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2020年北京市高考数学押题仿真试卷(二)含答案

1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟(二)北京卷高考数学押题仿真模拟(二) 本试卷共 8 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合分。在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合 1 0A , | 11Bxx ,则AB (A) 1 (B)0 (C) 1 0 , (D) 1 0 1 , 2 设 1 3 2a ,

2、3 log 2b ,cosc,则 (A)cba (B)a cb (C)c ab (D)abc 3. 下列函数中,最小正周期为 2 的是 (A) xsiny (B) x2c o sy (C) xtany (D) x2s iny 4. 若OA AB, 2OA ,则OA OB (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5. 与圆 22 240xyxy相切于原点的直线方程是 (A) 20xy (B) 20xy (C)2 0xy (D)20xy 6. 设 n a是公差为d的等差数列, n S为其前n项和,则“0d ”是“ n S为递增数列”的 2 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分

3、必要条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 一个几何体的三视图如图所示, 图中直角三角形的直角边长均为 , 则该几何体体积为 (A) (B) (C) (D) 8. 双曲线C的方程 22 22 1(0,0) xy ab ab ,左右焦点分别为 12 ,F F,P为C右支上的一 点, 12 0PF PF,以O为圆心,a为半径的圆与 1 PF相切,则双曲线的离心率为( ) A5 B 3 C2 D 2 9. 已知函数 ( )sin(2) 3 f xx, 2 ( )2g xx,若对任意的实数 1 x,总存在实数 2 x使得 12 ()()f xg x 成立,则 2 x的取值范围是 (A) 1,1 (B)

4、3, 3 (C)3, 11, 3 (D)( , 11,) 1 1 6 2 6 3 6 1 2 俯视图 侧(左)视图 正 (主) 视图 3 10. 已知函数,若对于任意实数,与 的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)复数 1i 2 =_ (12)已知, 2 , 4 sin 5 =,则tan 4 _. (13)在ABC!中,若cossin0bCcB,则C_. (14)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位: mg/L)随时间t

5、(单位:h)的变化关系为 2 20 4 t C t ,则经过_h后池水中药品浓度达 到最大. (15)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割, 则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达 式 1 1 1 1 1 中“”既代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程 1 1x x 求 得 15 2 x ,类似上述过程,则 33_ 三、解答题共 6 小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 在 132 bba, 44 ab, 5 25S 这三个条件中任选一个,补充在下面

6、问题中,若 问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由. 设等差数列 n a的前n项和为 n S, n b是等比数列, , 152 ,3ba b, 2 ( )22(4)1f xmxm x( )g xmxx( )f x ( )g xm (0,2)(0,8)(2,8)(,0) 4 5 81b ,是否存在k,使得 1kk SS 且 12kk SS ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 17. (本小题共 14 分) 如图, 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD,E为AD的中点,PA AD , BE CD,BE AD ,

7、2,1PAAEBECD. ()求证:平面PAD平面PCD; ()求二面角CPBE的余弦值; (18) (本小题 14 分) 5 某单位共有员工 45 人,其中男员工 27 人,女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 ()求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少; ()考核前,评估小组从抽取的 5 名员工中,随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中男 员工人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望; ()考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔试成绩分别为 78,85,89,92,96;结合答辩 情况,他们的考核成绩分别为 9

8、5,88,102,106,99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 2 1 s, 2 2 s,试比较 2 1 s与 2 2 s的大小 (只需写出结论) 19 (本小题满分 15 分) 6 已知函数( )ln1f xxax(Ra), 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx. ()求( )f x的单调区间; ()当1a 时,若函数( )g x在区间( ,1)()m mmZ内存在唯一的极值点,求m的值. 20 (本小题满分 14 分) 已知直线: l xt与椭圆 22 :1 42 xy C相交于A,B两点,M是椭圆C上一点. ()当1t 时,求MAB!面积的最大值; ()设直线M

