1、2020 年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷年四川省成都市武侯区西川中学中考数学三诊试卷 一、选择题 13 的平方根是（ ） A3 或3 B3 C D或 2如图放置的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 3 新型冠状病毒平均直径为 100 纳米， 即 0.00001 厘米 0.00001 用科学记数法表示为 （ ） A1105 B10106 C1105 D0.1104 4下列各式计算正确的是（ ） A2x3 3x36x9 B（ab）4（ab）2a2b2 C3x2+4x27x2 D（a+b）2a2+b2 5如图，1m，1120，A55，则ACB 的大小是（ ） A55 B65 C
2、60 D75 6在ABC 与ABC中，已知AA，ABAB，增加下列条件，能够判 定ABC 与ABC全等的是（ ） ABCBC BBCAC CBB DBC 7甲、乙两人分别从距目的地 6km 和 10km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3：4，结 果甲比乙提前h 到达目的地，设甲的速度为 3xkm/h，下列方程正确的是（ ） A+ B C+ D 8学校组织知识竞赛，满分 10 分，学生得分均为整数，赛后举办方选取了部分同学的成绩 进行统计， 并绘制出如图所示的统计图 下列关于这10名同学成绩的说话正确的是 （ ） A平均数是 6 B中位数是 6 C方差约为 4.6 D众数是 4 9已知等边三
3、角形的周长为 6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ） A6 B3 C D2 10如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象，其对称轴为直线 x1，且与 x 轴的一个交点为 A （3，0），下列说法错误的是（ ） Ab24ac Babc0 C4a2b+c0 D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11当 x1 时，axb+1 的值为 3，则（a+b1）（1ab）的值为 12如图，四边形 ABCD 中，BCD90，ABDDBC，AB3，DC4，则ABD 的面积为 13直线 y2x1 与直线 y2x+m 的交点在第四象限，则
4、 m 的取值范围是 14如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， 已知 ABOA，按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧交 AB 于 M，交 AC 于点 N；分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 为半径画弧，两弧相交于点 E；作射线 AE 交 BC 于点 F，连接 DF若 AB，则线段 DF 的长为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15（1）计算：（1.414）0 |2|+2sin60（ ） 1； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解 16先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x20 17为响应市政府关于“垃圾不落地 市区更美丽”的主
5、题宣传活动，某校随机调查了部分 学生对垃圾分类知识的掌握情况调查选项分为“A：非常了解，B：比较了解，C：了 解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图请根据图中提供 的信息，解答下列问题： （1）把两幅统计图补充完整； （2）若该校学生有 2000 名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的 学生共有 名； （3）已知“非常了解”的同学有 3 名男生和 1 名女生，从中随机抽取 2 名进行垃圾分类 的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率 18如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶 A 点处看甲楼楼底 D 点处的俯角为 37，走到乙
6、楼 B 点处看甲楼楼顶 E 点处的俯角为 53，已知 AB6m，DE10m求 乙楼的高度 AC 的长 （参考数据： sin370.60， cos370.80， tan370.75， sin53 0.80，cos530.60，tan531.33，精确到 0.1m） 19如图， 一次函数 ymx+n（m0） 的图象与反比例函数 y （k0）的图象交于第二、 四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，1） （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）延长 AO 与反比例函数交于点 C，连接 BC，求ABC 的面积 20如图，AB 是O 的直径，点 C、E 位于O 上 AB 两侧在 BA 的延长
