1、计算 sin133cos197+cos47cos73的结果为（ ） A B C D 4 （5 分） “k0”是“直线 xky10 与圆（x2）2+（y1）21 相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱 的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是（ ） A B C D 6 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 7 （5 分）如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及
2、完成情况的气泡图，气泡的大 小表示完成率的高低，如 10 月份销售任务是 400 台，完成率为 90%则下列叙述不正确 第 2 页（共 22 页） 的是 （ ） A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C2018 年第一季度总销售量为 830 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份 8 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z|x+y1|的最小值为（ ） A2 B C D1 9 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的最小正周期是 ， 若 f（）1，则 f（+）（ ） A2 B C1 D1 10 （5
3、 分）我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底 面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1体积 最大时，则堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积为（ ） A B C D 11 （5 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 S2+a2 第 3 页（共 22 页） S33，则 a4+3a2的最小值为（ ） A9 B12 C16 D18 12（5 分） 已知函数（其中无理数 e2.718） ， 关于 x 的方程 有四个不
4、等的实根，则实数 的取值范围是（ ） A B （2，+） C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4，a10是方程 x28x+10 的两根，则 S13 14 （5 分）如图所示，已知正方形 ABCD，以对角线 AC 为一边作正三角形 ACE，现向四边 形区域 ABCE 内投一点 Q，则 Q 落在阴影部分的概率为 15 （5
5、分）已知向量 与 的夹角是，且| | + |，则向量 与的夹角是 16（5 分） 已知函数， 若有 f （a） +f （a2） 4， 则 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤或演算步骤 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an+12an+1 （1）证明an+1为等比数列 （2）判断 n，an，Sn是否成等差数列？并说明理由 18 （12 分）为检查某工厂所生产的 8 万台电风扇的质量，抽查了其中 20 台的无故障连续 使用时限（单位：小
6、时）如下： 248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 第 4 页（共 22 页） 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283 （1）完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图； （2）估计 8 万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于 280 小时； （3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用 时限 分 组 频数 频率 频率 组距 180，200） 200，220） 220，240） 240，260） 260，280） 280，300） 300，320） 320，340 合 计 0
7、.05 19 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）若 cosA：cosB：cosC2：2：7，求 sinB； （2）若 sinA：cosB：tanA2：2：7，试判断ABC 的形状 20 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE 第 5 页（共 22 页） （1）证明：BE平面 D1AE； （2）设 F 为 CD1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存 在，求出的值；若不存在
8、，请说明理由 21 （12 分）已知函数已知函数 f（x）（x2）ex，其中 e 为自然对数的底数 （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若都有 xlnx+af（x） ，求证：a4 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C3的极坐标方程为 2sin （1）求出曲线 C2，C3的
9、参数方程； （2）若 P，Q 分别是曲线 C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集x|2x3，求实数 a 的值 （2）在（1）的条件下，若存在实数 x 使 f（x）+f（x）m 成立，求实数 m 的取值范 围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（文科）学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题
10、题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）集合 Ax|x25x+60，Bx|2x10，则 AB（ ） A （，23，+） B （） C （ D （ ，23，+） 【分析】解不等式得集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|x25x+60x|x2 或 x3， Bx|2x10x|x， 则 ABx|x2 或 x3（，23，+） 故选：D 【点评】本题考查了解不等式和交集的定义与应用问题，是基础题 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足，则|z+3|
11、（ ） A B C D5 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 z，然后利用复数模的 计算公式求|z+3| 【解答】解：由，得 zi（1i） （3+2i）5i， z， 则 z+325i， |z+3|25i| 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）计算 sin133cos197+cos47cos73的结果为（ ） A B C D 【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果 第 7 页（共 22 页） 【解答】解：sin133cos197+cos47cos73sin47（cos17）+cos47si