9、A和MB与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:| |OEOF为定值. 21.(本小题满分 14 分) 7 数字1,2,3,(2)n n的任意一个排列记作 12 ( ,) n a aa,设 n S为所有这样的排列构成 的集合. 集合 12 ( ,)| nnn Aa aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj;集合 12 ( ,)| nnn Ba aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj. ()用列举法表示集合 3 A, 3 B; ()求集合 nn AB的元素个数; ()记集合 n B的元素个数为 n b.证明:数列 n b是等比数列. 2020 北京卷高考数学押

10、题仿真模拟(二)北京卷高考数学押题仿真模拟(二) 8 本试卷共 8 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合分。在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合 1 0A , | 11Bxx ,则AB (A) 1 (B)0 (C) 1 0 , (D) 1 0 1 , 2 设 1 3 2a , 3 log 2b ,cosc

11、,则 (A)cba (B)a cb (C)c ab (D)abc 3. 下列函数中,最小正周期为 2 的是 (A)xsiny (B) x2c o sy (C) xtany (D) x2s iny 4. 若OA AB, 2OA ,则OA OB (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5. 与圆 22 240xyxy相切于原点的直线方程是 (A) 20xy (B)20xy (C)2 0xy (D)2 0xy 6. 设 n a是公差为d的等差数列, n S为其前n项和,则“0d ”是“ n S为递增数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 9 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必

12、要条件 7. 一个几何体的三视图如图所示,图中直角三角形的直角边长均为 ,则该几何体体积 为 (A) (B) (C) (D) 8.双曲线C的方程 22 22 1(0,0) xy ab ab ,左右焦点分别为 12 ,F F,P为C右支上的一点, 12 0PF PF,以O为圆心,a为半径的圆与 1 PF相切,则双曲线的离心率为( ) A5 B 3 C2 D 2 9. 已知函数 ( )sin(2) 3 f xx, 2 ( )2g xx,若对任意的实数 1 x,总存在实数 2 x使得 12 ()()f xg x 成立,则 2 x的取值范围是 (A) 1,1 (B)3, 3 (C)3, 11, 3 (

13、D)( , 11,) 1 1 6 2 6 3 6 1 2 俯视图 侧(左)视图 正 (主) 视图 10 10. 已知函数, 若对于任意实数,与 的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)复数 1i 2 =_ 答案:2 (12)已知, 2 , 4 sin 5 =,则tan 4 _. 答案: 1 7 (13)在ABC!中,若cossin0bCcB,则C_. 答案: 3 4 (14)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位: mg/L

14、)随时间t(单位:h)的变化关系为 2 20 4 t C t ,则经过_h后池水中药品浓度达 到最大. 答案:2 (15)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割, 则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达 2 ( )22(4)1f xmxm x( )g xmxx( )f x( )g x m (0,2)(0,8)(2,8)(,0) 11 式 1 1 1 1 1 中“”既代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程 1 1x x 求 得 15 2 x ,类似上述过程,则 33_ 答案. 131 2 三、解答题共 6

15、小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 在 132 bba, 44 ab, 5 25S 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若 问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由. 设等差数列 n a的前n项和为 n S, n b是等比数列, , 152 ,3ba b, 5 81b ,是否存在k,使得 1kk SS 且 12kk SS ? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解析:因为等比数列解析:因为等比数列 n b中, 2 3b , 5 81b ,所以其公比 3,q 从而 1

16、 ( 3) n n b , 15 1,ba 若存在k使得 1kk SS ,则 1 0 k a , 同理: 12kk SS ,得: 2 0 k a .即: 1 2 0 0 k k a a -用求和公式较繁! 总体分析:等比数列 n b可求!等差数列 n a缺一个条件! 方案 1: 12 P A B C D E x y z 若选,由 132 bba,得 2 10a ,316 n an.当4k 时, 5 0a , 6 0a 存在. 或 3(1) 160 3(2)-160 k k ,或 1 12 kk kk SS SS 解不等式组. 方案 2: 若选, 44 27ab , 5 1a , -28 +13

