2020年江苏省常州市中考数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、如果 xy,那么下列不等式正确的是( )  A2x2y B2x2y Cx1y1 Dx+1y+1  6 (2 分)如图,直线 a、b 被直线 c 所截,ab,1140,则2 的度数是( )   A30 B40 C50 D60  7 (2 分)如图,AB 是O 的弦,点 C 是优弧 AB 上的动点(C 不与 A、B 重合) ,CHAB, 垂足为 H,点 M 是 BC 的中点若O 的半径是 3,则 MH 长的最大值是( )    第 2 页(共 32 页)    A3 B4 C5 D6  8 (2 分)如图,点

2、 D 是OABC 内一点,CD 与 x 轴平行,BD 与 y 轴平行,BD, ADB135,SABD2若反比例函数 y(x0)的图象经过 A、D 两点,则 k 的 值是( )   A2 B4 C3 D6  二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 20 分不需写出解答过程,请把笞案直分不需写出解答过程,请把笞案直 接填写在答题卡相应位置上)接填写在答题卡相应位置上)  9 (2 分)计算:|2|+(1)0     10 (2 分)若代数式有意义,则实数 x 的取值范围是    

3、; 11 (2 分)地球的半径大约为 6400km数据 6400 用科学记数法表示为     12 (2 分)分解因式:x3x     13 (2 分)若一次函数 ykx+2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大,则实数 k 的取值范围 是     14 (2 分)若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1,则 a     15 (2 分)如图,在ABC 中,BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、F若AFC 是 等边三角形,则B       第 3 页(共 32 页

4、)    16 (2 分)数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中 最好的东西,互相以长补短在菱形 ABCD 中,AB2,DAB120如图,建立平 面直角坐标系 xOy,使得边 AB 在 x 轴正半轴上,点 D 在 y 轴正半轴上,则点 C 的坐标 是      17 (2 分)如图,点 C 在线段 AB 上,且 AC2BC,分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同 侧作正方形 ACDE、BCFG,连接 EC、EG,则 tanCEG      18 (2 分)如图,在ABC 中,B45,A

5、B6,D、E 分别是 AB、AC 的中点,连 接 DE,在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F、G,连接 BF、DG若 BF3DG,且直线 BF 与直线 DG 互相垂直,则 BG 的长为      三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 10 小题,共小题,共 84 分请在答题分请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,卡指定区域内作答,如无特殊说明, 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)  19 (6 分)先化简,再求值: (x+1)2x(x+1) ,其中 x2  20 (8 分)解方程和不等式

6、组:    第 4 页(共 32 页)   (1)+2;  (2)  21 (8 分)为了解某校学生对球类运动的喜爱情况,调查小组就打排球、打乒乓球、打篮 球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查,并根 据调查结果绘制成如图统计图   (1)本次抽样调查的样本容量是   ;  (2)补全条形统计图;  (3)该校共有 2000 名学生,请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数  22 (8 分)在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码,做成 3 支

7、签,放在一个 不透明的盒子中  (1)搅匀后从中随机抽出 1 支签,抽到 1 号签的概率是   ;  (2)搅匀后先从中随机抽出 1 支签(不放回) ,再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签, 求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率  23 (8 分)已知:如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,EAFB,EAFB,ABCD  (1)求证:EF;  (2)若A40,D80,求E 的度数   24 (8 分)某水果店销售苹果和梨,购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元,购买 2 千克苹 果和 1 千克梨共需 22

8、元    第 5 页(共 32 页)   (1)求每千克苹果和每千克梨的售价;  (2) 如果购买苹果和梨共 15 千克, 且总价不超过 100 元, 那么最多购买多少千克苹果?  25 (8 分)如图,正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y (x0)的图象交于点 A(a, 4) 点 B 为 x 轴正半轴上一点,过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C,交正比 例函数的图象于点 D  (1)求 a 的值及正比例函数 ykx 的表达式;  (2)若 BD10,求ACD 的面积   26 (10 分)如图

9、 1,点 B 在线段 CE 上,RtABCRtCEF,ABCCEF90, BAC30,BC1  (1)点 F 到直线 CA 的距离是   ;  (2)固定ABC,将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 30,使得 CF 与 CA 重合,并停 止旋转  请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示, 保留画图痕迹,不要求写画法) 该图形的面积为   ;  如图 2,在旋转过程中,线段 CF 与 AB 交于点 O,当 OEOB 时,求 OF 的长   27 (10 分)如图 1,I 与直线 a