12、n17 sin（1747）sin（30）， 故选：B 【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，属于基础题 4 （5 分） “k0”是“直线 xky10 与圆（x2）2+（y1）21 相切”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径可得 k 的值，进而由充要条件的 定义可作出判断 【解答】解：由点到直线的距离公式可得： 圆心（2，1）到直线 xky10 的距离 d，解得 k0 故“k0”是“直线 xky10 与圆（x2）2+（y1）21 相切”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查充
13、要条件的判断，涉及直线和圆的位置关系，属基础题 5 （5 分）下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱 的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是（ ） A B C D 【分析】对于，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于，考虑线面平行的判 定及定义；对于，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于，用线面平行的判 定定理即可 【解答】 解： 对图， 构造 AB 所在的平面， 即对角面， 可以证明这个对角面与平面 MNP， 由线面平行的定义可得 AB平面 MNP 对图，通过证明 ABPN 得到 AB平面 MNP； 对于、无论用定义还是判定定理都无法证明
14、线面平行； 故选：C 第 8 页（共 22 页） 【点评】本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面 平行的性质解决问题 6 （5 分）若 alog63，blog105，clog147，则（ ） Aabc Bbca Cacb Dcba 【分析】令 f（x）1logx21在 x2 时单调递增，即可得出 【解答】解：令 f（x）1logx21在 x2 时单调递增， log63log105log147， 则 abc， 故选：D 【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及
15、完成情况的气泡图，气泡的大 小表示完成率的高低，如 10 月份销售任务是 400 台，完成率为 90%则下列叙述不正确 的是 （ ） A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C2018 年第一季度总销售量为 830 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份 【分析】由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解 【解答】解：由图可知：选项 A 正确， 2018 年月销售任务的平均值为 600，故选项 B 正确， 2018 年第一季度总销售量为 3000.5+2001+4001.2830，故选项 C 正确， 2018 年月销售量最大的是
16、 5 月份为 800 台，故选项 D 不正确， 综合得：选项 D 不正确， 第 9 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题考查了频率分布折线图、密度曲线，属简单题 8 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z|x+y1|的最小值为（ ） A2 B C D1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由 x，y 满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知 A（5， 3） ，B（2，0） ， ux+y1 的最大值为：7，最小值为：1， 则 z|x+y1|的最小值为：1 故选：D 【点评】本题考查简单的线性
17、规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 9 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的最小正周期是 ， 若 f（）1，则 f（+）（ ） A2 B C1 D1 【分析】根据函数 f（x）的周期求出 的值，再化简 f（+）并求值 【解答】解：因为函数 f（x）Asin（x+）的周期为 第 10 页（共 22 页） T，2， f（x）Asin（2x+） ， 又 f（）Asin（2+）1， f（+）Asin2（+）+ Asin（2+3+） Asin（2+） 1 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目 10 （5 分）我国古代数学名著九章算术中
18、有这样一些数学用语， “堑堵”意指底面为直 角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底 面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1体积 最大时，则堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积为（ ） A B C D 【分析】设 ACx，BCy，由阳马 BA1ACC1体积最大，得到 ACBC，由此能 求出堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积 【解答】解：设 ACx，BCy，由题意得 x0，y0，x2+y24， 当阳马 BA1ACC1体积最大， V2xyxy 取最大值， xy2，当且仅当 xy时，取等号， 当阳马 BA1ACC1
19、体积最大时，ACBC， 以 CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵 ABCA1B1C1的外 第 11 页（共 22 页） 接球， 堑堵 ABCA1B1C1的外接球的半径 R， 堑堵 ABCA1B1C1的外接球的体积 V 故选：B 【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 11 （5 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，若 S2+a2 S33，则 a4+3a2的最小值为（ ） A9 B12 C16 D18 【分析】根据题意，分析可得 S2+
20、a2S33a3a23，变形可得 a2，进而可得 a4+3a23（q1）+6，结合基本不等式的性质分析可得答案 【解答】解：根据题意，等比数列an中，若 S2+a2S33，则 S3S2a2+3，即 a3 a23， 变形可得：a2（q1）3，即 a2，必有 q1， 又由 a4+3a2a2q2+3a2a2（q2+3）（q2+3）3（q1）+6， 又由 q1，则 3（q1）+62+618，当且仅当 q3 时等号 成立； 则 a4+3a2的最小值为 18； 故选：D 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和公式，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基 础题 12（5 分） 已知函数（其中无理数 e2.718