17、9 n an是递减数列,不存在 1 0 k a , 2 0 k a . 当4k 时, 5 0a , 6 0a . 方案 3: 若选, 5 25S , 5 1a ,211 n an, 17. (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平 面ABCD,E为AD的中点,PA AD ,BECD, BEAD , 2,1PAAEBECD. ()求证:平面PAD平面PCD; ()求二面角CPBE的余弦值; ()证明:由已知平面PAD平面ABCD,PAAD , 且平面PAD平面ABCDAD , 所以PA 平面ABCD. 所以PACD . 又因为BEAD,BECD, 13 所以CDAD. 所

18、以CD平面PAD . 因为CD平面PCD, 所以平面PAD 平面PCD. 4 分 ()作 EzAD,以 E 为原点,以,EB ED 的方向分别为 x 轴,y 轴的正方向,建立如 图所示的空间直角坐标系 Exyz, 则点(0,0 0),E,(0, 2 2),P,(0, 2 0),A,(2,0 0),B,(1,2 0),C,(0,2 0),D. 所以(2,22,),PB,( 1,2 0), BC,(0, 2 2),EP. 设平面PBC的法向量为 n(x,y,z), 所以 0, 0. n n PB BC 即 0, 20. xyz xy 令1y,解得(2,1,3)n . 设平面PBE的法向量为 m(a

19、,b,c), 所以 0, 0. PB EP m m 即 0, 0. abc bc 令1b,解得(0,1,1)m . 所以 2 0 1 1 3 12 7 cos, 7142 n m . 由图可知,二面角CPBE的余弦值为 2 7 7 . 14 分 (18) (本小题 14 分) 14 某单位共有员工 45 人,其中男员工 27 人,女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 ()求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少; ()考核前,评估小组从抽取的 5 名员工中,随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中男 员工人数为X,

20、求随机变量X的分布列和数学期望; ()考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔试成绩分别为 78,85,89,92,96;结合答辩 情况,他们的考核成绩分别为 95,88,102,106,99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 2 1 s, 2 2 s,试比较 2 1 s与 2 2 s的大小 (只需写出结论) 解:()抽取的 5 人中男员工的人数为 5 273 45 , 女员工的人数为 5 182 45 4 ()由()可知,抽取的 5 名员工中,有男员工 3 人,女员工 2 人 所以,随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3 根据题意, 12 32 3 5 3 (1) 10 CC P

21、X C , 21 32 3 5 6 (2) 10 CC P X C , 30 32 3 5 1 (3) 10 CC P X C 随机变量X的分布列是: X 1 2 3 P 3 10 6 10 1 10 15 数学期望 361189 123 101010105 EX 10 分 () 22 12 ss 14 分 19 (本小题满分 15 分) 已知函数( )ln1f xxax(Ra), 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx. ()求( )f x的单调区间; ()当1a 时,若函数( )g x在区间( ,1)()m mmZ内存在唯一的极值点,求m的值. 解: ()由已知得0x, 11 (

22、) ax fxa xx . ()当0a时,( )0fx恒成立,则函数( )f x在(0,)为增函数; ()当0a时,由( )0fx,得 1 0x a ; 由( )0fx,得 1 x a ; 所以函数( )f x的单调递增区间为 1 (0,) a ,单调递减区间为 1 (,) a . 4 分 () 因为 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx 2 1 (ln1)2 2 xxxxx 2 1 ln 2 xxxx, 则( )ln11g xxx ln2( )3xxf x. 由()可知,函数( )g x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减. 又因为 22 11 ()22 ee g 2 1