10、 相离,过圆心 I 作直线 a 的垂线,垂足为 H,且交I 于 P、Q 两点(Q 在 P、H 之间) 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“,把 PQPH   第 6 页(共 32 页)   的值称为I 关于直线 a 的“特征数”   (1)如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,点 E 的坐标为(0,4) 半径为 1 的O 与两 坐标轴交于点 A、B、C、D  过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m, 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点   (填 “A” “B” 、 “C”或“D” ) ,O 关于直线 m 的“特征数”为  

11、; ;  若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ;  (2)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 M(1,4) ,点 F 是坐标平面内一点,以 F 为圆心,为半径作F若F 与直线 1 相离,点 N(1,0)是F 关于直线 1 的 “远点” 且F 关于直线 l 的“特征数”是 4,求直线 l 的函数表达式   28 (10 分)如图,二次函数 yx2+bx+3 的图象与 y 轴交于点 A,过点 A 作 x 轴的平行线交 抛物线于另一点 B,抛物线过点 C(1,0) ,且顶点为 D,连接 AC、BC、BD、CD  (

12、1)填空:b   ;  (2) 点 P 是抛物线上一点, 点 P 的横坐标大于 1, 直线 PC 交直线 BD 于点 Q 若CQD ACB,求点 P 的坐标;  (3)点 E 在直线 AC 上,点 E 关于直线 BD 对称的点为 F,点 F 关于直线 BC 对称的点 为 G,连接 AG当点 F 在 x 轴上时,直接写出 AG 的长     第 7 页(共 32 页)    2020 年江苏省常州市中考数学试卷年江苏省常州市中考数学试卷  参考答案与试题解析参考答案与试题解析  一、选择题(本大题共一、选择

13、题(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 16 分在每小题所给出的四个选项中,只分在每小题所给出的四个选项中,只 有一项是正确的)有一项是正确的)  1 (2 分)2 的相反数是( )  A2 B C D2  【分析】利用相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,进而得出答案  【解答】解:2 的相反数是2  故选:A  【点评】此题主要考查了相反数的概念,正确把握定义是解题关键  2 (2 分)计算 m6m2的结果是( )  Am3 Bm4 Cm8 Dm12  【分析】利用同

14、底数幂的除法运算法则计算得出答案  【解答】解:m6m2m6 2m4  故选:B  【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算,正确掌握运算法则是解题关键  3 (2 分)如图是某几何体的三视图,该几何体是( )   A圆柱 B三棱柱 C四棱柱 D四棱锥  【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形,俯视图为正方形,易得出该几何体的形 状  【解答】解:该几何体的主视图为矩形,左视图为矩形,俯视图是一个正方形,  则可得出该几何体是四棱柱  故选:C    第 8 页(共 32 页) &n

15、bsp; 【点评】主要考查的是三视图的相关知识,解得此题时要有丰富的空间想象力  4 (2 分)8 的立方根为( )  A B C2 D2  【分析】根据立方根的定义求出的值,即可得出答案  【解答】解:8 的立方根是2,  故选:C  【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用,注意:a 的立方根是  5 (2 分)如果 xy,那么下列不等式正确的是( )  A2x2y B2x2y Cx1y1 Dx+1y+1  【分析】根据不等式的性质逐个判断即可  【解答】解:A、xy,  2x

16、2y,故本选项符合题意;  B、xy,  2x2y,故本选项不符合题意;  C、xy,  x1y1,故本选项不符合题意;  D、xy,  x+1y+1,故本选项不符合题意;  故选:A  【点评】本题考查了不等式的性质,能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键  6 (2 分)如图,直线 a、b 被直线 c 所截,ab,1140,则2 的度数是( )   A30 B40 C50 D60  【分析】先根据邻补角互补求得3,然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答  【解答】解:1

17、+3180,140,  3180118014040    第 9 页(共 32 页)   ab,  2340   故选:B  【点评】本题考查了平行线的性质,掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关 键  7 (2 分)如图,AB 是O 的弦,点 C 是优弧 AB 上的动点(C 不与 A、B 重合) ,CHAB, 垂足为 H,点 M 是 BC 的中点若O 的半径是 3,则 MH 长的最大值是( )   A3 B4 C5 D6  【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦,即可

