1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题（共 10 个小题） 12sin60的值等于（ ） A1 B C D2 22019 年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近 161 亿元，其中 161 亿用科学 记数法表示为（ ） A1.61109 B1.611010 C1.611011 D1.611012 3下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B（a+2b）2a2+4b2 Ca2 a3a6 D（ab2）3a3b6 4 如图是手提水果篮抽象的几何体， 以箭头所指的方向为主视图方向， 则它的俯视图为 （ ） A B C D 5如图，菱形 ABCD 中，D150，则1（ ）
2、 A30 B25 C20 D15 6增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君 每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字 数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设他 第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 7如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 8某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30
3、 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到达该路 口时，遇到绿灯的概率是（ ） A B C D 9如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的 长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若 BD 6，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C6 D3 10 如图， 在矩形 ABCD 中， AB2， BC3， 动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D 设 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，
4、共 15 分） 11因式分解：x34x 12甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投 6 次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10， 6甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为 4，那么成绩较为稳定的是 （填 “甲”或“乙”） 13如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动 点，则 CD+BD 的最小值是 14如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45至四边形 ABCD的位置，若 AB 16cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 15如图，在矩形 ABCD 中，AD2将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A，折痕 为 DE若将B
5、 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，则 AB 三、解答题（共 8 小题，共 75 分） 16已知：xy，yx+8，求代数式+的值 17 体育组为了了解九年级 450 名学生排球垫球的情况， 随机抽查了九年级部分学生进行排 球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段 频数 频率 1 0x10 5 0.1 2 10x20 21 0.42 3 20x30 a 4 30x40 b （1）表中的数 a ，b ； （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数； （3）排球垫球测试结果小于 10 的为不达标，若不达标的 5 人中有 3 个男
6、生，2 个女生， 现从这 5 人中随机选出 2 人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的 2 人为一个男 生一个女生的概率 18如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D， 交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 19慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如图，小亮的目 高 CD 为 1.7 米， 他站在 D 处测得塔顶的仰角ACG 为 45， 小琴的目高 EF 为 1.5 米， 她站在距离塔底中心 B 点 a 米远的 F 处，测得塔顶的仰
7、角AEH 为 62.3 （点 D、B、 F 在同一水平线上，参考数据：sin62.30.89，cos62.30.46，tan62.31.9） （1）求小亮与塔底中心的距离 BD；（用含 a 的式子表示） （2）若小亮与小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 AB 20某班“数学兴趣小组”对函数 y，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补 充完成： （1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值请直接写出 m，n 的值：m ；n x 2 1 0 n 2 3 4 y m 0 1 3 5 3 2 （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为