23、0 e ,(1)10 g , 所以( )g x在(0,1)上有且只有一个零点 1 x. 16 又在 1 (0,)x上( )0g x,( )g x在 1 (0,)x上单调递减; 在 1 ( ,1)x上( )0g x,( )g x在 1 ( ,1)x上单调递增. 所以 1 x为极值点,此时0m. 又(3)ln3 10 g ,(4)2ln220 g , 所以( )g x在(3,4)上有且只有一个零点 2 x. 又在 2 (3,)x上( )0g x,( )g x在 2 (3,)x上单调递增; 在 2 (,4)x上( )0g x,( )g x在 2 (,4)x上单调递减. 所以 2 x为极值点,此时3m

24、. 综上所述,0m或3m. 15 分 20 (本小题满分 14 分) 已知直线: l xt与椭圆 22 :1 42 xy C相交于A,B两点,M是椭圆C上一点. ()当1t 时,求MAB!面积的最大值; ()设直线MA和MB与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:| |OEOF为定值. 解:()将1x 代入 22 1 42 xy , 解得 6 2 y ,所以|6AB . 当M为椭圆C的顶点( 2,0)时,M到直线1x 的距离取得最大值3, 所以MAB面积的最大值是 3 6 2 . 17 ()设,A B两点坐标分别为( , )A t n,( ,)B tn,从而 22 24tn. 设 00 (,

25、)M xy,则有 22 00 24xy, 0 xt, 0 yn . 直线MA的方程为 0 0 () yn ynxt xt , 令0y ,得 00 0 tynx x yn ,从而 00 0 tynx OE yn . 直线MB的方程为 0 0 () yn ynxt xt , 令0y ,得 00 0 tynx x yn ,从而 00 0 tynx OF yn . 所以 0000 00 = tynxtynx OEOF ynyn 2222 00 22 0 = t yn x yn 2222 00 22 0 (42)(42) = nyny yn 22 0 22 0 44 = yn yn = 4. 所以OE

26、OF为定值. 21.(本小题满分 14 分) 18 数字1,2,3,(2)n n的任意一个排列记作 12 ( ,) n a aa,设 n S为所有这样的排列构成 的集合. 集合 12 ( ,)| nnn Aa aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj;集合 12 ( ,)| nnn Ba aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj. ()用列举法表示集合 3 A, 3 B; ()求集合 nn AB的元素个数; (解:() 3 (1,2,3)A , 3 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)B ()考虑集合 n A中的元素 123 (,) n

27、 a a aa. 由已知,对任意整数, ,1i jijn ,都有 ij aiaj , 所以()() ij aiiajj , 所以 ij aa. 由, i j的任意性可知, 123 (,) n a a aa是1,2,3,n的单调递增排列, 所以(1,2,3, ) n An 又因为当 k ak * (kN,1)kn时,对任意整数, ,1i jijn , 都有 ij aiaj . 所以(1,2,3, ) n nB,所以 nn AB. 所以集合 nn AB的元素个数为 1. 19 ()由()知,0 n b . 因为 2 (1,2),(2,1)B ,所以 2 2b . 当3n 时,考虑 n B中的元素

28、123 (,) n a a aa. (1)假设 k an(1)kn.由已知, 1 (1) kk akak , 所以 1 (1)1 kk aakkn , 又因为 1 1 k an ,所以 1 1 k an . 依此类推,若 k an,则 1 1 k an , 2 2 k an , n ak. 若1k ,则满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1 个. 若2k ,则 2 an, 3 1an, 4 2an,2 n a . 所以 1 1a . 此时满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1 个. 若2kn, 只要 1231 (,) k a a

29、aa 是1,2,3,1k 的满足条件的一个排列,就可以相应得到1,2,3,n的一 个满足条件的排列. 此时,满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1k b 个. (2)假设 n an,只需 1231 (,) n a a aa 是1,2,3,1n的满足条件的排列,此时满足条件的 1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1n b 个. 20 综上 231 1 1 nn bbbb ,3n . 因为 322 1 142bbb , 且当4n 时, 23211 (1 1)2 nnnn bbbbbb , 所以对任意 * nN,3n ,都有 1 2 n n b b . 所以 n b成等比数列. )记集合 n B的元素个数为 n b.证明:数列 n b是等比数列.