7、线上取点 D，使 ACDB （1）求证：DC 是O 的切线； （2）当 BCEC 时，求证：AC2AE AD； （3）在（2）的条件下，若 BC4，AD：AE5：9，求O 的半径 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 21若 m，n 是方程 x2+2019x20200 的两个实数根，则 m+nmn 的值为 22已知线段 AB2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BC AB，则 AC 的长 cm 23如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中 1、2、3、5、7 是等腰直 角三角形，4 是正方形，6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在
8、 5 号板区域的概率是 24如图，反比例函数 y（x0）的图象上有一点 A，连结 OA，将线段 AO 绕点 A 逆时 针旋转 60得到线段 AB若点 A 的横坐标为 t，点 B 的纵坐标为 s，则 s 关于 t 的函数 解析式为 25如图所示，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，点 F、G 在 AB 边上当四边形 DEFG 是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱 形的边长 l 的取值范围是 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分） 26某学具专卖店试销一种成本为 60 元/套的学具规定试销期间销售单价不得低于成本单 价，且获利不得高于成本
9、价的 20%，该专卖店每天的固定费用是 100 元试销发现，每 件销售单价相对成本提高 x 元（x 为整数）与日平均销售量 y 件之间符合一次函数关系， 且当 x10 时，y40；x25 时，y10 （1）求 y 与 x 之间的关系式； （2）该学具专卖店日平均获得毛利润为 w 元（毛利润利润固定费用），求当销售单 价为多少元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是多少元？ 27如图 1，已知ABC 是边长为 8 的等边三角形，EBD30，BEDE，连接 AD，点 F 为 AD 的中点，连接 EF将BDE 绕点 B 顺时针旋转 （1）如图 2，当点 E 位于 BC 边上时，延长 DE 交 AB
10、 于点 G 求证：BGDE； 若 EF3，求 BE 的长； （2）如图 3，连接 CF，在旋转过程中试探究线段 CF 与 EF 之间满足的数量关系，并说 明理由 28如图所示，抛物线 yax2+bx+4 的顶点坐标为（3，），与 y 轴交于点 A过点 A 作 ABx 轴，交抛物线于点 B，点 C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点 C 作 y 轴的 平行线，交直线 AB 于点 D （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 E 在 y 轴的负半轴上，且 AEAD，直线 CE 交抛物线 yax2+bx+4 于点 F 求点 F 的坐标； 过点 D 作 DGCE 于点 G，连接 OD、ED，当ODE
11、CDG 时，求直线 DG 的函 数表达式 参考答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题均有四个选项，其中只有 一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 13 的平方根是（ ） A3 或3 B3 C D或 【分析】利用平方根定义计算即可 解：3 的平方根是 故选：D 2如图放置的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可 解：从上边看时，是一个正方形分成了左、中、右三个长方形，分开的线条是实线， 故选：B 3 新型冠状病毒平均直径为 100 纳米， 即 0.00001 厘米 0.00001 用科学记数法表示为 （ ） A11
12、05 B10106 C1105 D0.1104 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，n 为由 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 解：0.000011105， 故选：C 4下列各式计算正确的是（ ） A2x3 3x36x9 B（ab）4（ab）2a2b2 C3x2+4x27x2 D（a+b）2a2+b2 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题 解：2x3 3x36x6，故选项 A 错误； （ab）4（ab）2a2b2，故选项 B 错误； 3x2+4x27x2，故选项 C 正确； （a+b）2a2+2ab+b