18、求得 MH 的最 大值是 3  【解答】解:CHAB,垂足为 H,  CHB90,  点 M 是 BC 的中点  MHBC,  BC 的最大值是直径的长,O 的半径是 3,  MH 的最大值为 3,  故选:A  【点评】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质, 明确 BC 的最大值为O 的直径的长是 解题的关键  8 (2 分)如图,点 D 是OABC 内一点,CD 与 x 轴平行,BD 与 y 轴平行,BD,   第 10 页(共 32 页)   ADB135,SABD2若反比例函数

19、 y(x0)的图象经过 A、D 两点,则 k 的 值是( )   A2 B4 C3 D6  【分析】根据三角形面积公式求得 AE2,易证得AOMCBD(AAS) ,得出 OM BD,根据题意得出ADE 是等腰直角三角形,得出 DEAE2,设 A(m, ) ,则 D(m2,3) ,根据反比例函数系数 k 的几何意义得出关于 m 的方程, 解方程求得 m3,进一步求得 k6  【解答】解:作 AMy 轴于 M,延长 BD,交 AM 于 E,设 BC 与 y 轴的交点为 N,  四边形 OABC 是平行四边形,  OABC,OABC,  A

20、OMCNM,  BDy 轴,  CBDCNM,  AOMCBD,  CD 与 x 轴平行,BD 与 y 轴平行,  CDB90,BEAM,  CDBAMO,  AOMCBD(AAS) ,  OMBD,  SABD2,BD,  AE2,  ADB135,  ADE45,    第 11 页(共 32 页)   ADE 是等腰直角三角形,  DEAE2,  D 的纵坐标为 3,  设 A(m,) ,则 D(m2,3) ,

21、  反比例函数 y(x0)的图象经过 A、D 两点,  km(m2)3,  解得 m3,  km6  故选:D   【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征, 平行四边形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,三角形的面积等,表示出 A、D 的 坐标是解题的关键  二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 2 分,共分,共 20 分不需写出解答过程,请把笞案直分不需写出解答过程,请把笞案直 接填写在答题卡相应位置上)接填写在答题卡相应位置上)  9

22、(2 分)计算:|2|+(1)0 3   【分析】首先计算乘方和绝对值,然后计算加法,求出算式的值是多少即可  【解答】解:|2|+(1)0  2+1  3,  故答案为:3  【点评】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行 实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最 后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行另外,   第 12 页(共 32 页)   有理数的运算律在实数范围内仍然适用  10 (2 分)若代数式

23、有意义,则实数 x 的取值范围是 x1   【分析】分式有意义时,分母 x10,据此求得 x 的取值范围  【解答】解:依题意得:x10,  解得 x1,  故答案为:x1  【点评】本题考查了分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零 (2) 分式无意义的条件是分母等于零  11 (2 分)地球的半径大约为 6400km数据 6400 用科学记数法表示为 6.4103   【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,

24、n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时,n 是正数;当原数的绝对值1 时,n 是负数  【解答】解:将 6400 用科学记数法表示为 6.4103  故答案为:6.4103  【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式,其 中 1|a|10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值  12 (2 分)分解因式:x3x x(x+1) (x1)   【分析】本题可先提公因式 x,分解成 x(x21) ,而 x21 可利用平方差公式分解  【解答】解:x3x,  x(

25、x21) ,  x(x+1) (x1)   故答案为:x(x+1) (x1)   【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式 继续进行因式分解,分解因式一定要彻底  13 (2 分)若一次函数 ykx+2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大,则实数 k 的取值范围是  k0   【分析】根据一次函数的性质,如果 y 随 x 的增大而增大,则一次项的系数大于 0,据此 求出 k 的取值范围  【解答】解:一次函数 ykx+2,函数值 y 随 x 的值增大而增大,    

26、第 13 页(共 32 页)   k0  故答案为:k0  【点评】本题考查的是一次函数的性质,解答本题要注意:在一次函数 ykx+b(k0) 中,当 k0 时 y 随 x 的增大而增大  14 (2 分)若关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1,则 a 1   【分析】把 x1 代入方程得出 1+a20,求出方程的解即可  【解答】解:关于 x 的方程 x2+ax20 有一个根是 1,  把 x1 代入方程得:1+a20,  解得:a1,  故答案为:1  【点评】本题考查了一元二次

