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2020年陕西省铜川市高考数学理科二模试卷(含答案解析)

1、2020 年陕西省铜川市高考数学二模试卷(理科)年陕西省铜川市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题(共 12 小题) 1设集合 Ax|2x2,By|y3x1,xR,则 AB( ) A(1,+) B2,+) C1,2 D(1,2 2已知复数 z 满足 zi2+i,i 是虚数单位,则|z|( ) A B C2 D 3等比数列an中,a39 前三项和为 S3 3x2dx,则公比 q 的值是( ) A1 B C1 或 D1 或 4已知 mR,“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在(0,+)上为减函数” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

2、5一支足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a,与对手踢平(得 1 分)的概率为 b,负 于对手(得 0 分)的概率为 c(a,b,c(0,1),已知该足球队进行一场比赛得分 的期望是 1,则 的最小值为( ) A B C D 6已知 m、n 为两条不同的直线,、 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A若 lm,ln,且 m,n,则 l B若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,则 C若 m,mn,则 n D若 mn,n,则 m 7在区间1,1上随机取一个数 k,则直线 yk(x2)与圆 x2+y21 有两个不同公共 点的概率为( ) A B C D 8已知 ,其中 , ,

3、, ,xR则 f(x)的单 调递减区间是( ) A , B , C , D , 9已知函数 f(x)x2ln|x|,则函数 yf(x)的大致图象是( ) A B C D 10抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的一条渐近线的距离是 ,则双曲线的虚轴 长是( ) A B2 C3 D6 11三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ACBC,ACBC1,PA ,则该三棱锥外 接球的表面积为( ) A5 B C20 D4 12 若对于任意的正实数 x, y 都有 成立, 则实数 m 的取值范围为 ( ) A , B , C , D , 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20

4、分) 13如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若 ,则 的值为 14在(x1)(x+1)8的展开式中,x5的系数是 15已知两圆 x2+y210 和(x1)2+(ya)220 相交于 A、B 两个不同的点,且直线 AB 与直线 3xy+10 垂直,则实数 a 16 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升, 然后加满水, 再倒出 1 升混合溶液后又用水填满, 以此继续下去, 则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10% 三、 解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤) (一) 必考题(共 60 分) 17在ABC

5、中, , , ()求 AB 的值; ()求 的值 18在某市创建全国文明城市的过程中,创文专家组对该市的中小学进行了抽检,其中抽检 的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评 如表是被抽检到的5所学校A、 B、 C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位:分): 学校 A B C D E 教师测评成绩 x 90 92 93 94 96 学生测评成绩 y 87 89 89 92 93 (1)建立 y 关于 x 的回归方程 ; (2)现从 A、B、C、D、E 这 5 所学校中随机选 2 所派代表参加座谈,用 X 表示选出的 2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数, 求随机变量X的分布列及数学

6、期望E (X) 附: , 19如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,ABBC,D 为 AC 的中点, A1AAB2 (1)求证:AB1平面 BC1D; (2)若四棱锥 BAA1C1D 的体积为 3,求二面角 CBC1D 的正切值 20已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点(1, )是 椭圆 C 上的点,离心率 e ()求椭圆 C 的方程; ()点 A(x0,y0)(y00)在椭圆 C 上,若点 N 与点 A 关于原点对称,连接 AF2并 延长与椭圆 C 的另一个交点为 M,连接 MN,求AMN 面积的最大值 21已知函数 f(x)lnxx2+f

7、( ) ()求函数 f(x)的单调区间; ()证明:( x+1)f(x)2e x (二)选考题(共 10 分,请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分)选修 4-4:坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 (t 为参数) , 其中 以 原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为26cos+40 (1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)已知曲线 C2与 C1交于两点,记点 A,B 相应的参数分别为 t1,t2,当 t1+t20 时, 求|AB|的值 选修 4-5:不等式选讲 2

8、3函数 f(x) 2 ()求 f(x)的值域; ()若关于 x 的不等式 f(x)m0 有解,求证:3m 7 参考答案参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项) 1设集合 Ax|2x2,By|y3x1,xR,则 AB( ) A(1,+) B2,+) C1,2 D(1,2 【分析】先求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:集合 Ax|2x2, By|y3x1,xRy|y1, ABx|1x2(1,2 故选:D 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运 用 2已知复数 z 满足 zi