21、） ， 关于 x 的方程 有四个不等的实根，则实数 的取值范围是（ ） A B （2，+） 第 12 页（共 22 页） C D 【分析】求导数，确定函数的单调性，可得 x2 时，函数取得极小值，关于 x 的方程 有四个相异实根，则 t+ 的一根在（0，） ，另一根在（，+ ）之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论 【解答】解：由题意，函数的导数为 f（x）， 0x2 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， x0 或 x2 时，f（x）0，函数单调递增， x2 时，函数取得极小值， 关于 x 的方程 x 的方程有四个相异实根， 设 t，则 t+ 的一根在（0，） ，另一根在（，+）之间， y
22、t+在 t处取得最小值+， +， 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性，考查方程根问题，考查学生分析解决问题的能力，属 于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置分，请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4，a10是方程 x28x+10 的两根，则 S13 52 【分析】可得 a4+a108，结合an为等差数列，即可求得结论 第 13 页（共 22 页） 【解答】
23、解：a4，a10是方程 x28x+10 的两根， a4+a108， a4+a102a78 S1313a752， 故答案为：52 【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础 14 （5 分）如图所示，已知正方形 ABCD，以对角线 AC 为一边作正三角形 ACE，现向四边 形区域 ABCE 内投一点 Q，则 Q 落在阴影部分的概率为 【分析】设正方形 ABCD 的边长为，则正ACE 的边长为 2，分别求出四边形 ABCE 的面积及阴影部分的面积，由测度比为面积比得答案 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为，则正ACE 的边长为 2， 则正方形 ABCD 的面积为 2，三角形
24、 ACD 的面积为 1， 正三角形 ACE 的面积为 阴影部分的面积为，则四边形 ABCE 的面积为 向 四 边 形 区 域ABCE 内 投 一 点 Q ， 则 点 Q落 在 阴 影 部 分 的 概 率 为 故答案为：2 第 14 页（共 22 页） 【点评】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题 15（5 分） 已知向量 与 的夹角是， 且| | + |， 则向量 与的夹角是 120 【分析】根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可 【解答】解：向量 与 的夹角是，且| | + |， +2 +， 2 +0， 即 2| | |cos+0， 化简得| | |， co
25、s， 向量 与 + 的夹角是 120 故答案为：120 【点评】本题考查了根据平面向量的数量积求夹角、模长的应用问题，是基础题 16 （5 分） 已知函数， 若有 f （a） +f （a2） 4， 则 a 的取值范围是 （1， +） 【分析】令函数，分析函数的单调性和奇偶性，可得 f（a）+f（a2） 4，即 a2a解得答案 【解答】解：令函数，满足 g（x）g（x） ，为奇函数， 故 f（a）+f（a2）4，可化为：g（a）+g（a2）0， 即 g（a）g（a2）g（2a） ， 又由1为增函数， 故 a2a 解得：a（1，+） 第 15 页（共 22 页） 故答案为： （1，+） 【点评】本
26、题考查的知识点是函数的性质，熟练掌握各种基本初等函数的性质是解答的 关键 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）设 Sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an+12an+1 （1）证明an+1为等比数列 （2）判断 n，an，Sn是否成等差数列？并说明理由 【分析】 （1）由题意可得首项，将等式两边加 1，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由等比数列的通项公式和求和公式，结合等差数列的中项性质，可得结论 【解答】解： （1）证明：a23，an+1
27、2an+1，可得 a11， 即有 an+1+12（an+1） ， 则an+1为首项为 1，公比为 2 的等比数列； （2）由（1）可得 an+12n，即有 an2n1， Snn2n+12n， 由 n+Sn2ann+2n+12n2（2n1）0， 可得 n，an，Sn成等差数列 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，等差数列的中项性质， 考查化简运算能力，属于中档题 18 （12 分）为检查某工厂所生产的 8 万台电风扇的质量，抽查了其中 20 台的无故障连续 使用时限（单位：小时）如下： 248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274
28、296 288 302 295 228 287 217 329 283 （1）完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图； （2）估计 8 万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于 280 小时； （3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用 时限 分 组 频数 频率 频率 组距 180，200） 第 16 页（共 22 页） 200，220） 220，240） 240，260） 260，280） 280，300） 300，320） 320，340 合 计 0.05 【分析】 （1）先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格 即可先建
29、立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可 （2）由于 8（0.30+0.10+0.05）3.6 万从而估计 8 万台电扇中有 3.6 万台无故障连 续使用时限会超过 280 小时 （3）先计算出数据的平均数，利用样本的频率分布估计总体分布得出样本的平均无故障 连续使用时限即可 【解答】解： （1） 第 17 页（共 22 页） 分 组 频数 频率 频率 组距 180，200） 1 0.05 0.0025 200，220） 1 0.05 0.0025 220，240） 2 0.10 0.0050 240，260） 3 0.15 0.0075 260，280） 4 0.