27、方程的解和解一元一次方程,能得出关于 a 的一元一次方 程是解此题的关键  15 (2 分)如图,在ABC 中,BC 的垂直平分线分别交 BC、AB 于点 E、F若AFC 是 等边三角形,则B 30    【分析】根据垂直平分线的性质得到BBCF,再利用等边三角形的性质得到AFC 60,从而可得B 的度数  【解答】解:EF 垂直平分 BC,  BFCF,  BBCF,  ACF 为等边三角形,  AFC60,  BBCF30  故答案为:30  【点评】本题考查了垂直平分线的性质,等

28、边三角形的性质,三角形外角的性质,解题 的关键是利用垂直平分线的性质得到BBCF  16 (2 分)数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想,主张取代数和几何中   第 14 页(共 32 页)   最好的东西,互相以长补短在菱形 ABCD 中,AB2,DAB120如图,建立平 面直角坐标系 xOy,使得边 AB 在 x 轴正半轴上,点 D 在 y 轴正半轴上,则点 C 的坐标 是 (2,)    【分析】根据直角三角形的性质可得 OA 和 OD 的长,根据菱形的性质和坐标与图形的 性质可得答案  【解答】解:四边形 ABCD 是

29、菱形,且 AB2,  CDADAB2,  DAB120,  OAD60,  RtAOD 中,ADO30,  OAAD1,OD,  C(2,) ,  故答案为: (2,)   【点评】此题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质,菱形的性质,坐标与图形的性 质等知识,解题的关键是确定 OD 的长  17 (2 分)如图,点 C 在线段 AB 上,且 AC2BC,分别以 AC、BC 为边在线段 AB 的同 侧作正方形 ACDE、BCFG,连接 EC、EG,则 tanCEG    【分析】

30、根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案  【解答】解:连接 CG,  在正方形 ACDE、BCFG 中,  ECAGCB45,    第 15 页(共 32 页)   ECG90,  设 AC2,BC1,  CE2,CG,  tanGEC,  故答案为:   【点评】本题考查正方形,解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定 义,本题属于基础题型  18 (2 分)如图,在ABC 中,B45,AB6,D、E 分别是 AB、AC 的中点,连 接 DE,在直

31、线 DE 和直线 BC 上分别取点 F、G,连接 BF、DG若 BF3DG,且直线 BF 与直线 DG 互相垂直,则 BG 的长为 4 或 2    【分析】如图,过点 B 作 BTBF 交 ED 的延长线于 T,过点 B 作 BHDT 于 H,证明 四边形 DGBT 是平行四边形,求出 DH,TH 即可解决问题  【解答】解:如图,过点 B 作 BTBF 交 ED 的延长线于 T,过点 B 作 BHDT 于 H   DGBF,BTBF,  DGBT,  ADDB,AEEC,  DEBC,    第 16

32、 页(共 32 页)   四边形 DGBT 是平行四边形,  BGDT,DGBT,BDHABC45,  ADDB3,  BHDH3,  TBFBHF90,  TBH+FBH90,FBH+F90,  TBHF,  tanFtanTBH,  ,  TH1,  DTTH+DH1+34,  BG4  当点 F 在 ED 的延长线上时,同法可得 DTBG312   故答案为 4 或 2  【点评】本题考查相似三角形的性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题

33、的关键是 学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题  三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 10 小题,共小题,共 84 分请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明,分请在答题卡指定区域内作答,如无特殊说明, 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)  19 (6 分)先化简,再求值: (x+1)2x(x+1) ,其中 x2  【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法,再合并同类项,最后代 入求出即可  【解答】解: (x+1)2x(x+1)  x2+2x+1x2x  x+1,

34、    第 17 页(共 32 页)   当 x2 时,原式2+13  【点评】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解 此题的关键  20 (8 分)解方程和不等式组:  (1)+2;  (2)  【分析】 (1)方程两边都乘以 x1 得出方程 x22(x1) ,求出方程的解,再进行检 验即可;  (2)先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可  【解答】解: (1)方程两边都乘以 x1 得:x22(x1) ,  解得:x0,  检验:把