13、2，故选项 D 错误； 故选：C 5如图，1m，1120，A55，则ACB 的大小是（ ） A55 B65 C60 D75 【分析】根据平行线的性质得出DBC120，利用三角形外角性质解答即可 解：1m， DBC1120， A55， ACB1205565， 故选：B 6在ABC 与ABC中，已知AA，ABAB，增加下列条件，能够判 定ABC 与ABC全等的是（ ） ABCBC BBCAC CBB DBC 【分析】根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断做题时 要按判定全等的方法逐个验证 解： A、 若添加条件 BCBC， 不能判定ABCABC， 故此选项不合题意
14、； B、若添加条件 BCAC，不能判定ABCABC，故此选项不合题意； C、若添加条件BB，可利用 ASA 判定ABCABC，故此选项题意； D、若添加条件BC，不能判定ABCABC，故此选项不合题意 故选：C 7甲、乙两人分别从距目的地 6km 和 10km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3：4，结 果甲比乙提前h 到达目的地，设甲的速度为 3xkm/h，下列方程正确的是（ ） A+ B C+ D 【分析】设甲的速度为 3xkm/h，则乙的速度为 4xkm/h，根据时间路程速度结合甲比 乙提前h 到达目的地，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解 解：设甲的速度为 3xkm/h，则乙的速
15、度为 4xkm/h， 依题意，得：， 故选：B 8学校组织知识竞赛，满分 10 分，学生得分均为整数，赛后举办方选取了部分同学的成绩 进行统计， 并绘制出如图所示的统计图 下列关于这10名同学成绩的说话正确的是 （ ） A平均数是 6 B中位数是 6 C方差约为 4.6 D众数是 4 【分析】根据统计图中的数据，可以计算出这组数据的平均数、方差，写出中位数和众 数，从而可以判断各个选项中的说法是否正确 解：由图可得， 7.2，故选项 A 错误； 中位数是（6+8）27，故选项 B 错误； 方差为：（37.2）2+（67.2）2+（107.2）23.8，故选项 C 错误； 众数是 4，故选项 D
16、 正确； 故选：D 9已知等边三角形的周长为 6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ） A6 B3 C D2 【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为 6，可得 BC2，设点 D 为 BC 边 与内切圆的切点，连接 AD，则 ADBC，可得 BDDCBC1，再根据勾股定理可 得 OB2OD2BD21，再根据 S 圆环S外接圆S内切圆即可得结论 解：如图， 等边三角形 ABC 的周长为 6， BC2， 设点 D 为 BC 边与内切圆的切点， 连接 AD，则 ADBC， BDDCBC1， 在 RtBOD 中，根据勾股定理，得 OB2OD2BD21， S圆环S外接圆S 内切圆 OB2OD
17、2 BD2 故选：C 10如图是二次函数 yax2+bx+c 的图象，其对称轴为直线 x1，且与 x 轴的一个交点为 A （3，0），下列说法错误的是（ ） Ab24ac Babc0 C4a2b+c0 D当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 【分析】由抛物线的开口方向和与 x 轴的交点个数可得 a0，c0，b2a0， b24ac0，可判断选项 A，B，由抛物线的对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点为 （1，0），可得当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y0，即 4a2b+c 0，可判断 C，D 选项，即可求解 解：抛物线开口向下，顶点在第一象限， 抛物线与 x 轴有两个交
18、点，a0，c0， b24ac0， b24ac，所以 A 选项不合题意； 抛物线的对称轴为直线 x1， 1，即 b2a0， abc0，所以选项 B 不合题意； 对称轴为直线 x1，且与 x 轴的一个交点为 A（3，0）， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x2 时，y0，即 4a2b+c0， 故选项 C 符合题意，选项 D 不符合题意， 故选：C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11当 x1 时，axb+1 的值为 3，则（a+b1）（1ab）的值为 9 【分析】把 x1 代入代数式，使其值为 3 求出 a+
