1、一一 不等式不等式 第第 1 课时课时 不等式的基本性质不等式的基本性质 学习目标 1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明 简单的不等式、解决不等式的简单问题 知识点 不等式的基本性质 思考 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？ 答案 作差，与 0 比较类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质 梳理 (1)两个实数 a，b 的大小关系 (2)不等式的基本性质 对称性：abba. 传递性：ab，bcac. 可加性：abacbc. 可乘性：如果 ab，c0，那么 acbc； 如果 ab，c0，那么 acbc. 乘方：如果 ab0，那么 anbn(nN，
2、n2) 开方：如果 ab0，那么nanb(nN，n2). 类型一 作差比较大小 例 1 (1)已知 ab0，比较a b与 a1 b1的大小； (2)已知 x1，比较 x31 与 2x22x 的大小 解 (1)a b a1 b1 ab1ba1 bb1 ab bb1. 因为 ab0， 所以 ab0，b(b1)0， 所以 ab bb10， 所以a b a1 b1. (2)x31(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2 x1)(x1) x1 2 23 4 ， 因为 x1， 所以 x10. 又因为 x1 2 23 40， 所以(x1) x1 2 23
3、4 0， 所以 x312x22x. 反思与感悟 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的 符号得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等 跟踪训练 1 已知 x，y 均为正数，设 m1 x 1 y， n 4 xy，试比较 m 和 n 的大小 解 mn1 x 1 y 4 xy xy xy 4 xy xy 24xy xyxy xy2 xyxy， x，y 均为正数， x0，y0，xy0，xy0，(xy)20. mn0，即 mn.(当且仅当 xy 时，等号成立) 类型二 不等式基本性质的应用 命题角度1 判断不等式是否成立 例 2 判断下列命题是否正确，并说明
4、理由 (1)若 ab0，则1 a 1 b； (2)若 cab0，则 a ca b cb； (3)若a c b d，则 adbc； (4)设 a，b 为正实数，若 a1 ab 1 b，则 ab. 解 (1)正确 因为 ab0，所以 ab0.两边同乘以 1 ab， 得 a 1 abb 1 ab，得 1 b 1 a. (2)正确 因为 ca0，cb0，且 cacb， 所以 1 ca 1 cb0. 又 ab0，所以 a ca b cb. (3)不正确 因为a c b d，所以 a c b d0， 即adbc cd 0， 所以 adbc0， cd0 或 adbc0， cd0， 即 adbc 且 cd0
5、或 adbc 且 cd0. (4)正确 因为 a1 ab 1 b，且 a0，b0， 所以 a2bbab2aa2bab2ba0ab(ab)(ab)0(ab)(ab1)0， 所以 ab0，即 ab. 反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧 要判断一个命题为真命题，必须严格证明； 要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果其中， 举反例在解选择题时用处很大 (2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 倒数法则要求两数同号； 两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定； 同向不等式可以相加，异向不等式可以相减 跟踪训练 2 下列命题中正确的是
6、_(填序号) 若 ab0，cd0，那么 a d b c； 若 a，bR，则 a2b252(2ab)； 若 a，bR，ab，则 a2b2； 若 a，bR，ab，则 a c21 b c21. 答案 解析 对于，cd0，1 d 1 c0， a d b c0， a d b c，不对； 对于，a2b25(4a2b) a24ab22b5 (a2)2(b1)20， a2b252(2ab)，对； 对于，由于 ab 不能保证 a，b 同时大于 0， a2b2不成立，不对； 对于，c210， 由 ab，可得 a c21 b c21，对 命题角度2 证明不等式成立 例 3 已知 ab0，cd0，求证： b ac a
7、 bd. 证明 cd0，cd0. 又 ab0， acbd0，0 1 ac 1 bd. 又 0ba， b ac a bd. 引申探究 1若本例条件不变，求证： 3 a d 3 b c. 证明 cd0，cd0， 0 1 c 1 d. a d b c0， 3 a d 3 b c，即 3 a d 3 b c， 3 a d 3 b c. 2若本例条件不变，求证： ac ac bd bd. 证明 ab0，1 b 1 a0. 又cd0，cd0， 1 d 1 c0. 1 b 1 d 1 a 1 c0，即 db bd ca ac 0， ac ca bd db0， ac ac bd bd. 反思与感悟 进行简单的
8、不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上， 如果不能直接由不等式的性质得到， 可以先分析需要证明的不等式的结构， 利用不等式的性 质进行逆推，寻找使其成立的充分条件 跟踪训练 3 已知 a0，b0，求证：b 2 a a2 b ab. 证明 b2 a a2 b (ab) b2 aa a2 bb baba a abab b (ab)(a b) 1 b 1 a 1 ab(ab) 2(ab)， a0，b0， 1 ab(ab) 2(ab)0，即b 2 a a 2 b ab. 1若 ab0，则下列结论不正确的是( ) Aa2b2 Baba2 C.b a a b2 D|a|b|ab| 答案
9、A 解析 ab0，ab0， 即(a)2(b)2，a2b2. 2若 a0，1b0，则有( ) Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a 答案 D 解析 1b0，bb21. a0，abab2a. 3下列说法中，正确的个数是_ 若 ab，则 ac2bc2； 若 ab，则 ac2bc2； 若a c b c，则 acbc； 若a c b c，则 acbc； 若 ab， acbc， 则 c0； 若 ab， acbc， 则 c0. 答案 4 解析 当 c20 时，不正确；正确；正确；正确；正确；当 ab 时，不正确 4已知 12a60,10b20，则b a的取值范围是_ 答案 1 6
10、b a 5 3 解析 由 12a60，得 1 60 1 a 1 12，又 10b20， 所以根据不等式的性质可得1 6 b a 5 3. 5设 xa2b25，y2aba24a，若 xy，则实数 a，b 满足的条件是_ 答案 ab1 或 a2 解析 xy， xya2b25(2aba24a) a2b22aba24a5 (ab1)2(a2)20， ab1 或 a2. 1不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等 式的性质进行 2作差法比较大小的基本步骤：作差变形与 0 比较总结其关键是将“差” 式变成“积”式，方便与 0 比较 3不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等 式成立的条件