9、2+i,i 是虚数单位,则|z|( ) A B C2 D 【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式 计算 解:由 zi2+i,得 , |z| , 故选:D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 3等比数列an中,a39 前三项和为 S3 3x2dx,则公比 q 的值是( ) A1 B C1 或 D1 或 【分析】根据积分公式先求出的 S3的值,然后建立方程组进行求解即可 解:S3 , 即前三项和为 S327, a39, , 即 , , 即 2q2q10, 解得 q1 或 q , 故选:C 【点评】本题主要考查等比数列的计算,根据

10、条件建立方程是解决本题的关键,考查学 生的计算能力 4已知 mR,“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在(0,+)上为减函数” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据函数的性质求出 m 的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断 即可 解:若函数 yf(x)2x+m1 有零点,则 f(0)1+m1m1, 当 m0 时,函数 ylogmx 在(0,+)上为减函数不成立,即充分性不成立, 若 ylogmx 在(0,+)上为减函数,则 0m1,此时函数 y2x+m1 有零点成立, 即必要性成立, 故“函数 y2x+m1

11、有零点”是“函数 ylogmx 在(0,+)上为减函数”的必要不充 分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数零点和对数函数的性质求 出等价条件是解决本题的关键 5一支足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a,与对手踢平(得 1 分)的概率为 b,负 于对手(得 0 分)的概率为 c(a,b,c(0,1),已知该足球队进行一场比赛得分 的期望是 1,则 的最小值为( ) A B C D 【分析】由该足因为该足球队进行一场比赛得分的期望是 1,得到 3a+b1,利用基本不 等式求出 的最小值 解:因为该足球队进行一场比赛得分的期望是 1, 所以 3a+b1 所

12、以 (3a+b)( ) 当且仅当 取等号 故选:A 【点评】利用基本不等式求合适的最值时,一定注意不等式使用的条件:一正、二定、 三相等 6已知 m、n 为两条不同的直线,、 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A若 lm,ln,且 m,n,则 l B若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,则 C若 m,mn,则 n D若 mn,n,则 m 【分析】根据线面垂直的判定定理判断 A 是否正确; 借助图象,根据三点是否在平面的同侧来判断 B 是否正确; 根据直线在平面内的情况,来判断 C 是否正确; 根据平行线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面, 来判断 D 是否正确

13、 解:A、若 mn 时,l 与 不一定垂直,故 A 错误; B、若三点不在平面 的同侧,则 与 相交,故 B 错误; C、m,mn,有可能 n,故 C 错误; D、根据平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于平面,故 D 正确 故选:D 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查线面垂直的判定 7在区间1,1上随机取一个数 k,则直线 yk(x2)与圆 x2+y21 有两个不同公共 点的概率为( ) A B C D 【分析】求出圆心到直线的距离,根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出 k 的 取值范围,再计算所求的概率 解:圆 x2+y21 的圆心为(0,0), 圆心到直线 yk(x2)

14、的距离为 ; 要使直线 yk(x2)与圆 x2+y21 有两个不同公共点, 则 1, 解得 k ; 在区间1,1上随机取一个数 k, 使直线 yk(x2)与圆 x2+y21 有公共点的概率为 P 故选:D 【点评】本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题,解题的关键弄清概 率类型,是基础题 8已知 ,其中 , , , ,xR则 f(x)的单 调递减区间是( ) A , B , C , D , 【分析】先利用平面向量数量积表示出函数 f(x),再结合余弦的二倍角公式和辅助角 公式对 f(x)进行化简,最后根据余弦函数的单调性求解即可 解: 2cosx cosx sin2x , 令 ,

15、, ,则 , , , 故选:C 【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合,涉及平面向量数量积、三角函数的图象 与性质、二倍角公式和辅助角公式,考查学生灵活运用知识的能力和运算能力,属于基 础题 9已知函数 f(x)x2ln|x|,则函数 yf(x)的大致图象是( ) A B C D 【分析】判断 f(x)的奇偶性和单调性,计算极值,从而得出函数图象 解:f(x)(x)2ln|x|x2ln|x|f(x), f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 D; 当 x0 时,f(x)x2lnx,f(x)2x , 当 0x 时,f(x)0,当 x 时,f(x)0, f(x)在(0, )上单调递减,在(

16、 ,+)上单调递增,排除 C, 当 x 时,f(x)取得最小值 f( ) ln 0,排除 B, 故选:A 【点评】本题考查了函数的单调性判断与极值计算,属于基础题 10抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 1 的一条渐近线的距离是 ,则双曲线的虚轴 长是( ) A B2 C3 D6 【分析】先确定抛物线的焦点位置,进而可确定抛物线的焦点坐标,再由题中条件求出 双曲线的渐近线方程,再代入点到直线的距离公式即可求出结论 解:抛物线 y24x 的焦点在 x 轴上,且 p2, 抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0), 由题得:双曲线双曲线 x2 1 的渐近线方程为 bxy0, 抛物线的焦点到渐近线