19、b 的值，原式变形后代入计算即可求 出值 解：把 x1 代入得：ab+13，即ab2， 整理得：a+b2， 则原式（a+b）11（a+b） （a+b）12 （21）2 （3）2 9 故答案为：9 12如图，四边形 ABCD 中，BCD90，ABDDBC，AB3，DC4，则ABD 的面积为 6 【分析】过点 D 作 DEAB 交 BA 延长线于点 E，利用角平分线的性质得出 DEDC， 进而利用三角形的面积公式解答即可 解：过点 D 作 DEAB 交 BA 延长线于点 E， ABDDBC，DCBC，DEAB， CDDE4， ABD 的面积， 故答案为：6 13 直线y2x1与直线y2x+m的交点
20、在第四象限， 则m的取值范围是 1m1 【分析】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即 可 解：联立方程组， 解得， 交点在第四象限， ， 解得，1m1 故答案为：1m1 14如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， 已知 ABOA，按以下步骤作图： 以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧交 AB 于 M，交 AC 于点 N；分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 为半径画弧，两弧相交于点 E；作射线 AE 交 BC 于点 F，连接 DF若 AB，则线段 DF 的长为 【分析】根据四边形 ABCD 是矩形，和 ABOA，可得ABO 是等边三角形
21、，由作图过 程可得，AF 是BAO 的平分线，再根据勾股定理即可求出 DF 的长 解：四边形 ABCD 是矩形， AOCOOBOD， ABOA， ABOAOB， ABO 是等边三角形， BAO60， AC2AO2， ADBC3， 由作图过程可知： AF 是BAO 的平分线， BAFFAC30， BFAB tan301， CFBCBF312， DF 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15（1）计算：（1.414）0 |2|+2sin60（ ） 1； （2）解不等式组，并写出它的所有整数解 【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角
22、的三角函数值计算即可求出值； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解 集，即可求出整数解 解：（1）原式1（2）+2（2） 12+2 2+1； （2）， 由得：x4， 由得：x2， 不等式组的解集为 2x4， 则不等式组的整数解为 3，4 16先化简再求值：，其中 x 满足 x2+x20 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得 到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 解：原式 x（x+1） x2+x， x2+x20， x2+x2， 则原式2 17为响应市政府关于“垃圾不落地 市区更美丽”的主题宣传活动，某校随
23、机调查了部分 学生对垃圾分类知识的掌握情况调查选项分为“A：非常了解，B：比较了解，C：了 解较少，D：不了解”四种，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图请根据图中提供 的信息，解答下列问题： （1）把两幅统计图补充完整； （2）若该校学生有 2000 名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的 学生共有 1000 名； （3）已知“非常了解”的同学有 3 名男生和 1 名女生，从中随机抽取 2 名进行垃圾分类 的知识交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率 【分析】（1）从两个统计图中可以得到“A 非常了解”的有 4 人，占调查人数的 8%， 可求出调查总人数，再
24、根据“各个选项的人数、总人数与各个选项所占的百分比”之间 的关系，分别计算出各个选项的人数和所占的百分比，即可补全两个统计图； （2）样本中，“A 非常了解”“B 比较了解”所占的百分比为（8%+42%），即可估计 总体中的占比也是 50%，求出相应的人数即可； （3）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“一男一女”的结果数，即可求出相应的 概率 解：（1）调查人数为：48%50（人），B 组所占百分比为：215042%， C 组人数为：5030%15（人）， D 组人数为：504211510（人），所占百分比为：105020%， 补全统计图如图所示： （2）2000（8%+42%）1000（
