,+b2,=(a b),a2,首2,+尾2,2首尾,(首尾)2,两个数的平方和加上(或减去)这两个
13、数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.,3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ),2.m6m+9=( ) 2 ( ) ( )+( ) =( ),1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( ),x,2,x + 2,a,a 2b,a + 2b,2b,对照 a2ab+b=(ab)，填空：,m,m 3,3,x,2,m,3,试一试,下列各式是不是完全平方式？ (1)a24a+4; (2)1+4a; (3)4b2+4b1; (4)a2+ab+b2; (5)x2+x+0.25.,是,只有两项；,不是,4b与1的符号不统一；,不是,不是,是,ab不是a与b的积
14、的2倍.,例1 分解因式： (1)16x2+24x+9； (2)x2+4xy4y2.,分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3，24x=24x3， 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+24x3+ (3)2.,(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为(x24xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.,利用完全平方公式分解因式,解： (1)16x2+ 24x +9,= (4x + 3)2；,= (4x)2 + 24x3 + (3)2,(2)x2+ 4xy4y2,=(x24xy+4y2),=(x2y)2.,1. 把下列多项式因式分
15、解. (1)x212xy+36y2. (2)16a4+24a2b2+9b4.,解：(1)x212xy+36y2 =x22x6y+(6y)2 =(x6y)2.,(2)16a4+24a2b2+9b4 =(4a2)2+24a23b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2.,(3)2xyx2y2. (4)412(xy)+9(xy)2.,解：(3)2xyx2y2 = (x2+2xy+y2) = (x+y)2.,(4)412(xy)+9(xy)2 =22223(xy)+3(xy)2 =23(xy)2 =(23x+3y)2.,例2 如果x26x+N是一个完全平方式，那么N是( ) A . 11 B. 9 C
16、. 11 D. 9,B,解析：根据完全平方式的特征，中间项6x=2x(3)，故可知N=(3)2=9.,利用完全平方公式求字母的值,本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解,2. 如果x2mx+16是一个完全平方式，那么m的值为_.,解析：16=(4)2，故m=2(4)，m=8.,8,例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)212(a+b)+36.,解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；,分析：(1)中有公
17、因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m212m+36.,(2)原式=(a+b)22(a+b) 6+62 =(a+b6)2.,利用完全平方公式进行较复杂的因式分解,利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.,3.因式分解： (1)3a2x224a2x48a2； (2)(a24)216a2.,(a244a)(a244a),解：(1)原式3a2(x28x16),3a2(x4)2；,(2)原式(a24)2(4a)2,(a2)2(a2)2.,例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)
18、1002210099+99； (2)3423432162.,解：(1)原式=(10099),(2)原式(3416)2,=1.,2500.,利用完全平方公式进行简便运算,4. 计算: 7652172352 17. 解：7652172352 17 =17 (7652 2352) =17 (765+235)(765 235) =17 1 000 530=9010000.,例5 已知:a2+b2+2a4b+5=0，求2a2+4b3的值.,提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形
19、式，从而利用非负数的性质来求解.,利用完全平方公式和非负性求字母的值,解：由已知可得(a2+2a+1)+(b24b+4)=0 即(a+1)2+(b2)2=0 2a2+4b3=2(1)2+423=7,方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答,5. 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值,112121.,解：x24xy210y290，,(x2)2(y5)20.,(x2)20，(y5)20，,x20，y50，,x2，y5，,x2y22xy1(xy1)2,1. 因式分解：a22ab+b2= ,2. 若a
20、+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 ,解析：a+b=2，ab= 3， a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)， =ab(a+b)2， = 34= 12,(ab)2,12,1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) Aa21 Ba26a9 Cx25y Dx25y,2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是( ) A4xy(xy)x3 Bx(x2y)2 Cx(4xy4y2x2) Dx(4xy4y2x2),3.若m2n1，则m24mn4n2的值是_,B,B,1,4.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式，则m的值为_ ,4,5. 把下列多项式因式分解
21、. (1)x212x+36; (2)4(2a+b)24(2a+b)+1; (3) y2+2y+1x2;,(2)原式=2(2a+b) 22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;,解：(1)原式=x22x6+(6)2=(x6)2;,(3)原式=(y+1) x=(y+1+x)(y+1x).,(2)原式,1.计算：(1) 38.92238.948.948.92.,解：(1)原式(38.948.9)2,100.,2. 分解因式:(1)4x24x1；(2) 小聪和小明的解答过程如下：,他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.,x22x3.,(2)原式 (x26x9) (x3)2,解: (1)原式(2x)222x11(2x+1)2,小聪: 小明:,(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值； (2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值,原式25250.,解：(1)原式a22abb2(ab)2.,当ab3时，原式329.,(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.,当ab2，ab5时，,完全平方公式分解因式,公式,a22ab+b2=(ab)2,特点,(1)要求多项式有三项. (2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.,