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北师大版九年级下册数学《3.3 垂径定理1》教案

1、*3.3 垂径定理垂径定理 1理解垂径定理和推论的内容,并会 证明,利用垂径定理解决与圆有关的问题; (重点) 2利用垂径定理及其推论解决实际问 题(难点) 一、情境导入 如图某公园中央地上有一些大理石 球,小明想测量球的半径,于是找了两块厚 20cm 的砖塞在球的两侧(如图所示), 他量 了下两砖之间的距离刚好是 80cm,聪明的 你能算出大石头的半径吗? 二、合作探究 探究点一:垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦 的长度 如图所示, O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P,且 P 是半径 OB 的中点,CD 6cm,则直径 AB 的长是( ) A2 3cm B3 2cm C4

2、2cm D4 3cm 解析:直径 ABDC,CD6,DP 3.连接 OD,P 是 OB 的中点,设 OP 为 x,则 OD 为 2x,在 RtDOP 中,根据勾股 定理列方程32x2(2x)2, 解得x 3.OD 2 3,AB4 3.故选 D. 方法总结:我们常常连接半径,利用半 径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形, 然后应用勾股定理解决问题 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图,一条公路的转弯处是一段 圆弧(图中的AB ),点 O 是这段弧的圆心,C 是AB 上一点,OCAB,垂足为 D,AB 300m,CD50m,则这段弯路

3、的半径是 _m. 解析:本题考查垂径定理,OCAB, AB300m, AD150m.设半径为 R, 根据 勾股定理可列方程 R2(R50)21502,解 得 R250.故答案为 250. 方法总结:将实际问题转化为数学问 题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理 等知识进行解答 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 8 题 【类型三】 垂径定理的综合应用 如图,已知圆 O 的直径 AB 垂直 于弦 CD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD 于 点 F,且 CFAD.(1)请证明:点 E 是 OB 的 中点;(2)若 AB8,求 CD 的长 解析:(1)要证明 E 是 OB 的

4、中点,只要 求证 OE1 2OB 1 2OC, 即OCE30; (2) 在直角OCE 中,根据勾股定理可以解得 CE 的长,进而求出 CD 的长 (1)证明:连接 AC,如图,直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E,AC AD ,AC AD.过圆心 O 的直线 CFAD,AF DF,即 CF 是 AD 的垂直平分线,AC CD,ACADCD,即ACD 是等边三 角形,FCD30.在 RtCOE 中,OE 1 2OC, OE 1 2OB, 点 E 为 OB 的中点; (2)解:在 RtOCE 中,AB8,OC OB1 2AB4.又BEOE, OE2, CE OC2OE2 1642 3,CD 2CE

5、4 3. 方法总结:解此类题一般要把半径、弦 心距、弦的一半构建在一个直角三角形里, 运用勾股定理求解 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 5 题 探究点二:垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角 的度数 如图所示,O 的弦 AB、AC 的 夹角为 50,M、N 分别是AB 、AC 的中点, 则MON 的度数是( ) A100 B110 C120 D130 解析:已知 M、N 分别是AB 、AC 的中 点,由“平分弧的直径垂直平分弧所对的 弦”得 OMAB、ONAC,所以AEO AFO90,而BAC50,由四边形 内角和定理得MON360AEO AFOBAC36

6、090 90 50 130 .故选 D. 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用垂径定理的推论求边 的长度 如图, 点 A、B 是O 上两点, AB 10cm,点 P 是O 上的动点(与 A、B 不 重合), 连接 AP、 BP, 过点 O 分别作 OEAP 于 E,OFPB 于 F,求 EF 的长 解析:运用垂径定理先证出 EF 是 ABP 的中位线, 然后运用三角形中位线性 质把要求的 EF 与 AB 建立关系,从而解决 问题 解:在O 中,OEAP,OFPB, AEPE,BFPF,EF 是ABP 的中 位线,EF1 2AB 1 2105(cm)

7、方法总结:垂径定理虽是圆的知识,但 也不是孤立的, 它常和三角形等知识综合来 解决问题,我们一定要把知识融会贯通,在 解决问题时才能得心应手 变式训练: 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 动点问题 如图, O 的直径为 10cm, 弦 AB 8cm,P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 的 长度范围 解析:当点 P 处于弦 AB 的端点时, OP 最长, 此时 OP 为半径的长; 当 OPAB 时, OP 最短,利用垂径定理及勾股定理可求得 此时 OP 的长 解: 作直径 MN弦 AB, 交 AB 于点 D, 由垂径定理,得 ADDB1 2AB4cm.又 O 的

8、直径为 10cm,连接 OA,OA 5cm.在 RtAOD 中,由勾股定理,得 OD OA2AD23cm.垂线段最短, 半径最 长,OP 的长度范围是 3cmOP5cm. 方法总结: 解题的关键是明确 OP 最长、 最短时的情况,灵活利用垂径定理求解容 易出错的地方是不能确定最值时的情况 三、板书设计 垂径定理 1垂径定理 2垂径定理的推论 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定 理,由于它涉及的条件结论比较多,学生容 易搞混淆,本节课采取了讲练结合、动手操 作的教学方法, 课前布置所有同学制作一张 圆形纸片,课上利用此纸片探索、体验圆是 轴对称图形, 并进一步利用圆的轴对称性探 究垂径定理,环环相扣、逐层深入,激发学 生的学习兴趣,收到了很好的教学效果.