17、的距离 d , 解得 b , 则双曲线的虚轴长是 2b2 , 故选:B 【点评】本题考查抛物线的性质,考查双曲线的基本性质,解题的关键是定型定位,属 于基础题 11三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,ACBC,ACBC1,PA ,则该三棱锥外 接球的表面积为( ) A5 B C20 D4 【分析】根据题意,证出 BC平面 PAC,PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径利用勾 股定理结合题中数据算出 PB ,得外接球半径 R ,从而得到所求外接球的表面积 解:PA平面 ABC,ACBC, BC平面 PAC,PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径; RtPBA 中,AB ,PA PB ,可得外

18、接球半径 R PB 外接球的表面积 S4R25 故选:A 【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积,着重考查了线面垂直的判定与性质、 勾股定理和球的表面积公式等知识,属于中档题 12 若对于任意的正实数 x, y 都有 成立, 则实数 m 的取值范围为 ( ) A , B , C , D , 【分析】根据题意对于(2x ) ln ,可化为(2e )ln ,设 t ,设 f (t)(2et)lnt,根据导数和函数的最值的关系即可求出 解:根据题意,对于(2x ) ln ,变形可得 (2x )ln , 即(2e )ln , 设 t ,则(2et)lnt ,t0, 设 f(t)(2et)lnt,(

19、t0) 则其导数 f(t)lnt 1, 又由 t0,则 f(t)为减函数,且 f(e)lne 10, 则当 t(0,e)时,f(t)0,f(t)为增函数, 当 t(e,+)时,f(t)0,f(t)为减函数, 则 f(t)的最大值为 f(e),且 f(e)e, 若 f(t)(2et)lnt 恒成立,必有 e , 解可得 0m ,即 m 的取值范围为(0, ; 故选:D 【点评】本题考查函数导数的应用,关键是转化和构造函数 f(t),求出其最小值,属 于中档题 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若 ,则 的值为 3

20、 【分析】利用平面向量的三角形法则,将 用 , 表示,再由平面向量基本定理得 到 , 的值 解:由题意,因为 E 为 DC 的中点,所以 ( ), 所以 2 , 即 2 ,所以 1,2, 所以 3; 故答案为:3 【点评】 本题考查了三角形中线的向量性质以及平面向量基本定理的运用; 属于基础题 14在(x1)(x+1)8的展开式中,x5的系数是 14 【分析】将求 x5的系数问题转化为二项式(x+1)8的展开式的 x4的系数减去 x5的系数, 即可求出展开式中 x5的系数 解:(x1)(x+1)8x(x+1)8(x+1)8 (x1)(x+1)8展开式中 x5的系数等于(x+1)8展开式的 x4

21、的系数减去 x5的系数, (x+1)8展开式的通项为 展开式中 x5的系数是 C84C8514, 故答案为:14 【点评】本题考查二项式定理的应用,考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式 的指定项问题,考查学生的转化能力 15已知两圆 x2+y210 和(x1)2+(ya)220 相交于 A、B 两个不同的点,且直线 AB 与直线 3xy+10 垂直,则实数 a 3 【分析】由题意,两圆相减可得 2x+2aya2+90,利用直线 AB 与直线 3xy+10 垂 直,可得 31,即可求出 a 的值 解:由题意,两圆相减可得 2x+2aya2+90, 直线 AB 与直线 3xy+10 垂直,

22、31,a3, 故答案为 3 【点评】 本题考查圆与圆的位置关系, 考查两条直线垂直位置关系的运用, 属于中档题 16 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升, 然后加满水, 再倒出 1 升混合溶液后又用水填满, 以此继续下去,则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10% 【分析】设开始的浓度为 1,操作 1 次后的浓度为 a11 ,操作 n 次后的浓度为 an, 则 an+1an (1 ),利用等比数列的通项公式即可得出 解:设开始的浓度为 1,操作 1 次后的浓度为 a11 , 操作 n 次后的浓度为 an,则 an+1an(1 ), 数列an构成 a1 1 为首项,