35、 x0 代入 x1 得:x10,  所以 x0 是原方程的解,  即原方程的解是:x0;   (2),  解不等式得:x3,  解不等式得:x2,  不等式组的解集是:2x3  【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组,能把分式方程转化成整式方程 是解(1)的关键,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键  21 (8 分)为了解某校学生对球类运动的喜爱情况,调查小组就打排球、打乒乓球、打篮 球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查,并根 据调查结果绘制成如图统计图

36、    第 18 页(共 32 页)    (1)本次抽样调查的样本容量是 100 ;  (2)补全条形统计图;  (3)该校共有 2000 名学生,请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数  【分析】 (1)根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量;  (2)用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数,再用总人数减去 其他项目的人数求出踢足球的人数,从而补全统计图;  (3)用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可  【解答】解: (1)本次抽样调查的总人数是:25

37、25%100(人) ,  则样本容量是 100;  故答案为:100;   (2)打乒乓球的人数有:10035%35(人) ,  踢足球的人数有:10025351525(人) ,补全统计图如下:     (3)根据题意得:    第 19 页(共 32 页)   2000300(人) ,  答:估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有 300 人  【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图,从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个

38、项目的数据; 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小  22 (8 分)在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码,做成 3 支签,放在一个 不透明的盒子中  (1)搅匀后从中随机抽出 1 支签,抽到 1 号签的概率是 ;  (2)搅匀后先从中随机抽出 1 支签(不放回) ,再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签, 求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率  【分析】 (1)共有 3 种可能出现的结果,其中“抽到 1 号”的有 1 种,可求出概率;  (2)用列表法表示所有可能出现的结果,找出“和为奇数”的情况,进而求出相

39、应的概 率  【解答】解: (1)共有 3 种可能出现的结果,其中“抽到 1 号”的有 1 种,因此“抽到 1 号”的概率为,  故答案为:;  (2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:   共有 6 种可能出现的结果,其中“和为奇数”的有 4 种,  P(和为奇数)  【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率,列举出所有可能出现的结果 情况,是正确解答的关键  23 (8 分)已知:如图,点 A、B、C、D 在一条直线上,EAFB,EAFB,ABCD  (1)求证:EF;  (2)若A4

40、0,D80,求E 的度数    第 20 页(共 32 页)    【分析】 (1)首先利用平行线的性质得出,AFBD,根据 ABCD 即可得出 AC BD,进而得出EACFBD 解答即可;  (2)根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可  【解答】证明: (1)EAFB,  AFBD,  ABCD,  AB+BCCD+BC,  即 ACBD,  在EAC 与FBD 中,  ,  EACFBD(SAS) ,  EF;  (2)EACFBD,

41、 ECAD80,  A40,  E180408060,  答:E 的度数为 60  【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识,解题时注意:两边及其夹角 分别对应相等的两个三角形全等根据已知得出EACFBD 是解题关键  24 (8 分)某水果店销售苹果和梨,购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元,购买 2 千克苹 果和 1 千克梨共需 22 元  (1)求每千克苹果和每千克梨的售价;  (2) 如果购买苹果和梨共 15 千克, 且总价不超过 100 元, 那么最多购买多少千克苹果?  【

42、分析】 (1)设每千克苹果的售价为 x 元,每千克梨的售价为 y 元,根据“购买 1 千克 苹果和 3 千克梨共需 26 元,购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元” ,即可得出关于 x,y   第 21 页(共 32 页)   的二元一次方程组,解之即可得出结论;  (2)设购买 m 千克苹果,则购买(15m)千克梨,根据总价单价数量结合总价不 超过 100 元,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解之取其最大值即可得出结论  【解答】解: (1)设每千克苹果的售价为 x 元,每千克梨的售价为 y 元,  依题意,得:,  

43、解得:  答:每千克苹果的售价为 8 元,每千克梨的售价为 6 元  (2)设购买 m 千克苹果,则购买(15m)千克梨,  依题意,得:8m+6(15m)100,  解得:m5  答:最多购买 5 千克苹果  【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组; (2)根据各数量之间的关系,正确列出 一元一次不等式  25 (8 分)如图,正比例函数 ykx 的图象与反比例函数 y (x0)的图象交于点 A(a, 4) 点 B 为 x 轴正半轴上一点,

