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2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科)含详细解答

1、已知集合 Ax|1x4,Bx|0,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 2 (5 分)下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C (1+i)2i D2+i2 3 (5 分)若实数 x,y 满足,则 y2x 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 4 (5 分)近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切, 中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多,如图是 20132018 年中国到“一带一 路”沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 2

2、0132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 5 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(2)0, 则不等式 f(log2x)0 的解集为( ) A (,4) B (2,2) C (,+) D (4,+) 第 2 页(共 24 页) 6 (5 分)已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,|)的图象与直线 ya(0 aA)的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,则 f(x)的单调递减区间为( )

3、 A6k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 7 (5 分) “今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺 ”这是我国古代 数学名著九章算术卷第五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形 的直棱柱体) ,下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈10 尺) ” ,则 该问题中“城”的体积等于( ) A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.8975105立方尺 8 (5 分)已知四边形 ABCD 为平行四边形,|,|,M 为 CD 中点, 2,则

4、( ) A B C1 D 9 (5 分)ABC 中,角 A,B,C 所对应的分别为 a,b,c,且(a+b) (sinAsinB)(c b)sinC,若 a2,则ABC 的面积的最大值是( ) A1 B C2 D2 10 (5 分)在(x2x2)5的展开式中,x3的系数为( ) A40 B160 C120 D200 11 (5 分)体积为的三棱锥 ABCD 中,BCACBDAD3,CD2,AB 2,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A20 B C D 12 (5 分)若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足 条件: |x1x2+y1y2|的最

5、大值为 0, 则称 f (x) 为 “柯西函数” , 第 3 页(共 24 页) 则下列函数: f(x)x+(x0) ; f(x)lnx(0x3) ; f(x)cosx; f(x)x21 其中为“柯西函数”的个数为( ) A1 B2 C3 D4 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)曲线 f(x)x2e x 在点(1,f(1) )处的切线方程为 14 (5 分)若双曲线 C:1(a0,b0)的两个顶点将焦距三等分,则双曲线 C 的渐近线方程为 15 (5 分) “新冠肺炎”爆发后,某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医

6、生组成的专家组到某 市参加抗击疫情五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检,当时只有 3 个安检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安检,每个安 检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检,则甲、乙 2 位医生不在同一个 安检口进行安检的概率为 16 (5 分)直线 l:xty+10(t0)和抛物线 C:y24x 相交于不同两点 A、B,设 AB 的中点为 M,抛物线 C 的焦点为 F,以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N,且满足 |MN|NF|,则直线 l 的方程为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程

7、或演算步骤第分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 Sn+22an,nN* (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn,设数列bn的前项和为 Tn,若 Tn,求 n 的最 小值 18 (12 分)在四棱锥 PABCD 中,平面 PAC平面 ABCD,且有 ABDC,ACCD 第 4 页(共 24 页) DAAB (1)证明:

8、BCPA; (2)若 PAPCAC,求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 19 (12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本,测量其直径后,整理得到如表: 直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本零件直径的平均值 65,标准差2.2,以频率值作为概率的估计值 (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 x,并 根据以下不等式进行评判

9、(P 表示相应时间的概率) :P(X+)0.6826, P(2X+2)0.9544,P(3X+3)0.9974评判规则为: 若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满 足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 (2)将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Y) ; 从样本中任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Z) 20 (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其右焦点为 F(1,0) ,以坐标原点 O 为圆 心,椭圆短

10、半轴长为半径的圆与直线 xy+0 的相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)经过点 F 的直线 l1,l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点,且 l1l2,探究:是否 存在常数 ,使|AB|+|CD|AB|CD|恒成立 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+lnx(aR) 第 5 页(共 24 页) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2且|x1x2|,求|f(x1)f(x2)|的最大值 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所