25、人）， 故答案为：1000； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中“一男一女”的有 6 种， 因此，抽到一男一女的概率为 18如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶 A 点处看甲楼楼底 D 点处的俯角为 37，走到乙楼 B 点处看甲楼楼顶 E 点处的俯角为 53，已知 AB6m，DE10m求 乙楼的高度 AC 的长 （参考数据： sin370.60， cos370.80， tan370.75， sin53 0.80，cos530.60，tan531.33，精确到 0.1m） 【分析】过点 E 作 EFAC 于点 F，根据题意，可得四边形 DEFC
26、 是矩形，EFDC， FCED10，再根据锐角三角函数即可求出 BF 的长，进而可得乙楼的高度 AC 的长 解：如图，过点 E 作 EFAC 于点 F， 根据题意，可得四边形 DEFC 是矩形， EFDC，FCED10， 在 RtADC 中，DCAC tan370.75（AB+BF+FC）0.75（16+BF）， 在 RtBEF 中，EFAF tan531.33（6+BF）， 0.75（16+BF）1.33（6+BF）， 解得 BF20.7， AC16+20.736.7（m） 答：乙楼的高度 AC 的长为 36.7 米 19如图， 一次函数 ymx+n（m0） 的图象与反比例函数 y （k0）
27、的图象交于第二、 四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，1） （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）延长 AO 与反比例函数交于点 C，连接 BC，求ABC 的面积 【分析】（1）先把 B 点坐标代入 y中求出得到反比例函数解析式为 y，再利 用反比例函数解析式把确定 A（2，4），然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先利用点 A 与点 C 关于原点对称得到 C 点坐标为（2，4），作 CDy 轴交 AB 于 D，如图，易得 D（2，2），然后根据三角形面积公式，利用 SABCSADC+SBDC进 行计算 解：（1）把 B（8，1）代入 y得 k8（1）8， 反比例函数
28、解析式为 y， 把 A（a，4）代入 y得 4a8，解得 a2， A（2，4）， 把 A（2，4）和 B（8，1）代入 ymx+n 得，解得， 一次函数解析式为 yx+3； （2）点 A 与点 C 关于原点对称， C 点坐标为（2，4）， 作 CDy 轴交 AB 于 D，如图， 当 x2 时，yx+32， D（2，2）， SABCSADC+SBDC （2+4）（8+2）30 20如图，AB 是O 的直径，点 C、E 位于O 上 AB 两侧在 BA 的延长线上取点 D，使 ACDB （1）求证：DC 是O 的切线； （2）当 BCEC 时，求证：AC2AE AD； （3）在（2）的条件下，若 B
29、C4，AD：AE5：9，求O 的半径 【分析】（1）连接 OC，证明DCO90即可 （2）连接 BE证明ACDAEC 可得结论 （3）设 AD5k，AE9k，则 AC3k，由ACDAEC，可得，推出 CD ，由DCADBC，可得 CD2DA DB，推出 DB，推出 AB5k， 根据 AC2+BC2AB2，构建方程求出 k 即可解决问题 【解答】（1）证明：连接 OC AB 是O 的直径， ACB90， CAB+B90， OAOC， CAOACO， ACO+B90， 又ACDB， ACD+ACO90， DCO90， DC 是O 的切线； （2）解：连接 BE BCEC， ， CABCBE， 四边
30、形 CAEB 内接于圆， CBE+CAE180， 又CAD+CAB180， CADCAE， 又ACDB，BAEC， ACDAEC， ACDAEC， AC2AE AD； （3）解：设 AD5k，AE9k，则 AC3k， ACDAEC， ， ， CD， DD，ACDCBD， DCADBC， CD2DA DB， DB， AB5k， ACB90， AC2+BC2AB2， （3 k）2+（4） 2（ ）2， 整理得：81k4+684k23200， （9k2+80）（9k24）0， k2， k0， k， AB， O 的半径为 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 21若 m，n
31、 是方程 x2+2019x20200 的两个实数根，则 m+nmn 的值为 1 【分析】直接利用根与系数的关系得出 m+n，mn 的值，进而得出答案 解：m，n 是方程 x2+2019x20200 的两个实数根， m+n2019，mn2020， 则 m+nmn2019（2020）1 故答案为：1 22已知线段 AB2cm，点 C 在线段 AB 上，且 AC2BC AB，则 AC 的长 1 cm 【分析】根据黄金分割的定义得到点 C 是线段 AB 的黄金分割点，根据黄金比值计算得 到答案 解：AC2BC AB， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC， ACAB21， 故答案为：1 23如