23、q1 为公比的等比数列, an (1 ) n,即第 n 次操作后溶液的浓度为(1 ) n; 当 a2 时,可得 an(1 ) n ,由 an( ) n ,解得 n4 至少应倒 4 次后才能使酒精的浓度低于 10% 故答案为:4 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题 三、 解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤) (一) 必考题(共 60 分) 17在ABC 中, , , ()求 AB 的值; ()求 的值 【分析】()利用正弦定理化简可得 AB 的值 () 利用余弦定理求解 cosA, 在求解 s

24、inA, 和与差公式打开即可求 的值 解:() , , 在ABC 中,根据正弦定理,于是 AB ()在ABC 中,根据余弦定理,得 cosA 于是 sinA 从而 sin2A2sinAcosA , 则 cos2Acos2Asin2 A , 故得 sin2Acos cos2Asin 【点评】本题考查了正余弦定理的运用和和与差以及同角函数关系式,正余弦函数的二 倍角公式的计算属于基础题 18在某市创建全国文明城市的过程中,创文专家组对该市的中小学进行了抽检,其中抽检 的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评 如表是被抽检到的5所学校A、 B、 C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位:分):

25、 学校 A B C D E 教师测评成绩 x 90 92 93 94 96 学生测评成绩 y 87 89 89 92 93 (1)建立 y 关于 x 的回归方程 ; (2)现从 A、B、C、D、E 这 5 所学校中随机选 2 所派代表参加座谈,用 X 表示选出的 2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数, 求随机变量X的分布列及数学期望E (X) 附: , 【分析】(1)求出回归系数,可得回归方程; (2)X 的取值为 0,1,2,求出相应的概率,即可求 X 的分布列和数学期望 解:(1)依据题意计算得: 93, 90, 9+1+0+1+920, (xi )(yi )(3)(3)+(1) (

26、1)+0(1)+12+3321, , 90 所求回归方程为 x (2)由题设得随机变量 X 的可能取值为 0,1,2 由已知得 P(X0) ,P(X1) ,P(X2) X 的分布列为: X 0 1 2 P E(X)0 1 2 【点评】本题考查回归直线方程,考查求离散型随机变量的分布列和数学期望,正确计 算是解题的关键 19如图,在三棱柱 ABCA1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,ABBC,D 为 AC 的中点, A1AAB2 (1)求证:AB1平面 BC1D; (2)若四棱锥 BAA1C1D 的体积为 3,求二面角 CBC1D 的正切值 【分析】(1)在平面 BC1D 内找到一条直线与已

27、知直线 AB1平行,根据线面平行的判定 定理证明线面平行,而找平行的方法一般是找三角形的中位线或找平行四边形 (2)根据题中的垂直关系表达出四棱锥的体积进而得到等式求出 BC 的数值,结合这题 中的线面垂直关系作出二面角,再证明此角就是所求角然后求出即可 解:(1)证明:连接 B1C,设 B1C 与 BC1相交于点 O,连接 OD, 四边形 BCC1B1是平行四边形, 点 O 为 B1C 的中点 D 为 AC 的中点, OD 为AB1C 的中位线, ODAB1 OD平面 BC1D,AB1平面 BC1D, AB1平面 BC1D (2)解:依题意知,ABBB12, AA1平面 ABC,AA1平面

28、AA1C1C, 平面 ABC平面 AA1C1C,且平面 ABC平面 AA1C1CAC 作 BEAC,垂足为 E,则 BE平面 AA1C1C, 设 BCa, 在 RtABC 中, , , 四棱锥 BAA1C1D 的体积 a 依题意得,a3,即 BC3 ABBC,ABBB1,BCBB1B,BC平面 BB1C1C,BB1平面 BB1C1C, AB平面 BB1C1C 取 BC 的中点 F,连接 DF,则 DFAB,且 DF平面 BB1C1C 作 FGBC1,垂足为 G,连接 DG, 由于 DFBC1,且 DFFGF, BC1平面 DFG DG平面 DFG, BC1DG DGF 为二面角 CBC1D 的

29、平面角 由 RtBGFRtBCC1,得 , 得 , 在 RtDFG 中, 二面角 CBC1D 的正切值为 【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构便于利用题中的线面、线线关系解决 空间角、空间距离与几何体的体积等问题 20已知椭圆 C: 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点(1, )是 椭圆 C 上的点,离心率 e ()求椭圆 C 的方程; ()点 A(x0,y0)(y00)在椭圆 C 上,若点 N 与点 A 关于原点对称,连接 AF2并 延长与椭圆 C 的另一个交点为 M,连接 MN,求AMN 面积的最大值 【分析】()离心率 e ,则 a c,又 b2a2c2c2,将(1,