11、做的 第一题记分第一题记分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为:( 为参数) , 已知直线 l1:xy0,直线 l2:xy0 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系 (1)求曲线 C 以及直线 l1,l2的极坐标方程; (2)若直线 l1与曲线 C 分别交于 O、A 两点,直线 l2与曲线 C 分别交于 O、B 两点,求 AOB 的面积 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23设函数 f(x)|x+a| (1)当 a2 时,求不等式f(x)的解集; (2)若 0,f(1)

12、,f(ba2),证明|2a+b4| 第 6 页(共 24 页) 2020 年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科)年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目的要求的一项是符合题目的要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|1x4,Bx|0,则 AB( ) Ax|2x4 Bx|2x4 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|1x4, Bx|

13、0x|0x2, ABx|1x2 故选:D 【点评】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础 题 2 (5 分)下列各式的运算结果虚部为 1 的是( ) Ai(i1) B C (1+i)2i D2+i2 【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案 【解答】解:i(i1)1i, , (1+i)2ii, 2+i21 运算结果虚部为 1 的是(1+i)2i 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3 (5 分)若实数 x,y 满足,则 y2x 的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 第 7 页(共 24 页) 【分析

14、】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案 【解答】解:由实数 x,y 满足,作出可行域如图, 令 zy2x,化为 y2x+z, 联立,解得 A(3,6) 由图可知,当直线过 A 时,y2x 有最大值为 12 故选:B 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题 4 (5 分)近年来,随着“一带一路”倡议的推进,中国与沿线国家旅游合作越来越密切, 中国到“一带一路”沿线国家的游客也越来越多,如图是 20132018 年中国到“一带一 路”沿线国家的游客人次情况,则下列说法正确的是( ) 2013

15、2018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加 20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 第 8 页(共 24 页) 20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持 平 A B C D 【分析】利用折线图的性质直接求解 【解答】解:由 20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图, 得: 在中,20132018 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加,故正确; 在中,20132018 年这 6 年中,2014 年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅 最小,故正

16、确; 在中,20162018 年这 3 年中,中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅 基本持平,故正确 故选:A 【点评】本题考查命题真假的判断,考查折线图的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 5 (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在0,+)上单调递减,f(2)0, 则不等式 f(log2x)0 的解集为( ) A (,4) B (2,2) C (,+) D (4,+) 【分析】根据题意,由函数 f(x)的奇偶性与 f(2)0 可得 f(log2x)0f(|log2x|) f(2) ,结合函数 f(x)的单调性分析可原不等式等价于|log2x|2,解可得

17、 x 的取值范 围,即可得答案 【解答】解:根据题意,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2)0, 则 f(log2x)0f(|log2x|)f(2) , 又由 f(x)在0,+)上单调递减,f(|log2x|)f(2)|log2x|2, 变形可得:2log2x2, 解可得:x4,不等式的解集为(,4) ; 故选:A 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意将原不等式转化为关于 x 的 不等式,属于基础题 第 9 页(共 24 页) 6 (5 分)已知函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,|)的图象与直线 ya(0 aA)的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8,

18、则 f(x)的单调递减区间为( ) A6k,6k+3,kZ B6k3,6k,kZ C6k,6k+3,kZ D6k3,6k,kZ 【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,求出 f(x)的单调递减区间 【解答】解:函数 f(x)Asin(x+) (A0,0,|)的图象与直线 y a(0aA)的三个相邻交点的横坐标分别为 2、4、8, 3,6,633, T6,故函数的减区间为6k+3,6k+6,即6k3,6k,kZ, 故选:D 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,属于中档题 7 (5 分) “今有城,下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺 ”这是我国古代 数学名著九章算术卷第五中“商功

19、”中的问题意思为“现有城(如图,等腰梯形 的直棱柱体) ,下底长 4 丈,上底长 2 丈,高 5 丈,纵长 126 丈 5 尺(1 丈10 尺) ” ,则 该问题中“城”的体积等于( ) A1.8975106立方尺 B3.7950106立方尺 C2.5300105立方尺 D1.8975105立方尺 【分析】由已知求出直四棱柱的底面积,再由棱柱的体积公式求解 【解答】解:由题意,直四棱柱的底面积 S平方尺; 又直四棱柱的高为 1265 尺, 该问题中“城”的体积等于 150012651.8975106立方尺 故选:A 【点评】本题考查直四棱柱体积的求法,是基础的计算题 8 (5 分)已知四边形

