1、如果 xy，那么下列不等式正确的是（ ） A2x2y B2x2y Cx1y1 Dx+1y+1 6 （2 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，ab，1140，则2 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 7 （2 分）如图，AB 是O 的弦，点 C 是优弧 AB 上的动点（C 不与 A、B 重合） ，CHAB， 垂足为 H，点 M 是 BC 的中点若O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是（ ） 第 2 页（共 32 页） A3 B4 C5 D6 8 （2 分）如图，点
2、 D 是OABC 内一点，CD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，BD， ADB135，SABD2若反比例函数 y（x0）的图象经过 A、D 两点，则 k 的 值是（ ） A2 B4 C3 D6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把笞案直分不需写出解答过程，请把笞案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （2 分）计算：|2|+（1）0 10 （2 分）若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是
3、; 11 （2 分）地球的半径大约为 6400km数据 6400 用科学记数法表示为 12 （2 分）分解因式：x3x 13 （2 分）若一次函数 ykx+2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围 是 14 （2 分）若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1，则 a 15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、F若AFC 是 等边三角形，则B 第 3 页（共 32 页
4、） 16 （2 分）数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中 最好的东西，互相以长补短在菱形 ABCD 中，AB2，DAB120如图，建立平 面直角坐标系 xOy，使得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标 是 17 （2 分）如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BC，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同 侧作正方形 ACDE、BCFG，连接 EC、EG，则 tanCEG 18 （2 分）如图，在ABC 中，B45，A
5、B6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连 接 DE，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F、G，连接 BF、DG若 BF3DG，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直，则 BG 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，卡指定区域内作答，如无特殊说明， 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （6 分）先化简，再求值： （x+1）2x（x+1） ，其中 x2 20 （8 分）解方程和不等式
6、组： 第 4 页（共 32 页） （1）+2； （2） 21 （8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮 球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根 据调查结果绘制成如图统计图 （1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数 22 （8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支
7、签，放在一个 不透明的盒子中 （1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是 ； （2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签， 求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率 23 （8 分）已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，EAFB，EAFB，ABCD （1）求证：EF； （2）若A40，D80，求E 的度数 24 （8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹 果和 1 千克梨共需 22
8、元 第 5 页（共 32 页） （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2） 如果购买苹果和梨共 15 千克， 且总价不超过 100 元， 那么最多购买多少千克苹果？ 25 （8 分）如图，正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于点 A（a， 4） 点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C，交正比 例函数的图象于点 D （1）求 a 的值及正比例函数 ykx 的表达式； （2）若 BD10，求ACD 的面积 26 （10 分）如图
9、 1，点 B 在线段 CE 上，RtABCRtCEF，ABCCEF90， BAC30，BC1 （1）点 F 到直线 CA 的距离是 ； （2）固定ABC，将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 30，使得 CF 与 CA 重合，并停 止旋转 请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示， 保留画图痕迹，不要求写画法） 该图形的面积为 ； 如图 2，在旋转过程中，线段 CF 与 AB 交于点 O，当 OEOB 时，求 OF 的长 27 （10 分）如图 1，I 与直线 a
10、 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 第 6 页（共 32 页） 的值称为I 关于直线 a 的“特征数” （1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两 坐标轴交于点 A、B、C、D 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m， 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点 （填 “A” “B” 、 “C”或“D” ） ，O 关于直线 m 的“特征数”为
11、; ； 若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为半径作F若F 与直线 1 相离，点 N（1，0）是F 关于直线 1 的 “远点” 且F 关于直线 l 的“特征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 28 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线交 抛物线于另一点 B，抛物线过点 C（1，0） ，且顶点为 D，连接 AC、BC、BD、CD （
