1、1 13.23.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决 一些简单的几何问题 知识点一 空间向量的坐标运算 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 减法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数乘 a a(a1，a2，a3)，R 数量积 a b a ba1b1a2b2a3b3 思考 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？ 答案 空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：
2、一个空间向量的坐标 等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有 当 b0 时，ababa1b1，a2b2，a3b3(R)； aba b0a1b1a2b2a3b30； |a| a a a21a22a23； cosa，b a b |a|b| a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23. 知识点三 空间两点间的距离公式 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则 P1P2|P1P2 |x2x12y2y12z2z12. 思考 已知点 A(x，y
3、，z)，则点 A 到原点的距离是多少？ 答案 OA|OA |x2y2z2. 1空间直角坐标系中，向量AB 的坐标与终点 B 的坐标相同( ) 2设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，若 ab 则x1 x2 y1 y2 z1 z2.( ) 3设 A(0,1，1)，O 为坐标原点，则OA (0,1，1)( ) 4若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB | x 2x1 2y 2y1 2z 2z1 2. ( ) 一、空间向量的坐标运算 例 1 (1)已知 O 为坐标原点， A， B， C 三点的坐标分别是(2， 1,2)， (4,5， 1)， (2,2,3) 求 点
4、 P 的坐标，使AP 1 2(AB AC) 解 AB (2,6，3)，AC(4,3,1)， AB AC(6,3，4) 设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP (x2，y1，z2)， 1 2(AB AC)AP 3，3 2，2 ， x5，y1 2，z0，则点 P 的坐标为 5，1 2，0 . (2)已知 a(1,1,2)若|a| 5，且与 c(2，2，)垂直，求 a. 解 |a| 5，且 ac， 1212225， 1，1，2 2，2，0， 化简，得 5223， 2220， 解得 1. 因此，a(0,1，2) 反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由
5、其两个端点的坐标确定； (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算 (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标 跟踪训练 1 已知 ab(2， 2，2 3)，ab(0， 2，0)，则 a_，b_， a b_. 答案 (1， 2， 3) (1,0， 3) 4 解析 ab(2， 2，2 3)，ab(0， 2，0)， a(1， 2， 3)，b(1,0， 3)， a b1034. 二、向量的坐标表示的应用 命题角度 1 空间平行垂直问题 例 2 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M 是 线段
6、 EF 的中点 求证：(1)AM平面 BDE； (2)AM平面 BDF. 证明 (1)如图，建立空间直角坐标系， 设 ACBDN，连接 NE， 则点 N，E 的坐标分别为 2 2 ， 2 2 ，0 ，(0,0,1) NE 2 2 ， 2 2 ，1 . 又点 A，M 的坐标分别是()2， 2，0 ， 2 2 ， 2 2 ，1 ， AM 2 2 ， 2 2 ，1 . NE AM . 又 NE 与 AM 不共线，NEAM. 又NE平面 BDE，AM平面 BDE， AM平面 BDE. (2)由(1)知AM 2 2 ， 2 2 ，1 . D( 2，0,0)，F( 2， 2，1)， DF (0， 2，1)
7、，AM DF 0， AM DF . 同理，AM BF . 又 DFBFF，且 DF平面 BDF，BF平面 BDF， AM平面 BDF. 命题角度 2 夹角、距离问题 例3 如图， 在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中， CACB1， BCA90 ， 棱 AA12，N 为 A1A 的中点 (1)求 BN 的长； (2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值 解 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直 角坐标系 Cxyz. (1)依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)， |BN | 102012102 3， 线段 BN
8、 的长为 3. (2)依题意得 A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， A1B (1,1，2)，B1C (0，1，2)， A1B B1C (1)01(1)(2)(2)3. 又|A1B | 6，|B1C | 5， cosA1B ，B1C A1B B1C |A1B |B1C | 30 10 . 又异面直线所成角为锐角或直角， 故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 30 10 . 反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 (2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标 (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算 (4)
9、转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题 跟踪训练 2 如图，长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 D1D，BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG1 4CD，H 为 C1G 的中点 (1)求证：EFB1C； (2)求 FH 的长 (3)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (1)证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，D 为坐标原点，则有 E 0，0，1 2 ，F 1 2， 1 2，0 ， C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G 0，3 4，0 ，H 0，7 8， 1 2 . EF 1 2， 1 2，0 0，0，1 2 1 2， 1 2，
10、 1 2 ， B1C (0,1,0)(1,1,1)(1,0，1) EF B 1C 1 2(1) 1 20 1 2 (1)0， EF B 1C ，即 EFB 1C. (2)解 F 1 2， 1 2，0 ，H 0，7 8， 1 2 ， FH 1 2， 3 8， 1 2 ， |FH | 1 2 2 3 8 2 1 2 2 41 8 . FH 的长为 41 8 . (3)解 C1G 0，3 4，0 (0,1,1) 0，1 4，1 . |C1G |17 4 . 又EF C 1G 1 20 1 2 1 4 1 2 (1)3 8，|EF |3 2 ， cos EF ，C 1G EF C 1G |EF | |
11、C 1G | 51 17 . 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 51 17 . 利用空间向量解决探索性问题 典例 正方体ABCDA1B1C1D1中， 若G是A1D的中点， 点H在平面ABCD上， 且GHBD1， 试判断点 H 的位置 解 如图所示，以 D 为原点，DA ，DC ，DD1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空 间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 因为 G 是 A1D 的中点，所以点 G 的坐标为 1 2，0， 1 2 ， 因为点 H 在平面 ABCD
12、 上，设点 H 的坐标为(m，n，0)， 因为GH (m，n，0) 1 2，0， 1 2 m1 2，n， 1 2 ， BD1 (0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)，又GH BD1 ， 所以 m1 2 1 n 1 1 2 1 ，解得 m1，n1 2. 所以点 H 的坐标为 1，1 2，0 ，所以 H 为线段 AB 的中点 即当 H 为线段 AB 的中点时，GHBD1. 素养提升 (1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代 数运算问题 (2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力 1已知 M(5，1,2)，A(4,2，1)，O 为坐
13、标原点，若OM AB ，则点 B 的坐标应为( ) A(1,3，3) B(9,1,1) C(1，3,3) D(9，1，1) 答案 B 解析 OM AB OB OA ，OB OM OA (9,1,1) 2已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，|ab| 29，且 0，则 等于( ) A5 B4 C3 D2 答案 C 解析 ab(0， 1,1)(4,1,0)(4,1， )， 由已知得|ab| 42122 29， 且 0，解得 3. 3已知向量 a(1,1,0)，b(1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是( ) A1 B.1 5 C. 3 5 D. 7 5 答案 D 解
14、析 依题意得(kab) (2ab)0， 所以 2k|a|2ka b2a b|b|20， 而|a|22，|b|25，a b1， 所以 4kk250，解得 k7 5. 4在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB| 110，则 m 的值为_ 答案 7 或 13 解析 |AB | 1222123m2 110， 所以(3m)2100,3m 10. 所以 m7 或 13. 5已知 A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量AB 与AC的夹角为_ 答案 3 解析 AB (0,3,3)，AC(1,1,0)， |AB |3 2，|AC| 2， AB AC0(1)31303， cosAB ，ACAB AC |AB |AC| 1 2， 又AB ，AC0， AB ，AC 3. 1知识清单： (1)向量的坐标的运算 (2)向量的坐标表示的应用 2方法归纳：类比、转化 3常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等 (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况