20、ABCD 为平行四边形,|,|,M 为 CD 中点, 第 10 页(共 24 页) 2,则( ) A B C1 D 【分析】先根据已知条件可求得,而 ,然后将其展开,利用平面向量数量积进行运算求解即可 【解答】解:|,|,M 为 CD 中点,2, , , 故选:A 【点评】本题考查平面向量的混合运算,尤其是平面向量的数量积,考查学生的转化能 力和计算能力,属于基础题 9 (5 分)ABC 中,角 A,B,C 所对应的分别为 a,b,c,且(a+b) (sinAsinB)(c b)sinC,若 a2,则ABC 的面积的最大值是( ) A1 B C2 D2 【分析】由已知利用正弦定理可得 a2b2

21、+c2bc,由余弦定理可得 cosA,结合范围 A(0,) ,可求 A 的值;再利用余弦定理,基本不等式可求 bc4,当且仅当 bc2 时,取等号,利用三角形的面积公式即可求解 【解答】解:由(a+b) (sinAsinB)(cb)sinC, 利用正弦定理可得: (a+b) (ab)(cb)c, 即 a2b2+c2bc, 所以由余弦定理可得:cosA, 而 A(0,) , 所以 A; 因为 a2, 所以可得:4b2+c2bc2bcbcbc, 即 bc4,当且仅当 bc2 时,取等号, 第 11 页(共 24 页) 所以 SABCbcsinA4,即ABC 面积的最大值为 故选:B 【点评】本题主

22、要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三 角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题 10 (5 分)在(x2x2)5的展开式中,x3的系数为( ) A40 B160 C120 D200 【分析】先把(x2x2)5变形为(x+1)5(x2)5,再利用二项式定理中的通项公式 求出结果 【解答】解:(x2x2)5(x+1)5(x2)5,x3的系数为 C C (2)5+C C (2)4+C C (2)3+C C (2)2120 故选:C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题 11 (5 分)体积为的三棱锥 ABCD 中,BCACBDAD3,CD2,AB

23、2,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A20 B C D 【分析】由题意取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为 BCACBDAD3,所以 CE AB,DEAB,DECEE, 所以 AB面 CDE,且 DECE,取 CD 的中点,连接 EP,则 EPCD,再由体积可得 AB 的值,进而求出底面外接圆的半径,及 D 到底面的高,由题意求出外接球的半径,进 而求出外接球的表面积 【解答】解:取 AB 的中点 E,连接 DE,CE,因为 BCACBDAD3,所以 CE AB,DEAB,DECEE, 所以 AB面 CDE,且 DECE,取 CD 的中点,连接 EP,则 EPCD, 所以 VABCD

24、ABSCDEABAB ABAB, 因为 VABCD, 第 12 页(共 24 页) 所以AB,因为 AB2, 所以解得 AB2;AE1,DECE2, 所以 sinACE,所以 sinACB2sinACEcosACE2, 由题意可得 D 在底面的投影在中线 CE 所在的直线上,设为 F,设 DFh, 设底面 ABC 的外接圆的半径为 r, 设圆心为 O, 2r, 所以 r, OECEr2, VABCDSABChAC2sinACBhh,解得 h, 所以 EF, 所以 OFEF+OE+, 过 O作 OO面 ABC 的垂线,作 OHDF 于 H,则四边形 HFOO 为矩形, 设外接球的半径为 R,取