12、1）填空：b ； （2） 点 P 是抛物线上一点， 点 P 的横坐标大于 1， 直线 PC 交直线 BD 于点 Q 若CQD ACB，求点 P 的坐标； （3）点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F，点 F 关于直线 BC 对称的点 为 G，连接 AG当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长 第 7 页（共 32 页） 2020 年江苏省常州市中考数学试卷年江苏省常州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择
13、题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分在每小题所给出的四个选项中，只分在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是正确的）有一项是正确的） 1 （2 分）2 的相反数是（ ） A2 B C D2 【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案 【解答】解：2 的相反数是2 故选：A 【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键 2 （2 分）计算 m6m2的结果是（ ） Am3 Bm4 Cm8 Dm12 【分析】利用同
14、底数幂的除法运算法则计算得出答案 【解答】解：m6m2m6 2m4 故选：B 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键 3 （2 分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A圆柱 B三棱柱 C四棱柱 D四棱锥 【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形 状 【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形， 则可得出该几何体是四棱柱 故选：C 第 8 页（共 32 页） &n
15、bsp; 【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力 4 （2 分）8 的立方根为（ ） A B C2 D2 【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案 【解答】解：8 的立方根是2， 故选：C 【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a 的立方根是 5 （2 分）如果 xy，那么下列不等式正确的是（ ） A2x2y B2x2y Cx1y1 Dx+1y+1 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可 【解答】解：A、xy， 2x
16、2y，故本选项符合题意； B、xy， 2x2y，故本选项不符合题意； C、xy， x1y1，故本选项不符合题意； D、xy， x+1y+1，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键 6 （2 分）如图，直线 a、b 被直线 c 所截，ab，1140，则2 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】先根据邻补角互补求得3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答 【解答】解：1
17、+3180，140， 3180118014040 第 9 页（共 32 页） ab， 2340 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关 键 7 （2 分）如图，AB 是O 的弦，点 C 是优弧 AB 上的动点（C 不与 A、B 重合） ，CHAB， 垂足为 H，点 M 是 BC 的中点若O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可
18、求得 MH 的最 大值是 3 【解答】解：CHAB，垂足为 H， CHB90， 点 M 是 BC 的中点 MHBC， BC 的最大值是直径的长，O 的半径是 3， MH 的最大值为 3， 故选：A 【点评】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质， 明确 BC 的最大值为O 的直径的长是 解题的关键 8 （2 分）如图，点 D 是OABC 内一点，CD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行，BD， 第 10 页（共 32 页） ADB135，SABD2若反比例函数
19、 y（x0）的图象经过 A、D 两点，则 k 的 值是（ ） A2 B4 C3 D6 【分析】根据三角形面积公式求得 AE2，易证得AOMCBD（AAS） ，得出 OM BD，根据题意得出ADE 是等腰直角三角形，得出 DEAE2，设 A（m， ） ，则 D（m2，3） ，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出关于 m 的方程， 解方程求得 m3，进一步求得 k6 【解答】解：作 AMy 轴于 M，延长 BD，交 AM 于 E，设 BC 与 y 轴的交点为 N， 四边形 OABC 是平行四边形， OABC，OABC， A
20、OMCNM， BDy 轴， CBDCNM， AOMCBD， CD 与 x 轴平行，BD 与 y 轴平行， CDB90，BEAM， CDBAMO， AOMCBD（AAS） ， OMBD， SABD2，BD， AE2， ADB135， ADE45， 第 11 页（共 32 页） ADE 是等腰直角三角形， DEAE2， D 的纵坐标为 3， 设 A（m，） ，则 D（m2，3） ，
21、 反比例函数 y（x0）的图象经过 A、D 两点， km（m2）3， 解得 m3， km6 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征， 平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出 A、D 的 坐标是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把笞案直分不需写出解答过程，请把笞案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9
22、（2 分）计算：|2|+（1）0 3 【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可 【解答】解：|2|+（1）0 2+1 3， 故答案为：3 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行 实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外， 第 12 页（共 32 页） 有理数的运算律在实数范围内仍然适用 10 （2 分）若代数式
23、有意义，则实数 x 的取值范围是 x1 【分析】分式有意义时，分母 x10，据此求得 x 的取值范围 【解答】解：依题意得：x10， 解得 x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查了分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零 （2） 分式无意义的条件是分母等于零 11 （2 分）地球的半径大约为 6400km数据 6400 用科学记数法表示为 6.4103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，
