1、1 1. .1.31.3 集合的基本运算集合的基本运算 第第 1 1 课时课时 交集与并集交集与并集 学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用 维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 知识点一 交集 1交集 2交集的运算性质 (1)ABBA. (2)AAA. (3)AA. (4)如果 AB，则 ABA，反之也成立 知识点二 并集 1并集 2并集的运算性质 (1)ABBA. (2)AAA. (3)AAA. (4)如果 AB，则 ABB，反之也成立 思考 (1)“xA 或 xB”包含哪几种情况？ (2)集合 AB 的元素个数是否等
2、于集合 A 与集合 B 的元素个数之和？ 答案 (1)“xA 或 xB”这一条件包括下列三种情况：xA，但 xB；xB，但 xA；xA 且 xB.用维恩图表示如图所示 (2)不等于AB 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素个数之和 1设集合 M4,5,6,8，N3,5,7,8，则 MN_. 答案 3,4,5,6,7,8 解析 M4,5,6,8，N3,5,7,8， MN3,4,5,6,7,8 2已知集合 A1,0,1,2，B1,0,3，则 AB_. 答案 1,0 解析 由 A1,0,1,2，B1,0,3， 得 AB1,0 3已知 A(1，)，B(0，)，则 AB_，AB_. 答案 (
3、0，) (1，) 解析 AB(1，)(0，)(0，) AB(1，)(0，)(1，) 4已知集合 M3,1)，N(，3)，则 MN_，MN_. 答案 (，1) 解析 利用数轴表示集合 M 与 N， 可得 MN，MN(，1) 一、交集的概念及应用 例 1 (1)若 AxN|1x10，BxR|x2x60，则图中阴影部分表示的集合为 ( ) A2 B3 C3,2 D2,3 答案 A 解析 易知 A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，B3,2，图中阴影部分表示的集合为 AB2 (2)(多选)设集合 A1,2，B0,4，则 AB 等于( ) A0,2 Bx|0 x2 C0,4 Dx|0 x4 答案
4、AB 解析 在数轴上表示出集合 A 与 B，如图所示 则由交集的定义知，AB0,2x|0 x2 反思感悟 求集合 AB 的常用方法 (1)若 A，B 是列举法表示，则直接利用定义求解 (2)若 A，B 的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集 (3)若 A，B 是区间形式，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点 的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示 跟踪训练 1 (1)若区间 A(2,1)，B(0,2)，则集合 AB 等于( ) A(1,1) B(2,1) C(2,2) D(0,1) 答案 D 解析 如图， 因为 A(2,1)，B(0,2)，
5、所以 AB(0,1) (2)(多选)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数 为( ) A6 B8 C12 D14 答案 BD 解析 8322,14342， 8A,14A， AB8,14 二、并集的概念及应用 例 2 (1)设集合 Mx|x22x0，xR，Nx|x22x0，xR，则 MN 等于( ) A0 B0,2 C2,0 D2,0,2 答案 D 解析 Mx|x22x0， xR0， 2， Nx|x22x0， xR0,2， 故MN2,0,2 (2)(多选)已知集合 Mx|3x5，Nx|x5，则 MN 等于( ) Ax|x3 Bx|5x5 C(，5)
6、(3，) D(5,5) 答案 AC 解析 在数轴上表示集合 M，N，如图所示， 则 MNx|x3 反思感悟 求集合并集的常用方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解 (2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法 求解 跟踪训练 2 (1)已知区间 P(1,1)，Q(0,2)，那么 PQ 等于( ) A(1,2) B(0,1) C(1,0) D(1,2) 答案 A 解析 因为 P(1,1)， Q(0,2)，画数轴如图所示， 所以 PQ(1,2) (2)(多选)点集 A(x，y)|x0，B(x，y)|y0) (1)若 ABB，求
7、 a 的取值范围； (2)若 AB，求 a 的取值范围 解 (1)因为 ABB，所以 AB， 观察数轴可知， 2a， 43a， 所以4 3a2. (2)AB有两类情况：B 在 A 的左边和 B 在 A 的右边，如图 观察数轴可知，a4 或 3a2， 又 a0，所以 0a2 3或 a4. 延伸探究 本例条件下，若 AB(3,4)，求 a 的值 解 画出数轴如图， 观察数轴可知 a3， 3a4， 即 a3. 反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)ABAAB，ABBAB. (2)当集合 BA 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确定，运算时要考虑 B 的情况，切不可漏掉
8、跟踪训练 3 (1)Ax|x1 或 x3，Bx|ax4，若 ABR，则实数 a 的取值范围是 ( ) A3a4 B1a4 Ca1 Da1 答案 C 解析 利用数轴，若 ABR，则 a1. (2)若集合 Ax|3x5，Bx|2m1x2m9，ABB，则 m 的取值范围是 _，若 ABA，则 m 的取值范围是_ 答案 m|2m1 m|2m1 解析 ABB，AB，如图所示， 2m13， 2m95， 解得2m1. m 的取值范围为m|2m1 当 ABA 时，同样 AB，所以结论是一样的 分类讨论思想方法的运用及思维的严谨性 典例 (1)已知 M2， a23a5,5， N1， a26a10,3， MN2,
9、3， 则 a 的值是( ) A1 或 2 B2 或 4 C2 D1 答案 C 解析 MN2,3， a23a53， a1 或 2. 当 a1 时，N1,5,3，M2,3,5，不合题意； 当 a2 时，N1,2,3，M2,3,5，符合题意 (2)已知集合 Ax|x23x20，Bx|x22xa10，若 ABB，则 a 的取值范围 为_ 答案 a|a2 解析 由题意，得 A1,2 ABB，BA， 当 B时，(2)24(a1)2； 当 B时，当 1B 时，12a10，解得 a2，且此时 B1，符合题意； 当 2B 时，44a10，解得 a1，此时 B0,2，不合题意 综上所述，a 的取值范围是a|a2
10、素养提升 (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视 (2)在本例(2)中，ABBBA，B 可能为空集，需分类讨论以不重不漏的讨论和严谨的 转化过程提升逻辑推理素养 1若集合 M1,0,1,2，Nx|x(x1)0，则 MN 等于( ) A1,0,1,2 B0,1,2 C1,0,1 D0,1 答案 D 解析 N0,1，MN0,1 2.已知集合 M1,0,1，P0,1,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A0,1 B0 C1,2,3 D1,0,1,2,3 答案 D 解析 由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是 MP.因为 M1,0,1，P0,1,2,3，故 MP1,0,1,
11、2,3 3(多选)已知集合 Ax|x4n1，nN，By|y2n1，nN，C1,0,1,3,5,7,9， 则集合 ABC 中的元素为( ) A1 B3 C5 D7 答案 ABD 解析 1401201， 3411221， 7421241. 4若集合 Ax|1x5，Bx|x1 或 x4，则 AB_，AB_. 答案 R x|1x1 或 4x5 解析 借助数轴可知： ABR，ABx|1x1 或 4x5 5已知集合 A(x，y)|xy4，B(x，y)|xy2，则 AB_. 答案 (3,1) 解析 由题意，知 AB(x，y)|xy4 且 xy2 x，y xy4， xy2 ， 解 xy4， xy2 得 x3， y1， 故 AB(3,1) 1知识清单： (1)并集、交集的概念及运算 (2)并集、交集运算的性质 (3)求参数值或范围 2方法归纳：数形结合、分类讨论 3常见误区： 由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论