44、过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图象于点 C,交正比 例函数的图象于点 D  (1)求 a 的值及正比例函数 ykx 的表达式;  (2)若 BD10,求ACD 的面积   【分析】 (1)把把点 A(a,4)代入反比例函数关系式可求出 a 的值,确定点 A 的坐标, 进而求出正比例函数的关系式;  (2)根据 BD10,求出点 B 的横坐标,求出 OB,代入求出 BC,根据三角形的面积公 式进行计算即可    第 22 页(共 32 页)   【解答】解: (1)把点 A(a,4)代入反比例函数 y(x0)得, &n

45、bsp;a2,  点 A(2,4) ,代入 ykx 得,k2,  正比例函数的关系式为 y2x;  (2)当 BD10y 时,代入 y2x 得,x5,  OB5,  当 x5 代入 y得,y,即 BC,  CDBDBC10,  SACD(52)12.6,  【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入是常用 方法  26 (10 分)如图 1,点 B 在线段 CE 上,RtABCRtCEF,ABCCEF90, BAC30,BC1  (1)点 F 到直线 CA 的距离是

46、1 ;  (2)固定ABC,将CEF 绕点 C 按顺时针方向旋转 30,使得 CF 与 CA 重合,并停 止旋转  请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示, 保留画图痕迹,不要求写画法) 该图形的面积为 ;  如图 2,在旋转过程中,线段 CF 与 AB 交于点 O,当 OEOB 时,求 OF 的长   【分析】 (1)如图 1 中,作 FDAC 于 D证明ABCCDF(AAS)可得结论  (2) 线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示, 此时点 E 落在 CF 上的点 H 处 根  

47、; 第 23 页(共 32 页)   据 S阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇形ACF计算即可  (3)如图 2 中,过点 E 作 EHCF 于 H设 OBOEx在 RtEOH 中,利用勾股定 理构建方程求解即可  【解答】解: (1)如图 1 中,作 FDAC 于 D,   RtABCRtCEF,ABCCEF90,BAC30,BC1  ACB60,FCEBAC30,ACCF,  ACF30,  BACFCD,  在ABC 和CDF 中,  ,  ABCCDF(AAS) , &nb

48、sp;FDBC1,  故答案为 1;  (2)线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图所示,此时点 E 落在 CF 上的点 H 处   S 阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇 形ACFS扇形ECH   第 24 页(共 32 页)     故答案为   (3)如图 2 中,过点 E 作 EHCF 于 H设 OBOEx   在 RtECF 中,EF1,ECF30,EHCF,  ECEF,EH,CHEH,  在 RtBOC 中,OC,  OHCHOC,  在 Rt

49、EOH 中,则有 x2()2+()2,  解得 x或(不合题意舍弃) ,  OC,  CF2EF2,  OFCFOC2  【点评】本题考查作图旋转变换,解直角三角形,全等三角形的性质,扇形的面积等 知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型  27 (10 分)如图 1,I 与直线 a 相离,过圆心 I 作直线 a 的垂线,垂足为 H,且交I 于 P、Q 两点(Q 在 P、H 之间) 我们把点 P 称为I 关于直线 a 的“远点“,把 PQPH 的值称为I 关于直线 a 的“特征数”   (1)如图 2

50、,在平面直角坐标系 xOy 中,点 E 的坐标为(0,4) 半径为 1 的O 与两 坐标轴交于点 A、B、C、D    第 25 页(共 32 页)   过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m, 则O 关于直线 m 的 “远点” 是点 D (填 “A” “B” 、 “C”或“D” ) ,O 关于直线 m 的“特征数”为 10 ;  若直线 n 的函数表达式为 yx+4求O 关于直线 n 的“特征数” ;  (2)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 M(1,4) ,点 F 是坐标平面内一点,以 F 为圆心,为半径作F若F 与直线 1 相

51、离,点 N(1,0)是F 关于直线 1 的 “远点” 且F 关于直线 l 的“特征数”是 4,求直线 l 的函数表达式   【分析】 (1)根据远点,特征数的定义判断即可  如图 11 中,过点 O 作 OH直线 n 于 H,交O 于 Q,P解直角三角形求出 PH, PQ 的长即可解决问题  (2)如图 21 中,设直线 l 的解析式为 ykx+b分两种情形 k0 或 k0,分别求解 即可解决问题  【解答】解: (1)由题意,点 D 是O 关于直线 m 的“远点” ,O 关于直线 m 的特 征数DBDE2510,  故答案为:D,10 &nb