8、坐标的点，根据描 出的点，画出该函数的图象； （4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数 y（k0）的图象形 状相同，是中心对称图形，且点（1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的 坐标为 （5）当 2x4 时，关于 x 的方程 kx+有实数解，求 k 的取值范围 21甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为 5 元/kg在乙批发店，一次购买数量不超过 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 6 元/kg，超过 50kg 部分的价格为 4 元/kg设小张在同 一个批发店一次购买苹果
9、的数量为 xkg（x0） （1）根据题意填表： 一次购买数量/kg 20 50 150 甲批发店花费/元 250 乙批发店花费/元 350 （2）设在甲批发店花费 y1元，在乙批发店花费 y2元，分别求 y1，y2关于 x 的函数解析 式； （3）根据题意填空： 若小张在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一 个批发店一次购买苹果的数量为 kg； 若小张在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买花费少； 若小张在同一个批发店一次购买苹果花费了 460 元，则他在甲、乙两个批发店中的 批发店购买数量多 22如图 1，在ABC
10、 中，ABAC10，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B，C 重合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线DE于点F，连接 CF （1）求证：ABDDCE； （2）当 DEAB 时（如图 2），求 AE 的长； （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DFCF？若存在，求出 此时 BD 的长；若不存在，请说明理由 23如图，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0），B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线上一个动点， 设点 D 的横坐标为 m（0m2） 连接 AC， BC， DB
11、， DC （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD 的面积何时最大？求出此时 D 点的坐标和最大面积； （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 12sin60的值等于（ ） A1 B C D2 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 解：2sin602， 故选：C 22019 年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近 161 亿元，其中
12、161 亿用科学 记数法表示为（ ） A1.61109 B1.611010 C1.611011 D1.611012 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数 解：根据题意 161 亿用科学记数法表示为 1.611010 故选：B 3下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a2 B（a+2b）2a2+4b2 Ca2 a3a6 D（ab2）3a3b6 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全
13、平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的 乘除运算法则分别化简得出答案 解：A、2a+3a5a，故此选项错误； B、（a+2b）2a2+4ab+4b2，故此选项错误； C、a2 a3a5，故此选项错误； D、（ab2）3a3b6，正确 故选：D 4 如图是手提水果篮抽象的几何体， 以箭头所指的方向为主视图方向， 则它的俯视图为 （ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 解：它的俯视图为 故选：A 5如图，菱形 ABCD 中，D150，则1（ ） A30 B25 C20 D15 【分析】由菱形的性质得出 ABCD，BAD21，求出BAD30，即可得出1 15 解：四
14、边形 ABCD 是菱形，D150， ABCD，BAD21， BAD+D180， BAD18015030， 115； 故选：D 6增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君 每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字 数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有 34685 个字，设他 第一天读 x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） Ax+2x+4x34685 Bx+2x+3x34685 Cx+2x+2x34685 Dx+x+x34685 【分析】设他第一天读 x 个字，根据题意列出方程解答即可 解：设他第一天读 x 个字
15、，根据题意可得：x+2x+4x34685， 故选：A 7如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接 OA，OB，求得AOB 110，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解 解：连接 OA，OB， PA，PB 是O 的切线， PAOA，PBOB， ACB55， AOB110， APB360909011070 故选：B 8某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到达该路 口时，遇到绿灯的概率是（ ）