30、20 0.0100 280，300） 6 0.30 0.0150 300，320） 2 0.10 0.0050 320，340） 1 0.05 0.0025 合 计 20 1.00 0.05 （2）8（0.30+0.10+0.05）3.6 万 答：估计 8 万台电扇中有 3.6 万台无故障连续使用时限会超过 280 小时 （3） 1900.05+2100.05+2300.1+2500.15+2700.2+2900.3+3100.1+330 0.05269（小时） 答：样本的平均无故障连续使用时限为 269 小时 【点评】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题 的能
31、力，数据处理能力和运用意识在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的 和等于 1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量频率分布直方图中，小矩形 的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率 19 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c （1）若 cosA：cosB：cosC2：2：7，求 sinB； （2）若 sinA：cosB：tanA2：2：7，试判断ABC 的形状 【分析】 （1）由题意可得，设 cosAcosB2x，cosC7x，且 CAB，利用诱导 公式，二倍角的余弦函数公式可求 14x24x27x，解得 x，
32、可得 cosAcosB，利 用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值 （2） 由题意可得， 设 sinAcosB2x， tanA7x， 且 A， B 均小于， 由 sinAtanAcosA， 第 18 页（共 22 页） 可得 2x7x，解得 x 的值可得 sinAcosB，cosAsinB，利用两角 和的余弦函数公式可求 cosC0，可得 C 为直角，可得ABC 为直角三角形 【解答】解： （1）由题意可得，设 cosAcosB2x，cosC7x，且 CAB， cosCcos（2A）cos2Asin2Acos2A， 可得 14x24x27x，解得 x， 可得 cosAcosB， 可得 s
33、inB， （2）由题意可得，设 sinAcosB2x，tanA7x，且 A，B 均小于， 由 sinAtanAcosA，可得 2x7x， 解得 x， 可得 sinAcosB，cosAsinB， 可得 cosCcosAcosBsinAsinB0， 可得 C 为直角，ABC 为直角三角形 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式， 两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中 档题 20 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1AB
34、CE，其中平面 D1AE平面 ABCE （1）证明：BE平面 D1AE； （2）设 F 为 CD1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存 在，求出的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理得出 BEAE，再根据面面垂直的性质得出 BE平 第 19 页（共 22 页） 面 D1AE； （2）取 D1E 中点 N，连接 AN，FN，则 FN，由线面平行的性质即可得出 FM AN，故而 AMFN 【解答】 （1）证明：连接 BE， ABCD 为矩形且 ADDEEC2， AEBE2，AB4， AE2+BE2AB2， BEAE，又 D1AE平面 A
35、BCE，平面 D1AE平面 ABCEAE， BE平面 D1AE （2） 取 D1E 中点 N，连接 AN，FN， FNEC，ECAB， FNAB，且 FNAB， M，F，N，A 共面， 若 MF平面 AD1E，则 MFAN AMFN 为平行四边形， AMFN 【点评】本题考查了线面平行的性质，面面垂直的性质，属于中档题 21 （12 分）已知函数已知函数 f（x）（x2）ex，其中 e 为自然对数的底数 （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若都有 xlnx+af（x） ，求证：a4 【分析】 （1）先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出， （2）分离参数，可得 a（x2）exx