25、OAOBODR, 在三角形 OHD 中,OD2OH2+(DFFH) 2,即 R2OF2+( OO) 2( ) 2+( OO)2, 在三角形 OO中,OC2CO2+OO2r2+OO2即 R2()2+OO2, 由可得 R2, 所以外接球的表面积 S4R24, 故选:B 【点评】本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系,及球的表面积公式,属于中档题 12 (5 分)若函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足 条件: |x1x2+y1y2|的最大值为 0, 则称 f (x) 为 “柯西函数” , 第 13 页(共 24 页) 则下列函数: f(x)x+(

26、x0) ; f(x)lnx(0x3) ; f(x)cosx; f(x)x21 其中为“柯西函数”的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由“柯西函数”得函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2, y2由) ,使得、共线,即存在点 A、B 与点 O 共线,分别判断即可 【解答】解:对由柯西不等式得:对任意实数 x1,y1,x2,y2:|x1x2+y1y2| 0 恒成立(当且仅当存在实数 k,使得 x1kx2,y1ky2取 等号) , 若函数 f (x) 在其图象上存在不同的两点 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 其坐标满足条件: |x1x2+

27、y1y2| 的最大值为 0, 则函数 f(x)在其图象上存在不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 使得、共线,即存在点 A、B 与点 O 共线 设 AB 的方程为 ykx,由于 ykx(x0)与 f(x)x+只有一个交点,故不是柯 西函数, 对于,由于 y与 f(x)lnx(0x3)有两个交点,故是柯西函数; 对于,取 A(0,0) ,点 B 任意,均满足定义,故是柯西函数 对于取 A(1,0) ,B(1,0) ,均满足定义,故是柯西函数 故选:C 【点评】本题考查了新定义,关键是弄清新定义的含义,属于中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题

28、5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)曲线 f(x)x2e x 在点(1,f(1) )处的切线方程为 xey0 【分析】先求出函数的导数,然后再求出切点处函数值、导数值,最后代入点斜式得切 线方程 第 14 页(共 24 页) 【解答】解:f(x)2xe xx2ex, 故切线为:,即 xey0 故答案为:xey0 【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法属于基础题 14 (5 分)若双曲线 C:1(a0,b0)的两个顶点将焦距三等分,则双曲线 C 的渐近线方程为 y 【分析】由题意可得 2a,即 3ac,再由 a,b,c 之间的关系求出 a,b 的关系, 进而求出渐近线 yx,

29、即求出渐近线的方程 【解答】解:双曲线 C:1(a0,b0)的两个顶点将焦距三等分可得:2a ,即 3ac, 所以 9a2c2a2+b2,即 8a2b2, 所以渐近线的方程为:yxx, 故答案为:y 【点评】本题考查双曲线的性质,属于基础题 15 (5 分) “新冠肺炎”爆发后,某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某 市参加抗击疫情五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检,当时只有 3 个安检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安检,每个安 检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检,则甲、乙 2 位医生不在同一个 安检口进行安检的

30、概率为 【分析】基本事件总数 n+720,甲、 乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数 m+ 180,由此能求出甲、乙 2 位医生不在同一个安检口进行安检的概率 【解答】解:某医院由甲、乙、丙、丁、戊 5 位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情 五位医生去乘高铁,按规定每位乘客在进站前都需要安检, 第 15 页(共 24 页) 当时只有 3 个安检口开通,且没有其他旅客进行安检.5 位医生分别从 3 个安检口进行安 检, 每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检, 基本事件总数 n+720, 甲、 乙 2 位医生在同一个安检口进行安检包含的基本事件个数 m+ 180

31、, 则甲、乙 2 位医生不在同一个安检口进行安检的概率为 P11 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识,考 查运算求解能力,是基础题 16 (5 分)直线 l:xty+10(t0)和抛物线 C:y24x 相交于不同两点 A、B,设 AB 的中点为 M,抛物线 C 的焦点为 F,以 MF 为直径的圆与直线 l 相交另一点为 N,且满足 |MN|NF|,则直线 l 的方程为 xy+10 【分析】求得抛物线的焦点 F,联立直线 l 和抛物线的方程,运用韦达定理和中点坐标公 式可得 M 的坐标,设 N(ty01,y0) ,由 NFl,结合两直线垂直的条件