16、A B C D 【分析】 随机事件 A 的概率 P （A） 事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 解：每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率 P， 故选：D 9如图，RtABC 中，C90，B30，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的 长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，若 BD 6，则 CD 的长为（ ） A2 B4 C6 D3 【分析】由作图过程可得 DN 是 AB 的垂直平分线，ADBD6，再根据直角三角形 30 度角所对直角边等于斜边一半即可求解 解：由作图过程可
17、知： DN 是 AB 的垂直平分线， ADBD6 B30 DAB30 C90， CAB60 CAD30 CDAD3 故选：D 10 如图， 在矩形 ABCD 中， AB2， BC3， 动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D 设 运动的路程为 x，ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】 由题意当 0x3 时， y3， 当 3x5 时， y3 （5x） x+ 由 此即可判断 解：由题意当 0x3 时，y3， 当 3x5 时，y3（5x）x+ 故选：D 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11因式分解：x3
18、4x x（x+2）（x2） 【分析】首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 解：x34x x（x24） x（x+2）（x2） 故答案为：x（x+2）（x2） 12甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投 6 次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10， 6甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为 4，那么成绩较为稳定的是 甲 （填 “甲”或“乙”） 【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的 成绩稳定 解：甲的平均数 （9+8+9+6+10+6）8， 所以甲的方差（98）2+（88）2+（98）2+（68）2+（108）2+（68）2 ， 因为甲的
19、方差比乙的方差小， 所以甲的成绩比较稳定 故答案为甲 13如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动 点，则 CD+BD 的最小值是 4 【分析】 如图， 作 DHAB 于 H， CMAB 于 M 由 tanA2， 设 AEa， BE2a， 利用勾股定理构建方程求出 a，再证明 DHBD，推出 CD+BDCD+DH，由垂 线段最短即可解决问题 解：如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M BEAC， AEB90， tanA2，设 AEa，BE2a， 则有：100a2+4a2， a220， a2或2（舍弃）， BE2a4， ABAC，BEAC
20、，CMAB， CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等） DBHABE，BHDBEA， sinDBH， DHBD， CD+BDCD+DH， CD+DHCM， CD+BD4 ， CD+BD 的最小值为 4 故答案为 4 14如图，将四边形 ABCD 绕顶点 A 顺时针旋转 45至四边形 ABCD的位置，若 AB 16cm，则图中阴影部分的面积为 32 cm2 【分析】由旋转的性质得：BAB45，四边形 ABCD四边形 ABCD，图中阴影部 分的面积四边形 ABCD 的面积+扇形 ABB的面积四边形 ABCD的面积扇形 ABB 的面积，代入扇形面积公式计算即可 解：由旋转的性质得：BAB45，四边形
21、ABCD四边形 ABCD， 则图中阴影部分的面积四边形 ABCD 的面积+扇形 ABB的面积四边形 ABCD的面积 扇形 ABB的面积32； 故答案为：32 15如图，在矩形 ABCD 中，AD2将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A，折痕 为 DE若将B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，则 AB 【分析】 利用矩形的性质， 证明ADEADEADC30， CABD90， 推出DBADCA，CDBD，设 ABDCx，在 RtADE 中，通过勾股定理可求 出 AB 的长度 解：四边形 ABCD 为矩形， ADCCB90，ABDC， 由翻折知，AEDAED，ABEA
22、BE，ABEBABD90， AEDAED，AEBAEB，BEBE， AEDAEDAEB18060， ADE90AED30，ADE90AEB30， ADEADEADC30， 又CABD90，DADA， DBADCA（AAS）， DCDB， 在 RtAED 中， ADE30，AD2， AE， 设 ABDCx，则 BEBEx AE2+AD2DE2， （）2+22（x+x）2， 解得，x1（负值舍去），x2 ， 故答案为： 三、解答题（共 8 小题，共 75 分） 16已知：xy，yx+8，求代数式+的值 【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将 yx+8 代入计算可得 解：原式+， 当 xy，y
23、x+8 时， 原式x+（x+8）8 17 体育组为了了解九年级 450 名学生排球垫球的情况， 随机抽查了九年级部分学生进行排 球垫球测试（单位：个），根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段 频数 频率 1 0x10 5 0.1 2 10x20 21 0.42 3 20x30 a 4 30x40 b （1）表中的数 a 20 ，b 0.08 ； （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数； （3）排球垫球测试结果小于 10 的为不达标，若不达标的 5 人中有 3 个男生，2 个女生， 现从这 5 人中随机选出 2 人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的 2 人为
