1、25.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会 向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力 知识点一 向量的线性运算在物理中的应用 1用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上 2向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算 知识点二 向量的数量积在物理中的应用 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 即 W|F|s|cos F， s ， 功是一个实数，它可正可负，也可以为零力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹
2、角，它 的实质是向量 F 与 s 的数量积 知识点三 向量方法解决物理问题的步骤 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题 (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型 (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等 (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题 思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？ 答案 物理中的向量： 物理中有许多量， 比如力、 速度、 加速度、 位移都具有大小和方向， 因而它们都是向量力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则； 力、
3、速度、 加速度、 位移的分解也就是向量的分解， 运动的叠加也用到了向量的加法动量 mv 是数乘向量力所做的功就是作用力 F 与物 体在力 F 的作用下所产生的位移 s 的数量积 1功是力 F 与位移 s 的数量积( ) 2力的合成与分解体现了向量的加减法运算( ) 3某轮船需横渡长江，船速为 v1，水速为 v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船 头方向与江岸垂直( ) 4求力 F1和 F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则( ) 题型一 向量的线性运算在物理中的应用 例 1 (1)在重 300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分 别为 30 ，60 (如
4、图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 解 如图， 两根绳子的拉力之和OA OB OC ，且|OC |OG |300 N，AOC30 ，BOC60 . 在OAC 中，ACOBOC60 ，AOC30 ，则OAC90 ， 从而|OA |OC | cos 30 150 3(N)， |AC |OC | sin 30 150(N)， 所以|OB |AC |150(N) 答 与铅垂线成 30 角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60 角的绳子的拉力是 150 N. (2)一条宽为 3 km 的河， 水流速度为 2 km/h， 在河两岸有两个码头 A， B，
5、 已知 AB 3 km， 船在水中最大航速为 4 km/h， 问该船从 A 码头到 B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼 岸 B 码头？用时多少？ 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 如图所示， 设AC 为水流速度，AD 为航行速度，以 AC 和 AD 为邻边作ACED，当 AE 与 AB 重合时能最 快到达彼岸， 根据题意 ACAE，在 RtADE 和ACED 中， |DE |AC |2，|AD |4，AED90 ， |AE | |AD |2|DE |22 3. 又 AB 3，用时 0.5 h. sinEAD1 2，0 EAD90 ，EAD30 . 答 船用最大速度航行，方向与
6、水流方向成 120 角时能最快到达 B 码头，此时实际航行速度 大小为 2 3 km/h，用时 0.5 h. 反思感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题 中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算第二种是坐标法，通过 建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算 跟踪训练 1 河水自西向东流动的速度为 10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水 中的速度为 10 3 km/h，求小船的实际航行速度 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 设 a， b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度， 过平面内一点 O 作OA
7、 a， OB b， 以OA ，OB 为邻边作矩形 OACB，连接OC ，如图， 则OC ab，并且OC 即为小船的实际航行速度 |OC |ab2 a2b220(km/h)， tan AOC10 3 10 3，AOC60 ， 小船的实际航行速度为 20 km/h，按北偏东 30 的方向航行 题型二 向量的数量积在物理中的应用 例 2 已知力 F 的大小|F|10，在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|14，F 与 s 的夹角为 60 ，则 F 做的功为( ) A7 B10 C14 D70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 答案 D 解析 F 做的功为 F s|F|s|cos 60 1
8、0141 270. 反思感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积 跟踪训练 2 质量 m2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力 F10 N 的作用下，沿倾斜 角 30 的光滑斜面向上滑行|s|2.0 m 的距离(g9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F 和支持力 FN，如图所示， 拉力 F 与位移 s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 WFF s|F|s|cos 0 20(J)； 支持力 FN与位移方向垂直，
9、不做功， 所以 WNFN s0； 重力 G 对物体所做的功为 WGG s|G|s|cos(90 )19.6(J) (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 WWFWNWG0.4(J) 平面向量在物理中的应用 典例 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀 速靠岸过程中，下列说法中正确的是_(写出所有正确的序号) 绳子的拉力不断增大；绳子的拉力不断变小；船的浮力不断变小；船的浮力保持不 变 答案 解析 设水的阻力为 f，绳的拉力为 F，F 与水平方向夹角为 (0 2)则|F|cos |f|， |F| |f| cos . 增大，cos 减小，|F|增大 又sin 增
10、大，|F|sin 增大，船的浮力减小 素养评析 本题主要考查用平面向量知识解决物理中力学问题旨在培养学生在物理情境 中将物理量之间的关系抽象成数学模型，这正是数学核心素养数学建模的具体体现. 1一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1， F2成 90 角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为( ) A6 B2 C2 5 D2 7 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 C 解析 由题意知 F3(F1F2)， 所以|F3|2(F1F2)2F21F222F1 F241620， |F3|2 5. 2船在静水中的速度是 v1，水
11、速为 v2，则逆水行驶的速度为( ) Av1v2 Bv2v1 Cv1v2 D|v1|v2| 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 C 解析 由题易知，选项 C 正确 3.用两条成 120 角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的 拉力大小为_ N. 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2与G 都成 60 角， 且|F1|F2|，F1F2G0. |F1|F2|G|10 N， 每根绳子的拉力都为 10 N. 4一条河宽为 800 m，一船从 A 处出发想要垂直到达河正对
12、岸的 B 处，若船速为 20 km/h， 水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_ min. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求时间 答案 3 解析 由题意作出示意图，如图， v实际v船v水v1v2， |v1|20 km/h，|v2|12 km/h， |v实际| |v1|2|v2|2 20212216(km/h) 所需时间 t0.8 160.05(h)3(min) 该船到达 B 处所需的时间为 3 min. 5一艘船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风 吹向北偏西 30，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂
13、直 于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1v2a.可求得 a 的方向是北偏东 30 ，a 的 大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为 v3，则 av3v，即 v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西 60 ，大小是 3 km/h. 用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题(2)模型的建立，建立以向 量为主体的数学模型(3)参数的获取，求出数学模型的相关解(4)问题的答案，回到物理现 象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象