32、,可得 t,y0的 关系式,再由两点的距离公式,化简整理可得 t,可得所求直线方程 【解答】解:y24x 的焦点为 F(1,0) ,联立 xty+10 与 y24x,可得 y24ty+40, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 y1+y24t,则中点 M(2t21,2t) , 设 N(ty01,y0) ,由 NFl,可得t,即有 y0, 由|MN|NF|可得|MN|227NF|2, 即为(2t2ty0)2+(2ty0)227(ty02)2+y02, 注意结合 t2y02ty0, 化为 t4t22714ty02714t,即为 t627,解得 t, 可得直线 l 的方程为 xy+1

33、0 故答案为:xy+10 第 16 页(共 24 页) 【点评】本题考查直线和抛物线的综合,考查直线方程和抛物线方程联立,运用韦达定 理和中点坐标公式,考查两点的距离公式,以及圆的性质,以及化简运算求解能力,属 于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分分. 17 (12 分)已知 Sn为数列an的前

34、n 项和,且 Sn+22an,nN* (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn,设数列bn的前项和为 Tn,若 Tn,求 n 的最 小值 【分析】 (1)由数列an的前 n 项和与项满足 Sn+22an,nN*消掉和 Sn可得数列an 是等比数列,进而求数列an的通项公式 (2) 由 (1) 得数列bn的通项公式, 列项求和算出 Tn1, 再由若 Tn, 解整数不等式可求 n 的最小值 【解答】解: (1)当 n1 时,S1+22a1,解得 a12, 当 n2 时,Sn1+22an1,Sn+2(Sn1+2)2an2an1,即 an2an1 2,则an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列

35、故 an2n (2) :由(1)可得 bn Tnb1+b2+bn(1)+()+()1 , 又 Tn,即 1, 2n+12021,由于 nN,n10, 故 n 的最小值为 10 【点评】本题考查数列项与和的转化,等比数列的通项公式, “裂项求和” ,解整数不等 第 17 页(共 24 页) 式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 18 (12 分)在四棱锥 PABCD 中,平面 PAC平面 ABCD,且有 ABDC,ACCD DAAB (1)证明:BCPA; (2)若 PAPCAC,求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 【分析】 (1)设 AB2a,则 ACCDDAa,推导出

36、,由余弦定理得 BC ,由勾股定理得 BCAC,从而 BC平面 PAC,由此能证明 BCPA (2) 设 AC2, 取 AC 中点 O, 连结 PO, 则 POAC, PO, 推导出 PO平面 ABCD, 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角 坐标系,利用向量法能求出平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值 【解答】解: (1)证明:设 AB2a,则 ACCDDAa, ACD 是等边三角形, ABDC, 由余弦定理得: 3a2,BC, BC2+AC2AB2,BCAC, 平面 PAC平面 ABCDAC,BC平面

37、ABCD, BC平面 PAC, PA平面 PAC,BCPA (2)解:设 AC2,取 AC 中点 O,连结 PO,则 POAC,PO, 平面 PAC平面 ABCD,PO平面 ABCD, 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,过 C 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角 第 18 页(共 24 页) 坐标系, 则 C(0,0,0) ,B(0,2,0) ,P(1,0,) ,A(2,0,0) ,D(1,0) , (1,0,) ,(1,0) ,(1,0,) ,(0,2,0) , 设平面 PAD 的法向量 (x,y,z) , 则,取 z1,得 () , 设平面 PBC 的法向量

38、 (a,b,c) , 则,取 a,得 () , 设平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角为 则 cos 平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19 (12 分)为评估设备 M 生产某种零件的性能,从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本,测量其直径后,整理得到如表: 直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 第 19 页(共 24 页) 件数 1 1