24、一个男 生一个女生的概率 【分析】 （1）抽查了九年级学生数：50.150（人），20x30 的人数：50 20（人），即 a20，30x40 的人数：50521204（人），b0.08； （2）该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数 4500.145（人）； （3）P（选出的2人为一个男生一个女生的概率） 【解答】解（1）抽查了九年级学生数：50.150（人）， 20x30 的人数：5020（人），即 a20， 30x40 的人数：50521204（人）， b0.08， 故答案为 20，0.08； （2）该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数 4500.145（人）， 答：该九年级排
25、球垫球测试结果小于 10 的人数为 45 人； （3）列表如下 P（选出的2人为一个男生一个女生的概率） 18如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，过点 O 作 ODAB，交 BC 的延长线于 D， 交 AC 于点 E，F 是 DE 的中点，连接 CF （1）求证：CF 是O 的切线 （2）若A22.5，求证：ACDC 【分析】（1）根据圆周角定理得到ACBACD90，根据直角三角形的性质得到 CFEFDF，求得AEOFECFCE，根据等腰三角形的性质得到OCA OAC，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到OAECDE22.5，根据等腰三角形的性质得到 CADADC45，于是得到
26、结论 【解答】（1）证明：AB 是O 的直径， ACBACD90， 点 F 是 ED 的中点， CFEFDF， AEOFECFCE， OAOC， OCAOAC， ODAB， OAC+AEO90， OCA+FCE90，即 OCFC， CF 与O 相切； （2）解：连接 AD，ODAB，ACBD， AOEACD90， AEODEC， OAECDE22.5， AOBO， ADBD， ADOBDO22.5， ADB45， CADADC45， ACCD 19慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一如图，小亮的目 高 CD 为 1.7 米， 他站在 D 处测得塔顶的仰角ACG 为 45
27、， 小琴的目高 EF 为 1.5 米， 她站在距离塔底中心 B 点 a 米远的 F 处，测得塔顶的仰角AEH 为 62.3 （点 D、B、 F 在同一水平线上，参考数据：sin62.30.89，cos62.30.46，tan62.31.9） （1）求小亮与塔底中心的距离 BD；（用含 a 的式子表示） （2）若小亮与小琴相距 52 米，求慈氏塔的高度 AB 【分析】（1）根据正切的定义用 a 表示出 AH，根据等腰直角三角形的性质计算； （2）根据题意列方程求出 a，结合图形计算，得到答案 解：（1）由题意得，四边形 CDBG、HBFE 为矩形， GBCD1.7，HBEF1.5， GH0.2，
28、 在 RtAHE 中，tanAEH， 则 AHHE tanAEH1.9a， AGAHGH1.9a0.2， 在 RtACG 中，ACG45， CGAG1.9a0.2， BD1.9a0.2， 答：小亮与塔底中心的距离 BD 为（1.9a0.2）米； （2）由题意得，1.9a0.2+a52， 解得，a18， 则 AG1.9a0.234， ABAG+GB34+1.735.7， 答：慈氏塔的高度 AB 为 35.7 米 20某班“数学兴趣小组”对函数 y，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补 充完成： （1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值请直接写
29、出 m，n 的值：m ；n x 2 1 0 n 2 3 4 y m 0 1 3 5 3 2 （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描 出的点，画出该函数的图象； （4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数 y（k0）的图象形 状相同，是中心对称图形，且点（1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的 坐标为 （1，1） （5）当 2x4 时，关于 x 的方程 kx+有实数解，求 k 的取值范围 【分析】（1）根据分母不能为 0，即可解决问题； （2）求出 x1 的函数值，求得 y3 时的 x 的值即可； （3）利用描点法画出函数图象即
30、可； （4）根据函数的图象，可得结论； （5）利用图象的交点解决问题即可 解：（1）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 故答案为 x1 （2）x1 时，y， m 当 y3 时，则 3，解得 x， n， 故答案为，； （3）函数图象如图所示： （4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称， 故答案为（1，1）； （5）当 2x4 时，函数 y中，y2， 把 x4，y代入函数 ykx+得，4k+，解得 k， 把 x2，y2 代入函数 ykx+得 22k+，解得 k， 关于 x 的方程 kx+有实数解，k 的取值范围是 k 21甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少
31、，价格均为 5 元/kg在乙批发店，一次购买数量不超过 50kg 时，价格为 7 元/kg；一次购买数量超过 50kg 时，其中有 50kg 的价格仍为 6 元/kg，超过 50kg 部分的价格为 4 元/kg设小张在同 一个批发店一次购买苹果的数量为 xkg（x0） （1）根据题意填表： 一次购买数量/kg 20 50 150 甲批发店花费/元 100 250 750 乙批发店花费/元 140 350 700 （2）设在甲批发店花费 y1元，在乙批发店花费 y2元，分别求 y1，y2关于 x 的函数解析 式； （3）根据题意填空： 若小张在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相
