1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 基础过关 1设向量 a(2,0)，b(1,1)，则下列结论中正确的是( ) A|a|b| Ba b0 Cab D(ab)b 解析 ab(1，1)，所以(ab) b110，所以(ab)b 答案 D 2平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于( ) A 3 B2 3 C4 D12 解析 a(2,0)，|b|1， |a|2，a b21cos 60 1 |a2b|a24a b4b22 3 答案 B 3已知 A，B，C 是锐角ABC 的三个内角，向量 p(sin A,1)，q(1，c
2、os B)，则 p 与 q 的夹角是( ) A锐角 B钝角 C直角 D不确定 解析 因为ABC 是锐角三角形，所以 AB 2，即 A 2B 又因函数 ysin x 在( 2， 2)上单调递增，所以 sin Asin( 2B)cos B，所以 p qsin A cos B0，又因为 p 与 q 不共线，所以 p 与 q 的夹角是锐角 答案 A 4已知 a(1,1)，b(1,2)，则 a (a2b)_ 解析 a2b(1,5)，a (a2b)1(1)514 答案 4 5若 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_ 解析 设 a，b 的夹角为 ， 则 cos 2437 2232 4
3、272 5 5 ， 故 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos 13 5 5 65 5 或直接根据a b |b|计算 a 在 b 方向上的投影 答案 65 5 6已知平面向量 a(1，x)，b(2x3，x)(xR) (1)若 ab，求 x 的值； (2)若 ab，求|ab| 解 (1)ab， a b0，即 1(2x3)x(x)0， 解得 x1 或 x3 (2)ab，1(x)x(2x3)0， 解得 x0 或 x2 当 x0 时，a(1,0)，b(3,0)， ab(2,0)，|ab|2 当 x2 时，a(1，2)，b(1,2)， ab(2，4)， |ab|2 5 |ab|2 或 2 5 7已知 a(1，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求实数 的取值范围 解 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b|12，a b1 a，b 的夹角 为钝角 10， 2 121， 即 1， 2210. 0 时，cosOP ，OQ 5 5 ， 当 x0， |AC |2 5，|BD |2 5 设AC 与BD 夹角为 ，则 cos AC BD |AC | |BD | 16 20 4 50， 矩形 ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为4 5