52、sp; 如图 11 中,过点 O 作 OH直线 n 于 H,交O 于 Q,P     第 26 页(共 32 页)   设直线 yx+4 交 x 轴于 F(,0) ,交 y 轴于 E(0,4) ,  OE4,OF  tanFEO,  FEO30,  OHOE2,  PHOH+OP3,  O 关于直线 n 的“特征数”PQPH236   (2)如图 21 中,设直线 l 的解析式为 ykx+b   当 k0 时,过点 F 作 FH直线 l 于 H,交F 于 E,N  由题意,E

53、N2,ENNH4,  NH,  N(1,0) ,M(1,4) ,  MN2,  HM,  MNH 是等腰直角三角形,  MN 的中点 K(0,2) ,  KNHKKM,  H(2,3) ,  把 H(2,3) ,M(1,4)代入 ykx+b,则有,    第 27 页(共 32 页)   解得,  直线 l 的解析式为 yx+,  当 k0 时,同法可知直线 i 经过 H(2,1) ,可得直线 l 的解析式为 y3x+7  综上所述,满足条件的直

54、线 l 的解析式为 yx+或 y3x+7  【点评】本题属于圆综合题,考查了一次函数的性质,解直角三角形,远点,特征数的 定义等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴 题  28 (10 分)如图,二次函数 yx2+bx+3 的图象与 y 轴交于点 A,过点 A 作 x 轴的平行线交 抛物线于另一点 B,抛物线过点 C(1,0) ,且顶点为 D,连接 AC、BC、BD、CD  (1)填空:b 4 ;  (2) 点 P 是抛物线上一点, 点 P 的横坐标大于 1, 直线 PC 交直线 BD 于点 Q 若CQD ACB,求点

55、P 的坐标;  (3)点 E 在直线 AC 上,点 E 关于直线 BD 对称的点为 F,点 F 关于直线 BC 对称的点 为 G,连接 AG当点 F 在 x 轴上时,直接写出 AG 的长   【分析】 (1)将点 C 坐标代入解析式可求解;  (2)分两种情况讨论,当点 Q 在点 D 上方时,过点 C 作 CEAB 于 E,设 BD 与 x 轴交 于点 F,可得点 E(1,3) ,CEBE3,AE1,可得EBCECB45,tanACE ,BCF45,由勾股定理逆定理可得BCD90,可求ACEDBC, 可得ACBCFD,可得点 F 与点 Q 重合,即可求点 P 坐标

56、;  当点 Q 在点 D 下方上,过点 C 作 CHDB 于 H,在线段 BH 的延长线上截取 HFQH,   第 28 页(共 32 页)   连接 CQ 交抛物线于点 P,先求直线 BD 解析式,点 F 坐标,由中点坐标公式可求点 Q 坐标,求出 CQ 解析式,联立方程组,可求点 P 坐标;  (3)设直线 AC 与 BD 的交点为 N,作 CHBD 于 H,过点 N 作 MNx 轴,过点 E 作 EMMN,连接 CG,GF,先求出CNH45,由轴对称的性质可得 ENNF,ENB FNB45,由“AAS”可证EMNNKF,可得 EMNK,MNKF,可

57、求 CF6,由轴对称的性质可得点 G 坐标,即可求解  【解答】解: (1)抛物线 yx2+bx+3 的图象过点 C(1,0) ,  01+b+3,  b4,  故答案为:4;  (2)b4,  抛物线解析式为 yx24x+3  抛物线 yx24x+3 的图象与 y 轴交于点 A, 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B,  点 A(0,3) ,3x24x+3,  x10(舍去) ,x24,  点 B(4,3) ,  yx24x+3(x2)21,  顶点 D 坐标(2,1) ,  如图 1,当点 Q 在点 D 上方时,过点 C 作 CEAB 于 E,设 BD 与 x 轴交于点 F,   点 A(0,3) ,点 B(4,3) ,点 C(1,0) ,CEAB,  点 E(1,3)

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