24、n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 6400 用科学记数法表示为 6.4103 故答案为：6.4103 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12 （2 分）分解因式：x3x x（x+1） （x1） 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x21） ，而 x21 可利用平方差公式分解 【解答】解：x3x， x（
25、x21） ， x（x+1） （x1） 故答案为：x（x+1） （x1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式 继续进行因式分解，分解因式一定要彻底 13 （2 分）若一次函数 ykx+2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是 k0 【分析】根据一次函数的性质，如果 y 随 x 的增大而增大，则一次项的系数大于 0，据此 求出 k 的取值范围 【解答】解：一次函数 ykx+2，函数值 y 随 x 的值增大而增大，
26、第 13 页（共 32 页） k0 故答案为：k0 【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数 ykx+b（k0） 中，当 k0 时 y 随 x 的增大而增大 14 （2 分）若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1，则 a 1 【分析】把 x1 代入方程得出 1+a20，求出方程的解即可 【解答】解：关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1， 把 x1 代入方程得：1+a20， 解得：a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次
27、方程的解和解一元一次方程，能得出关于 a 的一元一次方 程是解此题的关键 15 （2 分）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、F若AFC 是 等边三角形，则B 30 【分析】根据垂直平分线的性质得到BBCF，再利用等边三角形的性质得到AFC 60，从而可得B 的度数 【解答】解：EF 垂直平分 BC， BFCF， BBCF， ACF 为等边三角形， AFC60， BBCF30 故答案为：30 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等
28、边三角形的性质，三角形外角的性质，解题 的关键是利用垂直平分线的性质得到BBCF 16 （2 分）数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中 第 14 页（共 32 页） 最好的东西，互相以长补短在菱形 ABCD 中，AB2，DAB120如图，建立平 面直角坐标系 xOy，使得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点 C 的坐标 是 （2，） 【分析】根据直角三角形的性质可得 OA 和 OD 的长，根据菱形的性质和坐标与图形的 性质可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是
29、菱形，且 AB2， CDADAB2， DAB120， OAD60， RtAOD 中，ADO30， OAAD1，OD， C（2，） ， 故答案为： （2，） 【点评】此题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性 质等知识，解题的关键是确定 OD 的长 17 （2 分）如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BC，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同 侧作正方形 ACDE、BCFG，连接 EC、EG，则 tanCEG 【分析】
30、根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案 【解答】解：连接 CG， 在正方形 ACDE、BCFG 中， ECAGCB45， 第 15 页（共 32 页） ECG90， 设 AC2，BC1， CE2，CG， tanGEC， 故答案为： 【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定 义，本题属于基础题型 18 （2 分）如图，在ABC 中，B45，AB6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连 接 DE，在直
31、线 DE 和直线 BC 上分别取点 F、G，连接 BF、DG若 BF3DG，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直，则 BG 的长为 4 或 2 【分析】如图，过点 B 作 BTBF 交 ED 的延长线于 T，过点 B 作 BHDT 于 H，证明 四边形 DGBT 是平行四边形，求出 DH，TH 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 B 作 BTBF 交 ED 的延长线于 T，过点 B 作 BHDT 于 H DGBF，BTBF， DGBT， ADDB，AEEC， DEBC， 第 16
32、 页（共 32 页） 四边形 DGBT 是平行四边形， BGDT，DGBT，BDHABC45， ADDB3， BHDH3， TBFBHF90， TBH+FBH90，FBH+F90， TBHF， tanFtanTBH， ， TH1， DTTH+DH1+34， BG4 当点 F 在 ED 的延长线上时，同法可得 DTBG312 故答案为 4 或 2 【点评】本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题
33、的关键是 学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明， 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （6 分）先化简，再求值： （x+1）2x（x+1） ，其中 x2 【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代 入求出即可 【解答】解： （x+1）2x（x+1） x2+2x+1x2x x+1，
34、 第 17 页（共 32 页） 当 x2 时，原式2+13 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解 此题的关键 20 （8 分）解方程和不等式组： （1）+2； （2） 【分析】 （1）方程两边都乘以 x1 得出方程 x22（x1） ，求出方程的解，再进行检 验即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可 【解答】解： （1）方程两边都乘以 x1 得：x22（x1） ， 解得：x0， 检验：把
35、 x0 代入 x1 得：x10， 所以 x0 是原方程的解， 即原方程的解是：x0； （2）， 解不等式得：x3， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是：2x3 【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程 是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键 21 （8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮 球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根 据调查结果绘制成如图统计图