32、图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中 1、2、3、5、7 是等腰直 角三角形，4 是正方形，6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在 5 号板区域的概率是 【分析】设 4 号板正方形的边长为 1，则 5 号板直角边长为 1，3 号板斜边长为，7 号 板斜边长为 2，直角边长为，则大正方形边长为 2，据此知大正方形的面积为 2 28，5 号板的面积为 ，再根据概率公式求解可得 解：设 4 号板正方形的边长为 1，则 5 号板直角边长为 1，3 号板斜边长为，7 号板斜 边长为 2， 直角边长为，则大正方形边长为 2， 大正方形的面积为 228，5 号板的面积为， 从
33、这个正方形内任取一点，则刚好停在 5 号板区域的概率是， 故答案为： 24如图，反比例函数 y（x0）的图象上有一点 A，连结 OA，将线段 AO 绕点 A 逆时 针旋转 60得到线段 AB若点 A 的横坐标为 t，点 B 的纵坐标为 s，则 s 关于 t 的函数 解析式为 st 【分析】 作 ACx 轴于 C， 则 OC 与 AC 的长分别代表 A 点的横坐标与纵坐标， 连接 OB， 则AOB 是等边三角形，以 OC 为边向下构造等边OCD，连接 BD，则可得BOD AOC，于是 BDAC，作 DFy 轴于 F，BEDF 于 E，可得OFD 与BDE 均为含 30的直角三角形，于是 OF 与
34、 BE 均可用 t 表示，B 点的纵坐标也就可以用 t 表示了 解：由题意知 A（t，），则 OCt，AC 如图，作 ACx 轴于 C，以 OC 为边向下构造等边OCD，作 DFy 轴于 F，BEDF 于 E，连接 OB、BD OCODt，COD60，ACO90，OFDDEB90， AOAB，OAB60， AOB 为等边三角形， OBOA，AOB60， BODAOC， BODAOC（SAS）， BDOACO90，BDAC， ODF+BDE90， ODF+DOF90， DOFBDE， DOF90COD30， DFODt，OFODt，BEBD， s（OFBE）t 故答案为：st 25如图所示，在
35、RtABC 中，C90，AC3，BC4，点 D、E 分别在边 AC、BC 上，点 F、G 在 AB 边上当四边形 DEFG 是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱 形的边长 l 的取值范围是 l 【分析】求出几种特殊位置的菱形的边长即可解决问题 解：如图 1 中，当四边形 DEFG 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4， AB5， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， x+x3， x 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， CDGCAB， ， ， 解得 m 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为
36、 n DGAB， CDGCAB， ， ， n， 综上所述，菱形的边长 l 的取值范围为l， 故答案为l 五、解答题（本大题共 3 个小题，共 30 分） 26某学具专卖店试销一种成本为 60 元/套的学具规定试销期间销售单价不得低于成本单 价，且获利不得高于成本价的 20%，该专卖店每天的固定费用是 100 元试销发现，每 件销售单价相对成本提高 x 元（x 为整数）与日平均销售量 y 件之间符合一次函数关系， 且当 x10 时，y40；x25 时，y10 （1）求 y 与 x 之间的关系式； （2）该学具专卖店日平均获得毛利润为 w 元（毛利润利润固定费用），求当销售单 价为多少元时，日平均
37、毛利润最大，最大日平均毛利润是多少元？ 【分析】（1）设 y 与 x 之间的关系式为 ykx+b（k，b 为常数，且 k0），由待定系数 法求解即可； （2） 根据利润等于每套的利润乘以销售量可写出w关于x的二次函数， 将其写成顶点式， 按照二次函数的性质及销售单价的范围，可得日平均毛利润最大时的销售单价值，并求 得最大日平均利润即可 解：（1）设 y 与 x 之间的关系式为 ykx+b（k，b 为常数，且 k0），由题意得： ， 解得： y 与 x 之间的关系式为 y2x+60； （2）由题意得： w（2x+60）x100 2x2+60x100 2（x15）2+350 二次项系数为10，对称
