1、1 14.24.2 充要条件充要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行 证明 知识点 充要条件 一般地，如果 pq，且 qp，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 pq. 1“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要条件( ) 2q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件( ) 3若 p 是 q 的充要条件，则条件 p 和 q 是两个相互等价的条件( ) 4q 不是 p 的必要条件时，“pq”成立( ) 一、充分、必要、充要条件的判断 例 1 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件
2、，充要条 件，既不充分又不必要条件) (1)p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除； (2)p：x1，q：x21； (3)p：ABC 有两个角相等，q：ABC 是正三角形； (4)p：|ab|ab，q：ab0. 解 (1)pq，q 不能推出 p， p 是 q 的充分不必要条件 (2)pq，q 不能推出 p， p 是 q 的充分不必要条件 (3)p 不能推出 q，qp， p 是 q 的必要不充分条件 (4)ab0 时，|ab|ab， “|ab|ab”不能推出“ab0”，即 p 不能推出 q. 而当 ab0 时，有|ab|ab，即 qp. p 是 q 的必要不充分条件 反思感悟 判
3、断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”以及“若 q，则 p”的真假 (2)集合法：即利用集合的包含关系判断 (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 p1p2pn，可得 p1pn；充要条件 也有传递性 跟踪训练 1 已知 a，b 是实数，则“a0 且 b0”是“ab0，且 ab0”的_条件 答案 充要 解析 因为 a0，b0，所以 ab0，ab0， 充分性成立；因为 ab0，所以 a 与 b 同号，又 ab0，所以 a0 且 b0，必要性成立故 “a0 且 b0”是“ab0 且 ab0”的充要条件 二、充要条件的证明 例 2 求证：关于 x
4、的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 证明 充分性：因为 abc0， 所以 cab，代入方程 ax2bxc0， 得 ax2bxab0，即(x1)(axab)0. 所以方程 ax2bxc0 有一个根为 1. 必要性：因为方程 ax2bxc0 有一个根为 1， 所以 x1 满足方程 ax2bxc0. 所以 a12b1c0，即 abc0. 故关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 延伸探究 求证：关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)，有一正根和一负根的充要条件是 ac0，x1 x2c a0， 所以 ac0. 充分性：由 ac0 及
5、x1 x2c a0)，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 解 p：2x10，q：1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 即x|1mx1mx|2x10， 故有 1m2， 1m2， 1m10， 解得 m3. 又 m0， 所以实数 m 的取值范围为m|00) 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 设 p 代表的集合为 A，q 代表的集合为 B， 所以 AB. 所以 1m2， 1m10 或 1m9 或 m9， 所以 m9， 即实数 m 的取值范围是 m9. 2本例中 p，q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件
6、？若存在，求出 m 的值；若不存 在，说明理由 解 因为 p：2x10，q：1mx1m(m0) 若 p 是 q 的充要条件，则 21m， 101m， m 不存在 故不存在实数 m，使得 p 是 q 的充要条件 反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系 (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 跟踪训练 3 已知 p：x3，q：4xm0，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的 取值范围 解 设 Ax|x3，B x x0”是“x0”的( ) A充分不必要条件
7、 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由“x0”“x0”， 反之不一定成立 因此“x0”是“x0”的充分不必要条件 2已知 xR，则“1 x1”是“x1”0x1”是“x1”的充分不必要条件 3设条件甲为 0x5；条件乙为|x|5，则条件甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 甲对应集合 Ax|0x5，乙对应集合 Bx|5x5，且 AB，故选 A. 4若命题 p：两直线平行，命题 q：内错角相等，则 p 是 q 的_条件 答案 充要 5 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选 一个合适的填空 (1)“x210”是“|x|10”的_； (2)“x5”是“x3”的_ 答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件 解析 (1)设 Ax|x2101,1，Bx|x|101,1，所以 AB，即“x21 0”是“|x|10”的充要条件 (2)设 Ax|x5，Bx|x3，因为 AB，所以“x5”是“x3”的必要不充分条件 1知识清单： (1)充要条件概念的理解 (2)充要条件的证明 (3)根据条件求参数范围 2方法归纳：等价转化为集合间的关系 3常见误区：条件和结论辨别不清