36、 第 18 页（共 32 页） （1）本次抽样调查的样本容量是 100 ； （2）补全条形统计图； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数 【分析】 （1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量； （2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去 其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可 【解答】解： （1）本次抽样调查的总人数是：25
37、25%100（人） ， 则样本容量是 100； 故答案为：100； （2）打乒乓球的人数有：10035%35（人） ， 踢足球的人数有：10025351525（人） ，补全统计图如下： （3）根据题意得： 第 19 页（共 32 页） 2000300（人） ， 答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有 300 人 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个
38、项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22 （8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个 不透明的盒子中 （1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是 ； （2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回） ，再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签， 求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率 【分析】 （1）共有 3 种可能出现的结果，其中“抽到 1 号”的有 1 种，可求出概率； （2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相
39、应的概 率 【解答】解： （1）共有 3 种可能出现的结果，其中“抽到 1 号”的有 1 种，因此“抽到 1 号”的概率为， 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 6 种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有 4 种， P（和为奇数） 【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果 情况，是正确解答的关键 23 （8 分）已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，EAFB，EAFB，ABCD （1）求证：EF； （2）若A4
40、0，D80，求E 的度数 第 20 页（共 32 页） 【分析】 （1）首先利用平行线的性质得出，AFBD，根据 ABCD 即可得出 AC BD，进而得出EACFBD 解答即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可 【解答】证明： （1）EAFB， AFBD， ABCD， AB+BCCD+BC， 即 ACBD， 在EAC 与FBD 中， ， EACFBD（SAS） ， EF； （2）EACFBD，
41、 ECAD80， A40， E180408060， 答：E 的度数为 60 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角 分别对应相等的两个三角形全等根据已知得出EACFBD 是解题关键 24 （8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹 果和 1 千克梨共需 22 元 （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2） 如果购买苹果和梨共 15 千克， 且总价不超过 100 元， 那么最多购买多少千克苹果？ 【
42、分析】 （1）设每千克苹果的售价为 x 元，每千克梨的售价为 y 元，根据“购买 1 千克 苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元” ，即可得出关于 x，y 第 21 页（共 32 页） 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买 m 千克苹果，则购买（15m）千克梨，根据总价单价数量结合总价不 超过 100 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论 【解答】解： （1）设每千克苹果的售价为 x 元，每千克梨的售价为 y 元， 依题意，得：，
43、解得： 答：每千克苹果的售价为 8 元，每千克梨的售价为 6 元 （2）设购买 m 千克苹果，则购买（15m）千克梨， 依题意，得：8m+6（15m）100， 解得：m5 答：最多购买 5 千克苹果 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出 一元一次不等式 25 （8 分）如图，正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y （x0）的图象交于点 A（a， 4） 点 B 为 x 轴正半轴上一点，
44、过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C，交正比 例函数的图象于点 D （1）求 a 的值及正比例函数 ykx 的表达式； （2）若 BD10，求ACD 的面积 【分析】 （1）把把点 A（a，4）代入反比例函数关系式可求出 a 的值，确定点 A 的坐标， 进而求出正比例函数的关系式； （2）根据 BD10，求出点 B 的横坐标，求出 OB，代入求出 BC，根据三角形的面积公 式进行计算即可 第 22 页（共 32 页） 【解答】解： （1）把点 A（a，4）代入反比例函数 y（x0）得， &n
45、bsp;a2， 点 A（2，4） ，代入 ykx 得，k2， 正比例函数的关系式为 y2x； （2）当 BD10y 时，代入 y2x 得，x5， OB5， 当 x5 代入 y得，y，即 BC， CDBDBC10， SACD（52）12.6， 【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用 方法 26 （10 分）如图 1，点 B 在线段 CE 上，RtABCRtCEF，ABCCEF90， BAC30，BC1 （1）点 F 到直线 CA 的距离是
46、1 ； （2）固定ABC，将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 30，使得 CF 与 CA 重合，并停 止旋转 请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示， 保留画图痕迹，不要求写画法） 该图形的面积为 ； 如图 2，在旋转过程中，线段 CF 与 AB 交于点 O，当 OEOB 时，求 OF 的长 【分析】 （1）如图 1 中，作 FDAC 于 D证明ABCCDF（AAS）可得结论 （2） 线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示， 此时点 E 落在 CF 上的点 H 处 根