36、+lnx，构造函数 g（x）（x2）exx+lnx，x 第 20 页（共 22 页） （，1） ，利用导数可以得到存在唯一 x0（，1）使得 h（x0）x010， 且 g（x）maxg（x0）1x0+lnx0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即 可 【解答】 （1）解：f（x）（x2）ex， f（x）（x1）ex， 当 x（，1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， 当 x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， f（x）minf（1）e， （2）证明：x（） ，都有 xlnx+af（x） ， a（x2）exx+lnx， 设 g（x）（x2）exx+lnx，x（，1） ， g
37、（x） （x1） ex1+ （x1） ex （x1） （ex） （x1） ， 令 h（x）xex1，x（，1） ， h（x）（x+1）ex0， h（x）在（，1）上单调递增， h（1）e10，h（）10， 存在唯一 x0（，1）使得 h（x0）x010， 当 x（，x0）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 当 x（x0，1）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减， g （x）maxg （x0） （x02）x0+lnx0 （x02）x0+lnx01x0+lnx0， 令 （x）1x+lnx，x（，1） ， （x）1+0， （x）在（，1）上单调递增， （x）（1）121+ln12， 第 21
38、 页（共 22 页） g（x）2， a2， a4 【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系以及不等式的证明，关键是构造函数，考 查了运算能力和转化能力，属于难题 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C3的极坐标方程为 2sin （1）求出曲线 C2，C3的参数方程； （2）若
39、P，Q 分别是曲线 C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值 【分析】 （1）先求出曲线 C2的方程为+y21，由此能求出曲线 C2的参数方程；曲线 C3的极坐标方程转化为 22sin，从而求出曲线 C3的直角坐标方程，由此能求出曲 线 C3的参数方程 （2）设 P（2cos，sin） ，则 P 到曲线 C3的圆心（0，1）的距离：d 由此能求出|PQ|的最大值 【解答】解： （1）曲线经过伸缩变换后得到曲线 C2， 曲线 C2的方程为+y21 曲线 C2的参数方程为， （ 为参数） 曲线 C3的极坐标方程为 2sin即 22sin， 曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y22y，即 x2+（y+
40、1）21， 曲线 C3的参数方程为， （ 为参数） （2）设 P（2cos，sin） ，则 P 到曲线 C3的圆心（0，1）的距离： d sin1，1，当 sin时，dmax 第 22 页（共 22 页） |PQ|maxdmax+r+1 【点评】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两点间距离的最大值的求法，考查直角 坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|2xa|+a （1）若不等式 f（x）6 的解集x|2x3，求实数 a 的值 （2
41、）在（1）的条件下，若存在实数 x 使 f（x）+f（x）m 成立，求实数 m 的取值范 围 【分析】 （1）由题意不等式 f（x）6 为|2xa|6a，利用绝对值的定义求出解集，从 而求得 a 的值； （2）在（1）的条件下 f（x）|2x1|+1，问题化为求 f（x）+f（x）的最小值，利用 绝对值不等式求出结果 【解答】解： （1）函数 f（x）|2xa|+a， 则不等式 f（x）6，即为|2xa|6a， 等价于， 解得 a3x3； 又 f（x）6 的解集是x|2x3， 所以 a32，解得 a1 （2）在（1）的条件下，f（x）|2x1|+1， 所以存在实数 x 使 f（x）+f（x）m 成立， 即|2x1|+|2x+1|+22， 由于|2x1|+|2x+1|（2x1）（2x+1）|2， 所以|2x1|+|2x+1|的最小值为 2， 所以 m4，即实数 m 的取值范围是4，+） 【点评】本题考查了含有绝对值的表达式解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档 题