38、轴为 x15， 当 x15 时，w 随 x 的增大而增大， 成本为 60 元/套，销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于成本价的 20%， 0x6020%，即 0x12， 当 x12 时，w最大2（1215）2+350332（元） 当销售单价为 12 元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是 332 元 27如图 1，已知ABC 是边长为 8 的等边三角形，EBD30，BEDE，连接 AD，点 F 为 AD 的中点，连接 EF将BDE 绕点 B 顺时针旋转 （1）如图 2，当点 E 位于 BC 边上时，延长 DE 交 AB 于点 G 求证：BGDE； 若 EF3，求 BE 的长； （2）如
39、图 3，连接 CF，在旋转过程中试探究线段 CF 与 EF 之间满足的数量关系，并说 明理由 【分析】（1）想办法证明BEG 是等边三角形即可解决问题 利用三角形的中位线定理求出 AG，再求出 BG 即可解决问题 （2）结论：ECEF，ECEF延长 DF 交 CA 的延长线于 M，延长 FE 到 K，使得 EKEF，连接 AK，CK，CF，在 FM 上截取 FNDF，连接 BN证明图中，红色三角 形全等，推出CFK 是等边三角形即可解决问题 【解答】（1）证明：如图 2 中， ABC 是等边三角形， ABC60， EBED， EBDEDB30， GBDABC+EBD90， BGD60， BEG
40、 是等边三角形， BGBE， BGED 解：由可知，BGGEBEDE， AFDF， AG2EF6， AB8， BGABAG862， BEBG2 （2）结论：ECEF，ECEF 理由： 如图 2 中， 延长 DF 交 CA 的延长线于 M， 延长 FE 到 K， 使得 EKEF， 连接 AK， CK，CF，在 FM 上截取 FNDF，连接 BN FBFDFN， DBN90， DBF30， FBN60， FBN 是等边三角形， BNBF， ABCNBF60， ABNCBF， ABBC， ABNCBF（SAS）， ANCF， FNDF，AEED， EFAN，AN2EF， EFFK， ANFK，ANF
41、K， 四边形 ANFK 是平行四边形， AKDM，AKFNBN， CAKM， AOMBON，OAMBNO120， MOBN， ABNCAK， ABAC， ABNCAK（SAS）， ANCK， CFCKFK， CFK 是等边三角形，CFE60 EFFK， CEFK， EFC60， tanCFE， ECEF，ECEF 28如图所示，抛物线 yax2+bx+4 的顶点坐标为（3，），与 y 轴交于点 A过点 A 作 ABx 轴，交抛物线于点 B，点 C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点 C 作 y 轴的 平行线，交直线 AB 于点 D （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 E 在 y 轴的负
42、半轴上，且 AEAD，直线 CE 交抛物线 yax2+bx+4 于点 F 求点 F 的坐标； 过点 D 作 DGCE 于点 G，连接 OD、ED，当ODECDG 时，求直线 DG 的函 数表达式 【分析】（1）由条件可设 ya（x3）2+，化成一般式，常数项是 4 列方程可得 a 的值，从而得抛物线解析式； （2）先计算 CE 的解析式，解法一：与抛物线联立方程组，可得 F 的坐标；解法二： 根据直线 CE 上有一定点 F，不论 m 取何值，所以令 m 的系数为 0，可得 x 的值，从而 得 F 的坐标； 如图 2，过 E 作 EHCD 于 H， 交 DG 于 Q， 连接 OQ，证明四边形 A
43、EHD 是正方形， 得ODQ45，证明PADQHD（SAS），PDOQDO（SAS），EHC DHQ（ASA），可表示 OE，EQ，OQ 的长，在 RtOEQ 中，由勾股定理得：OE2+EQ2 OQ2，列方程可得 m 的值，确定 D 和 Q 的坐标，利用待定系数法可得结论 解：（1）抛物线 yax2+bx+4 的顶点坐标为（3，）， ya（x3）2+ax26ax+9a+， 9a+4， a， 抛物线解析式为 yx2+x+4； （2）如图 1，设 C（m，m2+m+4）； ADAE，ADx 轴，CDy 轴， ADAEm， OA4， OEm4， 点 E 在 y 轴的负半轴上， E（0，4m）， 设 CE 的解析式为：ykx+b， 则，解得， CE 的解析式为：y（）x+4m， 解法一：x2+x+4（）x+4m， x2+（m1）x+m0， x2+（4m）x4m0， （x+4）（xm）0， x14，x2m， 定点 F（4，6）； 解法二：CE 的解析式为：y（）x+4m（x1）m+x+4， 由画图可知：F 是直线 CE 上的定点， x10， x4， 定点 F（4，6）； 如图 2，过 E 作 EHCD 于 H，交 DG 于 Q，连接 OQ， 由知：OEm4， DAEADHEHD90，ADAE， 四边形 AEHD 是正方形， EDH45，ADAEDHEH， ODECDG， ODE+EDQ