47、; 第 23 页（共 32 页） 据 S阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇形ACF计算即可 （3）如图 2 中，过点 E 作 EHCF 于 H设 OBOEx在 RtEOH 中，利用勾股定 理构建方程求解即可 【解答】解： （1）如图 1 中，作 FDAC 于 D， RtABCRtCEF，ABCCEF90，BAC30，BC1 ACB60，FCEBAC30，ACCF， ACF30， BACFCD， 在ABC 和CDF 中， ， ABCCDF（AAS） ， &nb
48、sp;FDBC1， 故答案为 1； （2）线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点 E 落在 CF 上的点 H 处 S 阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇 形ACFS扇形ECH 第 24 页（共 32 页） 故答案为 （3）如图 2 中，过点 E 作 EHCF 于 H设 OBOEx 在 RtECF 中，EF1，ECF30，EHCF， ECEF，EH，CHEH， 在 RtBOC 中，OC， OHCHOC， 在 Rt
49、EOH 中，则有 x2（）2+（）2， 解得 x或（不合题意舍弃） ， OC， CF2EF2， OFCFOC2 【点评】本题考查作图旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等 知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 27 （10 分）如图 1，I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H，且交I 于 P、Q 两点（Q 在 P、H 之间） 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“，把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征数” （1）如图 2
50、，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为（0，4） 半径为 1 的O 与两 坐标轴交于点 A、B、C、D 第 25 页（共 32 页） 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m， 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点 D （填 “A” “B” 、 “C”或“D” ） ，O 关于直线 m 的“特征数”为 10 ； 若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 M（1，4） ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心，为半径作F若F 与直线 1 相
51、离，点 N（1，0）是F 关于直线 1 的 “远点” 且F 关于直线 l 的“特征数”是 4，求直线 l 的函数表达式 【分析】 （1）根据远点，特征数的定义判断即可 如图 11 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P解直角三角形求出 PH， PQ 的长即可解决问题 （2）如图 21 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0，分别求解 即可解决问题 【解答】解： （1）由题意，点 D 是O 关于直线 m 的“远点” ，O 关于直线 m 的特 征数DBDE2510， 故答案为：D，10 &nb
52、sp; 如图 11 中，过点 O 作 OH直线 n 于 H，交O 于 Q，P 第 26 页（共 32 页） 设直线 yx+4 交 x 轴于 F（，0） ，交 y 轴于 E（0，4） ， OE4，OF tanFEO， FEO30， OHOE2， PHOH+OP3， O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236 （2）如图 21 中，设直线 l 的解析式为 ykx+b 当 k0 时，过点 F 作 FH直线 l 于 H，交F 于 E，N 由题意，E
53、N2，ENNH4， NH， N（1，0） ，M（1，4） ， MN2， HM， MNH 是等腰直角三角形， MN 的中点 K（0，2） ， KNHKKM， H（2，3） ， 把 H（2，3） ，M（1，4）代入 ykx+b，则有， 第 27 页（共 32 页） 解得， 直线 l 的解析式为 yx+， 当 k0 时，同法可知直线 i 经过 H（2，1） ，可得直线 l 的解析式为 y3x+7 综上所述，满足条件的直
54、线 l 的解析式为 yx+或 y3x+7 【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的 定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴 题 28 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+3 的图象与 y 轴交于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线交 抛物线于另一点 B，抛物线过点 C（1，0） ，且顶点为 D，连接 AC、BC、BD、CD （1）填空：b 4 ； （2） 点 P 是抛物线上一点， 点 P 的横坐标大于 1， 直线 PC 交直线 BD 于点 Q 若CQD ACB，求点
55、P 的坐标； （3）点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F，点 F 关于直线 BC 对称的点 为 G，连接 AG当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长 【分析】 （1）将点 C 坐标代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，当点 Q 在点 D 上方时，过点 C 作 CEAB 于 E，设 BD 与 x 轴交 于点 F，可得点 E（1，3） ，CEBE3，AE1，可得EBCECB45，tanACE ，BCF45，由勾股定理逆定理可得BCD90，可求ACEDBC， 可得ACBCFD，可得点 F 与点 Q 重合，即可求点 P 坐标
56、； 当点 Q 在点 D 下方上，过点 C 作 CHDB 于 H，在线段 BH 的延长线上截取 HFQH， 第 28 页（共 32 页） 连接 CQ 交抛物线于点 P，先求直线 BD 解析式，点 F 坐标，由中点坐标公式可求点 Q 坐标，求出 CQ 解析式，联立方程组，可求点 P 坐标； （3）设直线 AC 与 BD 的交点为 N，作 CHBD 于 H，过点 N 作 MNx 轴，过点 E 作 EMMN，连接 CG，GF，先求出CNH45，由轴对称的性质可得 ENNF，ENB FNB45，由“AAS”可证EMNNKF，可得 EMNK，MNKF，可
57、求 CF6，由轴对称的性质可得点 G 坐标，即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+3 的图象过点 C（1，0） ， 01+b+3， b4， 故答案为：4； （2）b4， 抛物线解析式为 yx24x+3 抛物线 yx24x+3 的图象与 y 轴交于点 A， 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B， 点 A（0，3） ，3x24x+3， x10（舍去） ，x24， 点 B（4，3） ， yx24x+3（x2）21， 顶点 D 坐标（2，1） ， 如图 1，当点 Q 在点 D 上方时，过点 C 作 CEAB 于 E，设 BD 与 x 轴交于点 F， 点 A（0，3） ，点 B（4，3） ，点 C（1，0） ，CEAB， 点 E（1，3）