30、)代入 椭圆方程: ,解得 c1,即可求出椭圆方程 ()设直线 AM 的方程是 xmy+1,与椭圆方程联立,利用弦长公式求出|AM|,求出点 O(0,0)到直线 AM 的距离,可得OAM 的面积,利用基本不等式,即可求OAM 的 面积的最大值AMN 面积的最大值是OAM 的面积的最大值的 2 倍 解:()由题意可知:离心率 e ,则 a c, b2a2c2c2, 将(1, )代入椭圆方程: , 解得:c1, 则 a ,b1, 椭圆的标准方程: ; ()椭圆的右焦点 F(1,0),设直线 AM 的方程是 xmy+1,与 联立, 可得(m2+2)y2+2my10, 设 A(x1,y1),M(x2,

31、y2),则 x1my1+1,x2my2+1, 于是|AM| |y1y2| ,点 O(0,0)到直线 MN 的距离 d 于是AMN 的面积 s2sOAM|MN|d 2 ,AMN 的面积 S 当且仅当即 m0 时取到 最大值 【点评】代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系,直线与圆锥曲线位置关系问题 常常需要联立方程组,利用韦达定理属于中档题 21已知函数 f(x)lnxx2+f( ) ()求函数 f(x)的单调区间; ()证明:( x+1)f(x)2e x 【分析】()求出函数 f(x)的定义域为(0,+), ,通过 解 ,判断导函数的符号,求解函数 f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区

32、 间为(1,+) ()不等式 等价于 ,由()f(x)在(0,+ ) 上的最大值为f (x)maxf (1) 2, 推出f (x) 2, 令 , 利 用导函数的单调性以及最值推出 ,证明结论即可 解:()函数 f(x)的定义域为(0,+), 则 , 解得 , 所以 f( x) lnx x 2+x+2 此时 , ,由 f(x)0 得 0x1,f(x)0 得 x1, 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+) ()证明:不等式 等价于 , 由()f(x)在(0,+)上的最大值为 f(x)maxf(1)2, 所以 f(x)2, 令 ,所以 g(x)exx1,(g(x)ex1,

33、 所以, 当 x0 时,(g(x)0, 所以 g(x)在(0,+)上单调递增,所以 g(x)g(0)0, 所以 g (x) 在 (0, +) 上单调递增, 所以 g (x) g (0) 0, 即 , 因为 x0,所以 , 所以,x0 时, 【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查转化 思想以及计算能力 一、选择题 22 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1的参数方程为 (t 为参数) , 其中 以 原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为26cos+40 (1)写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程; (2)已知曲线 C

34、2与 C1交于两点,记点 A,B 相应的参数分别为 t1,t2,当 t1+t20 时, 求|AB|的值 【分析】(1)直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程 (2) 利用直线和曲线的位置关系, 建立等量关系式, 利用中点坐标和垂径定理求出结果 解:(1)线 C1的参数方程为 (t 为参数), 所以:C1的普通方程:y(x2)tan+1,其中 ; 曲线 C2的极坐标方程为 26cos+40 所以:C2的直角坐标方程:(x3)2+y25 (2)由题知直线恒过定点 P(2,1),又 t1+t20, 由参数方程的几何意义知 P 是线段 AB 的中点, 曲线 C2是以 C2(3,0)为圆心,半径

35、的圆, 且 由垂径定理知: 【点评】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程,中点坐标 公式的应用,垂径定理得应用 选修 4-5:不等式选讲 23函数 f(x) 2 ()求 f(x)的值域; ()若关于 x 的不等式 f(x)m0 有解,求证:3m 7 【分析】(I)由 f(x) 2 |x1|+2|x2|,分类讨论取绝 对值,然后根据分段函数的性质可求值域 (II)若关于 x 的不等式 f(x)m0 有解,故只需 mf(x)的最小值,可求 m 的范 围,然后结合基本不等式即可证 解:f(x) 2 |x1|+2|x2| (I)当 x2 时,f(x)3x51; 当 1x2 时,f(x)3x,1f(x)2, 当 x1 时,f(x)53x2 综上可得,函数的值域为1,+) (II)证明:若关于 x 的不等式 f(x)m0 有解, f(x)m 有解, 故只需 mf(x)的最小值,即 m1 3m 3(m1) 3 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值域的求解,及不等式的存在性问题,及基本 不等式在最值求解中的应用