32、同，则他在同一 个批发店一次购买苹果的数量为 100 kg； 若小张在同一个批发店一次购买苹果的数量为 120kg，则他在甲、乙两个批发店中的 乙 批发店购买花费少； 若小张在同一个批发店一次购买苹果花费了 460 元， 则他在甲、 乙两个批发店中的 甲 批发店购买数量多 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意，可以分别写出 y1，y2关于 x 的函数解析式，y2关于 x 的函数解析式分 0 x50 和 x50 两种情况，是分段函数； （3）根据（2）的结论解答即可 解：（1）甲批发店：520100 元，5150750 元； 乙批发店：720140 元，650+4（15050）7
33、00 元 故依次填写：100、750、140、700 （2）y15x（x0）， 当 0x50 时，y27x（0x50）， 当 x50 时，y2650+4（x50）4x+100（x50）， 因此 y1，y2与 x 的函数解析式为： y15x（x0）； y27x（0x50）， y24x+100（x50） （3）当 y1y2时，有：5x7x，解得 x0，不合题意，舍去； 当 y1y2时，也有：5x4x+100，解得 x100， 故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 100 千克 当 x120 时，y15120600 元，y24120+100580 元， 600580， 乙批发店花费少 故乙批发店花
34、费少 当 y360 时，即：5x460 和 4x+100460；解得 x92 和 x90， 9290， 甲批发店购买数量多 故甲批发店购买的数量多 故答案为：100；乙；甲 22如图 1，在ABC 中，ABAC10，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不与点 B，C 重合）以 D 为顶点作ADEB，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AFAD 交射线DE于点F，连接 CF （1）求证：ABDDCE； （2）当 DEAB 时（如图 2），求 AE 的长； （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DFCF？若存在，求出 此时 BD 的长；若不存在，请说明理由
35、 【分析】（1） 由等腰三角形的性质可得BACB， 由外角的性质可得BADCDE， 可证ABDDCE； （2） 作 AMBC 于 M 由锐角三角函数可求 AM6， BM8， 通过证明ABDCBA， 可求 BD 的长，再由平行线分线段成比例可求 AE 的长； （3）作 FHBC 于 H，AMBC 于 M，ANFH 于 N可证四边形 AMHN 为矩形，可得 MAN90，MHAN，通过证明AFNADM，可求 AN 的长，由等腰三角形的 性质可求 BD 的长，即可求解 【解答】证明：（1）ABAC， BACB， ADE+CDEB+BAD，ADEB， BADCDE， BADDCE； （2）如图 2 中，
36、作 AMBC 于 M 在 RtABM 中，设 BM4k， ， ， 由勾股定理，得到 AB2AM2+BM2， 102（3k）2+（4k）2， k2 或2（舍弃）， AM6，BM8， ABAC，AMBC， BC2BM22k16， DEAB， BADADE， ADEB，BACB， BADACB， ABDCBA， ABDCBA， ， ， DEAB， ， （3）点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DFCF 理由：作 FHBC 于 H，AMBC 于 M，ANFH 于 N则NHMAMHANH 90， 四边形 AMHN 为矩形， MAN90，MHAN， ABAC，AMBC， AB10， B
37、MCM8， BC16， 在 RtABM 中，由勾股定理，得 AM6， ANFH，AMBC， ANF90AMD， DAF90MAN， NAFMAD， AFNADM， ， ， CHCMMHCMAN8， 当 DFCF 时，由点 D 不与点 C 重合，可知DFC 为等腰三角形， FHDC， CD2CH7， BDBCCD1679， 点 D 在 BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DFCF，此时 BD9 23如图，抛物线 yax2+bx+3 经过点 A（1，0），B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线上一个动点， 设点 D 的横坐标为 m（0m2） 连接 AC， BC， DB，
38、 DC （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD 的面积何时最大？求出此时 D 点的坐标和最大面积； （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由抛物线交点式表达式得：ya（x+1）（x2），将（0，3）代入上式， 即可求解； （2）SBDCSDHC+SHDB HDOB，即可求解； （3）分 BD 是平行四边形的一条边、BD 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即 可 解：（1）由抛物线交点式表达式
39、得：ya（x+1）（x2）， 将（0，3）代入上式得：2a3，解得：a， 故抛物线的表达式为：； （2）点 C（0，3），B（2，0）， 设直线 BC 的表达式为：ymx+n，则，解得：， 故直线 BC 的表达式为：， 如图所示，过点 D 作 y 轴的平行线交直线 BC 与点 H， 设点 D（m，），则点 H（m，m+3）， SBDCSDHC+SHDBHDOB ， 0，故BCD 的面积有最大值， 当 m1，BCD 面积最大为，此时 D 点为（1，3）； （3）m1 时，D 点为（1，3）， 当 BD 是平行四边形的一条边时， 设点 N（n，）， 则点 N 的纵坐标为绝对值为 3， 即， 解得：n0 或 1（舍去）或， 故点 N 的坐标为（0，3）或（，3）或（，3）， 当 BD 是平行四边形的对角线时， N 的坐标为（0，3）； 综上，点 N 的坐标为：（0，3）或（，3）或（，3）