39、3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本零件直径的平均值 65,标准差2.2,以频率值作为概率的估计值 (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为 x,并 根据以下不等式进行评判(P 表示相应时间的概率) :P(X+)0.6826, P(2X+2)0.9544,P(3X+3)0.9974评判规则为: 若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满 足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁试判断设备 M 的性能等级 (2)将直径小于 2或直径大于 +2的零件认为是次品 从设备 M 的生产流水线上

40、任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Y) ; 从样本中任意抽取 2 件零件,求其中次品个数的数学期望 E(Z) 【分析】 ()利用条件,可得设备 M 的数据仅满足一个不等式,即可得出结论; ()易知样本中次品共 6 件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 ()由题意可知 YB(2,) ,于是 E(Y)2; ()确定 Z 的取值,求出相应的概率,即可求出其中次品个数 Z 的数学期望 E(Z) 【解答】解: ()P(X+)P(62.8X67.2)0.80.6826,P( 2X+2) P (60.6X69.4) 0.940.9544, P (3X+3) P (58.4 X7

41、1.6)0.980.9974, 因为设备 M 的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙;(4 分) ()易知样本中次品共 6 件,可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06 ()由题意可知 YB(2,) ,于是 E(Y)2;(8 分) ()由题意可知 Z 的分布列为 Z 0 1 2 P 故 E(Z)0+1+2(12 分) 【点评】本题考查概率的计算,考查正态分布曲线的特点,考查数学期望,考查学生的 计算能力,属于中档题 第 20 页(共 24 页) 20 (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其右焦点为 F(1,0) ,以坐标原点 O 为圆 心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 xy+

42、0 的相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)经过点 F 的直线 l1,l2分别交椭圆 C 于 A、B 及 C、D 四点,且 l1l2,探究:是否 存在常数 ,使|AB|+|CD|AB|CD|恒成立 【分析】 (1)根据点到直线的距离可以求出短半轴长 b,因为焦点已知,所以 c1,根 据 a2b2+c2可以求得 a2,从而确定椭圆的方程; (2)分两类,l1,l2中一条斜率不存在,l1,l2的斜率存在且不为 0,分别来探索常 数 的值,其中在情形中,需要设 l1:xty+1(t0) ,然后联立 直线方程和椭圆的方程, 消去 x 得到关于 y 的方程, 再利用弦长公式分别求出|AB|和|CD|,

43、 并代入到化简即可得解 【解答】解: (1)设所求的椭圆方程为, 点 O 到直线 xy+0 的距离为, 又 c1,a2b2+c24, 故所求的椭圆 C 的方程为 (2)假设存在常数 ,使|AB|+|CD|AB|CD|恒成立,则, 当 l1, l2中一条斜率不存在时, 可知|AB|, |CD|其中一个长为 2a4, 另一个为, 此时, 当 l1,l2的斜率存在且不为 0 时,不妨设 l1:xty+1(t0) , A(ty1+1,y1) ,B(ty2+1) , 联立得(3t2+4)y2+6ty90, ,36t24(3t2+4) (9)144(t2+1) 0, 第 21 页(共 24 页) , 用代

44、替上式中的 t 可得, , 综上所述,存在常数使得|AB|+|CD|AB|CD|恒成立 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及点到直线的距离公式、曲直联立、弦长 公式,以及分类讨论的思想,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)x2+ax+lnx(aR) (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2且|x1x2|,求|f(x1)f(x2)|的最大值 【分析】 (1)求导可得,再分,讨论 f(x)与 0 的大小关系,进而得出单调性情况; (2)依题意,x1+x2a,x1x21,则,构 造函数,利用导数求其最大值即可 【解答】解: (1),设 (x)x2+ax+1,则 (0) 10,对称轴为, 当,即 a0 时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)是增函数; 当,即 a0 时,a240 得 a2, (i)当2a0 时,在(0,+)上,f(x)0,f(x)是增函数; (ii)当 a2 时,令 f(x)0 得, 在上,f(x)0,f(x)是增函数;